讓“猜想—驗證”成為教學的主旋律
——“3的倍數的特征”的教學實踐與反思

浙江嘉興市海鹽縣橫港小學（314300）朱家浩 施李丹

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果。由此可見，“猜想—驗證”對學生數學能力的發展具有重要作用。然而反思這些年的小學數學教學活動，筆者發現“猜想—驗證”過程中存在學習方法無助化、教學過程形式化、學生思考被動化等問題，這些問題阻礙著猜想、驗證活動的有效開展。

為了確保順利、有效地開展猜想、驗證活動，讓學生積極參與課堂，貫徹“以學生為中心”的理念，筆者將“猜想—驗證”的教學活動融入人教版教材五年級下冊“3的倍數的特征”的教學。以下是整節課的課堂實錄與教學反思。

【課堂實錄】

一、勾連舊知，引入新課

師：2和5的倍數有哪些特征？

生1：2的倍數的特征是能被2整除，個位上是0、2、4、6、8。

生2：5的倍數的特征是能被5整除，個位上是0或5。

生3：2和5的倍數的特征是既能被2整除又能被5整除，個位上是0。

師：是的，這些就是2和5的倍數的特征。今天我們將要學習3的倍數的特征。

【設計意圖：讓學生回顧2和5的倍數的特征，知道它們特征的推導方法，使學生在腦海中建立知識的表象，為之后學習3的倍數的特征埋下伏筆，同時使學生初步形成對其的猜想，并能想到一些驗證之法。】

二、第一次“猜想—驗證”，初步建立表象

師：怎么判斷一個數是否是3的倍數？

生1：只要看這個數能不能被3整除，能被3整除的就是3的倍數，不能被3整除的就不是。

師：確實是這樣的，那你能說出3的倍數會有什么特征嗎？

生2：我認為個位上是3、6、9的數是3的倍數。

生3：我認為個位上是0、3、6、9的數是3的倍數。

師：老師也來猜一猜同學們是怎么想的。我猜你們是根據2或5的倍數的特征來推測的，所以認為只要個位能被3整除就可以。（學生表示肯定）

師：那現在有了猜想，我們需要怎么做呢？

生4：驗證。

師：是啊，任何猜想都需要驗證才能說它對與不對。誰有方法驗證它？

生5：可以舉一些例子，看看這些例子是不是符合我們的猜想，如果符合就說明它是對的，如果不符合就說明它是錯的。

師：真棒！對于還不確定的結果，我們可以舉例子，舉例子是一個很好的驗證方法。

師：那誰來舉一些例子？

（學生列舉了6、12、9、30、45）

師：請觀察這些數，你有什么想說的？

生6：我認為之前的猜想都是錯的，3的倍數的特征不是只有個位上是3、6、9的數，也有個位是0和5的數。

生7：我認為3的倍數的特征跟2和5的倍數的特征不一樣，所以猜想也是錯的。

師：通過舉例子發現之前的猜想都是錯誤的，看來舉例子真的很有用，也很方便。

【設計意圖：使學生經歷初次的猜想活動，此次猜想是學生根據原有的知識經驗而提出的，并通過自主舉例子的方式加以驗證，這體現了知識遷移的重要性，同時也大大激發了學生的探究熱情。學生通過自己的探究驗證發現猜想是錯誤的，這為之后猜想的調整做好了鋪墊。】

三、第二次“猜想—驗證”，逐漸掌握本質

師：仔細觀察這些數據的特征，你有什么新的猜想？

生1：我認為個位上是0、3、5、6、9的數才是3的倍數。

生2：我認為個位上不管是什么數都有可能。

生3：我也認為個位上不管是什么數都有可能，但是我想補充，把個位和十位上的數字加起來要能被3整除。

師：對于這些猜想，有同意的嗎？說一說你的理由。

生4：我同意生3的猜想，比如12，我們可以看成1+2=3，3能被3整除，6可以看成06，0+6=6，6也能被3整除，其他的數也可以類推。

生5：我也同意生3的猜想，個位有3的數，比如13就不能被3整除，所以生1錯了，生3講的比生2的更完整。

……

師：同學們既有用舉反例的方法來驗證猜想，也有用直接操作的方法來驗證猜想，真是太了不起了！你們都說生3的猜想是對的，那同意的同學請舉手。（絕大部分學生都舉手）

師：絕大部分同學都認可生3的猜想，我們現在就能說它是對的嗎？

生6：不能。這些例子太少了，有可能是碰巧的，我們還要舉更多的例子來驗證。

師：是的。確實需要更多更嚴謹的數據來驗證猜想。這樣吧，老師給你們提供一張百數表，你們研究一下1到100的數，看看100以內有哪些數是3的倍數。

【設計意圖：讓學生在原來錯誤猜想的基礎上再次猜想，有了部分例子的支撐，學生開始思考原先猜想錯誤的原因，逐漸形成新的猜想，再用說理、舉例子等方式驗證猜想的正確性，使學生對“猜想—驗證”環節有了更多的自主思考與探究。】

四、第三次“猜想—驗證”，拓展延伸規律

教師先出示猜想“個位和十位上的數字加起來能被3整除的數是3的倍數”；然后下發百數表給學生，學生圈出所有是3的倍數的數；最后展示學生作品。

教師出示標好3的倍數的百數表（如圖1）：

圖1

師：個位上的數字與十位上的數字相加，和是多少？（學生計算）

師：你有什么想說的？

生1：我發現它們的和都是3、6、9、12、15、18這幾個數，它們都能被3整除。

生2：我發現斜著的數字相加后得到的結果能被3整除。

生3：我發現相鄰的兩個3的倍數之間相差3。

師：你們說得都很好，那我們一起來看一下它們相加的和。（如圖2）

圖2

師：驗證后發現100以內確實存在這樣的規律。那100以外呢？猜猜看。

生4：我猜把每個數位上的數字加起來能被3整除就行了。

師：那是不是這樣呢？我們舉一些比較大的數，將每個數位加起來，看看是不是能被3整除。

（學生列舉765、1020、3822、48726，教師記錄）

師：我們用除法來驗算它們是不是能被3整除。（學生計算）

師：你們的計算結果怎么樣？

生（齊）：都能被3整除。

師：看來這個結論同樣適用100以外的數。如果你有疑問，下課可以再多舉一些例子。那誰能來說一下3的倍數有什么特征呢？

生5：能被3整除。

生6：將每個數位上的數加起來，和能被3整除。

師：是的。我們將運用今天學到的知識進行練習闖關，同學們有沒有信心？

生（齊）：有。

【設計意圖：讓學生利用百數表驗證猜想，通過自主探究發現100以內3的倍數的數的特征，再將猜想延伸至100以外的數。組織學生通過舉例子的方式驗證，結果發現100以外的數同樣適用此規律。到此，學生運用“猜想—驗證”的方式經歷了結果的生成過程，牢固掌握了3的倍數的規律。】

五、練習總結（略）

【教學反思】

一、關注學生的前測數據，教學更具針對性

“3的倍數的特征”是學生認識與掌握了2和5的倍數的特征之后所學習的內容。對一個班的學生進行前測，并主要呈現三個問題，引導學生思考、回答。

問題1：你能從1～30中找到3的倍數的數嗎？能寫一寫你的理由嗎？

問題2：請你分別寫一個三位數、四位數、六位數、十位數，判斷一下是否為3的倍數。

問題3：你覺得3的倍數有沒有特征？說一說你的理由。

通過對前測數據的分析，筆者發現學生明白如何判斷是否是3的倍數，但是受2和5和倍數的特征的影響，未能正確發現3的倍數的特征，并且學生喜歡猜測結果。對此，筆者抓住學生愛猜測的心理，本節課重點放在學生的自主探究，采用“猜想—驗證”的教學模式，分階段歸納出3的倍數的特征。

二、建構“猜想—驗證”的實踐活動，發展學生的數學能力

1.猜想—驗證：方法從舊知遷至新知

孔子云：“溫故而知新，可以為師矣。”這就體現出舊知對新知的重要性，在方法上亦是如此。本節課是在學生已經學習了2和5的倍數的特征的探究方法與結論的基礎上進行教學的，學生經歷的首次猜想并不是天馬行空的，而是依據原有的知識經驗。學生能將舊知的結論快速地遷移到新知的猜想上，這是一種好的猜想，后兩次的猜想是學生在錯誤的猜想上建立的新猜想，是猜想的遷移。學生的三次猜想所運用的驗證方法都是舉例子，這也是探究2和5的倍數的特征時采用的方法，故方法間存在通用性。由此可見，在“猜想—驗證”活動的開展過程中，方法的靈活遷移很重要。通過舊知遷至新知是一個不錯的選擇。

2.猜想—驗證：教學從形式走向常態

教學的目的是讓學生提升知識、提高能力以及升華情感，但教師有時為了追求教學的進度，會使猜想流于形式，大大弱化了猜想在教學中的作用。本節課安排了三次猜想活動，使得學生整節課都處在“猜想—驗證”中，自己提出的猜想由自己驗證。經歷多次“驗證、否定、重建、再驗證”的探究過程后，學生得到的不僅僅是學科知識，更是嚴謹的思維能力以及積極的情感。故筆者認為“猜想—驗證”應該成為教學的常態，應在日常的教學中普遍運用，使其發揮更多的教學價值。

3.猜想—驗證：學生從被動變為主動

學生是課堂的主體，傳統的課堂是通過“師問生答”或“滿堂灌”的方式展開教學的，這大大削弱了學生在課堂中的作用，使得學生常常處在被動的狀態，極大地降低了學生學習的興趣。本節課加入“猜想—驗證”環節，猜想給了學生在同一起跑線的機會，都是在對知識陌生的情況下表達自己的想法，所以猜想沒有好壞之分，也無須在意對錯，只要能表達自己想法的就是好猜想。正是營造了輕松的猜想氛圍，使得學生學習的熱情大增，學生都變得愿意去猜想、搶著去猜想，主動地參與教學活動，在之后的驗證過程中也更愿意表達想法，大大地增強了學生學習的主動性，真正使“猜想—驗證”成為教學的主旋律。