基于Voronoi圖選點(diǎn)法的響應(yīng)面法

尚昆

（中國直升機(jī)設(shè)計(jì)研究所，江西景德鎮(zhèn) 333001）

0.引言

在進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析時(shí)，通常使用結(jié)構(gòu)功能函數(shù)來表征結(jié)構(gòu)響應(yīng)值與變量之間的關(guān)系。對(duì)于簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)問題，可以通過解析解或數(shù)值分析的方式獲得其可靠性指標(biāo)與設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)。但對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其功能函數(shù)通常為隱式的。針對(duì)這一問題，可采用蒙特卡洛法（Monte Carlo Simulation，MCS）、一階可靠性方法（First Order Reliability Method，F(xiàn)ORM）、二階可靠性方法（Second Order Reliability Method，SORM）等。但此類方法計(jì)算成本較大，特別是失效概率較低的復(fù)雜結(jié)構(gòu)問題。

響應(yīng)面法（Response Surface Method，RSM）作為一種重要的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，其通過簡(jiǎn)單的響應(yīng)面函數(shù)來近似提到原有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，可以極大地減少結(jié)構(gòu)失效概率的計(jì)算量，提高可靠性分析效率。目前，在工程中應(yīng)用較多的是由Bucher等提出的選代響應(yīng)面法及其改進(jìn)[1-2]。該類響應(yīng)面法使用二次多項(xiàng)式作為響應(yīng)面的形式，每次迭代響應(yīng)面均由2n+1個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)建而成。Kim等[3]提出了向量映射法，是樣本點(diǎn)更加接近于極限狀態(tài)面，從而加快迭代。以上響應(yīng)面法，在每次迭代中僅使用本次迭代出的樣本點(diǎn)，丟失了很多樣本信息。文獻(xiàn)[4]采用加權(quán)響應(yīng)面法來近似隱式極限狀態(tài)，通過權(quán)函數(shù)對(duì)全部樣本點(diǎn)進(jìn)行處理后，使用全部樣本點(diǎn)構(gòu)建響應(yīng)面，從而加快收斂速度，但容易導(dǎo)致回歸矩陣病態(tài)[4]。對(duì)響應(yīng)面模型貢獻(xiàn)最大的區(qū)域?yàn)闃O限狀態(tài)面和設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)周圍區(qū)域，而基于最小二乘法的響應(yīng)面法是一種基于全局逼近的模型，無法實(shí)現(xiàn)局部近似。

向量映射法以及加權(quán)響應(yīng)面試圖通過將樣本點(diǎn)選擇在極限狀態(tài)面上以及為貢獻(xiàn)大的區(qū)域賦予更大權(quán)重的方法解決這一問題。文獻(xiàn)[5]用移動(dòng)最小二乘法對(duì)曲線曲面進(jìn)行擬合，利用了全部樣本點(diǎn)，在每一次送代時(shí)，通過為每個(gè)擬合點(diǎn)賦予影響域的方式來選擇合適的樣本點(diǎn)來擬合[5]。這一方法實(shí)現(xiàn)了局部近似，得到了精度高的曲線曲面。

但是樣本均勻程度在移動(dòng)最小二乘法的擬合效果上起著重要作用[6]，因此基于移動(dòng)最小二乘法的影響面模型的關(guān)鍵就是選取均勻性好的樣本。常見的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法通常只能保證本次迭代樣本的均勻性，無法保證整體樣本分布均勻性的質(zhì)量且采樣過程具有隨機(jī)性，因此即使使用同一種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，也可能產(chǎn)生不同的計(jì)算結(jié)果。Voronoi圖可以在已有樣本的情況下，找到距離現(xiàn)有樣本最遠(yuǎn)位置的樣本點(diǎn)，通過這種方法選取的樣本不會(huì)產(chǎn)生聚集，且均勻性較好，且采樣過程是確定的，消除了由樣本選擇的隨機(jī)性導(dǎo)致樣本均勻性質(zhì)量的波動(dòng)。

同時(shí)，由于響應(yīng)面模型的精度和效率主要取決于設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)附近的近似效果。且隨著迭代，響應(yīng)面模型的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)逐步逼近真實(shí)設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)，因此，應(yīng)在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)附近的區(qū)域內(nèi)選取樣本。

1.傳統(tǒng)響應(yīng)面法

響應(yīng)面法的基本思想是通過簡(jiǎn)單的顯式函數(shù)來近似替代真實(shí)的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，傳統(tǒng)響應(yīng)面法使用不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式作為響應(yīng)面模型的基本函數(shù)，假設(shè)n維隨機(jī)變量X=[x1,x2,…,xn]，則響應(yīng)面函數(shù)為：

其中，ai，bi，c為系數(shù)。

傳統(tǒng)響應(yīng)面法每次迭代只使用本次抽取的樣本點(diǎn)，且f的取值對(duì)最終結(jié)果影響很大[7]。f值越小，則其穩(wěn)定性較差，反之，則試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)附近近似效果難以保證。

2.改進(jìn)響應(yīng)面法

2.1 移動(dòng)最小二乘法的基本原理

考慮在一個(gè)n維變量空間中，定義變量X=[x1,x2,…,xn]，則其響應(yīng)面模型可以表示為：

其中，p（X）為該響應(yīng)面的基函數(shù)，本文選用僅含平方項(xiàng)和線性項(xiàng)的二次多項(xiàng)式作為基函數(shù)；a（X）是該基函數(shù)對(duì)應(yīng)的系數(shù)向量，假設(shè)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(N≥2n+1)，則p（X），a（X）分別表示為：

系數(shù)向量a（X）可以通過最小化樣本集樣本值與擬合值之間的加權(quán)誤差H（X）獲得，其中

通過對(duì)上式進(jìn)行最小化，即求解H（X）的極值，令?H/?a=0，可得系數(shù)向量

其中，g，W，P分別為

w(X-Xi)為權(quán)函數(shù)，本節(jié)僅以高斯函數(shù)為例進(jìn)行展示：

式中，α為任意參數(shù)，可根據(jù)不同模型的擬合效果加以調(diào)整，本文取α=1，R為影響域半徑，影響域是移動(dòng)最小二乘法區(qū)別于最小二乘法最大的特征，影響域越小，其局部擬合越精確，同時(shí)影響域也應(yīng)足夠大，以保證該影響域內(nèi)具有足夠的樣本點(diǎn)(N≥2n+1)。

2.2 基于Voronoi圖的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

Voronoi圖是對(duì)空間平面的一種剖分，是由一組連接兩相鄰樣點(diǎn)線段的重直平分線組成的連續(xù)多邊形，因此該多邊形的頂點(diǎn)為距離最近樣點(diǎn)最遠(yuǎn)的位置。選擇這些位置的樣本可以有效保證空間樣本的均勻程度。但由于Voronoi選點(diǎn)法不會(huì)在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)附近聚集，導(dǎo)致迭代出的響應(yīng)面模型熟練速度較慢。為解決這一問題本文同樣選擇個(gè)設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)的頂點(diǎn)作為新的樣本點(diǎn)。

根據(jù)上述推導(dǎo)過程，基于Voronoi選點(diǎn)法和移動(dòng)最小二乘法的響應(yīng)面法的計(jì)算步驟如下：

步驟1：確定樣本空間，選取初始樣本點(diǎn)。在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，本文選取以坐標(biāo)原點(diǎn)為抽樣中心點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上距離抽樣中心點(diǎn)一定距離f（f=3）的點(diǎn)作為初始樣本點(diǎn)。

步驟2：將樣本點(diǎn)代入結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g（X）中，獲得其響應(yīng)值，并代入式（7）中求解系數(shù)向量。

步驟4：以設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)作為新的抽樣中心點(diǎn)，形成Voronoi圖，以抽樣中心點(diǎn)為樣點(diǎn)的多邊形頂點(diǎn)構(gòu)成候選樣本集SA，并在樣本集SA中選取n個(gè)距離抽樣中心點(diǎn)最遠(yuǎn)的多邊形頂點(diǎn)構(gòu)成樣本集Sa。并找出樣本空間中其余所有頂點(diǎn)構(gòu)成侯選樣本集SB，在候選樣本集SB中選取n個(gè)距離現(xiàn)有樣本點(diǎn)最遠(yuǎn)的樣本作為新的樣本Sb。則本次迭代的樣本點(diǎn)由Sa、Sb以及抽樣中心點(diǎn)構(gòu)成。

重復(fù)步驟2-4直至滿足下列收斂條件：

其中，ε為要求的計(jì)算精度。

3.算例驗(yàn)證

為了便于對(duì)本文方法進(jìn)行分析和說明，本算例選取文獻(xiàn)[7]功能函數(shù)：

式中，x1，x2相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。設(shè)置收斂條件為ε≤0.01，用一階可靠性方法計(jì)算出的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)作為參考值。其計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 計(jì)算結(jié)果

通過數(shù)值算例可以看出，本文方法運(yùn)算次數(shù)（計(jì)算效率）相比傳統(tǒng)響應(yīng)面法有明顯提高，且試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)也更準(zhǔn)確，誤差小于傳統(tǒng)響應(yīng)面法。

4.結(jié)論

移動(dòng)最小二乘法具有局部計(jì)算精度高的優(yōu)點(diǎn)，但若樣本集在擬合點(diǎn)分布不均勻時(shí)其擬合誤差較大，且容易導(dǎo)致回歸矩陣奇異，因此移動(dòng)最小二乘法對(duì)樣本的均勻程度要求較高。

針對(duì)現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法存在的無法根據(jù)已有樣本點(diǎn)進(jìn)行抽樣，進(jìn)而導(dǎo)致樣本在空間中分布不均勻，且抽樣過程中存在隨機(jī)性的問題。本文將Voronoi圖選點(diǎn)法引入響應(yīng)面模型中，通過Voronoi圖的特點(diǎn)在感興趣的樣本空間選擇出距離現(xiàn)有樣本最遠(yuǎn)的點(diǎn)作為新的樣本，避免樣本點(diǎn)集中在少數(shù)區(qū)域，從而提高了空間樣本的均勻程度。算例分析結(jié)果表明，本文方法選取的樣本更加合理，結(jié)合移動(dòng)最小二乘法有效提高了響應(yīng)面法的精度和效率。