抓住數量關系本質 建構解決問題模型
——六年級上冊“分數除法解決問題”教學設計與思考

廣西柳州城中區教育局教研室（545026）周柳娥

史寧中教授指出，數學的本質表現在數量關系中。數量關系是問題中所敘述的兩個或兩個以上的數量之間的大小關系。對數量關系的研究一直是基礎教育階段數學教學的重點，如果教師不注重數量關系分析的教學，學生解決問題的基本活動經驗無法得到積累，學生遇到數量關系稍復雜的問題時也就無從下手。

學生在解決問題時，一般經歷如圖1所示的認知過程。首先，要從呈現的問題或情境中抽象出數學問題；接著，通過對數學問題的分析進行“模型建構”，這個環節是關鍵的環節，要求學生能從復雜的文字條件中抽象出數量關系；最后，根據建構的模型獲得結果，也就是我們通常說的用數量關系列式解答。

圖1

在該模型中，“模型建構”是區分學生水平的環節，這也說明了數量關系在解決問題中的重要地位。“模型建構”在整個小學階段分為三個層次：第一層要求學生從加、減、乘、除四種運算的意義入手理解基本數量關系，學生對基本運算意義的正確理解，是解決一切復雜數學問題的根本和基礎；第二層要求學生分析與把握課程標準中提出的兩個常見數量關系——“單價×數量=總價”“速度×時間=路程”；第三層要求學生融合基本數量關系和常見數量關系建構稍復雜的數量關系。

在實際教學中，學生對基本數量關系和常見數量關系掌握得較好，但一旦涉及稍復雜的數量關系，學生就會出現障礙。如何幫助學生消除障礙呢？筆者以人教版六年級上冊第三單元“分數除法解決問題”為例，闡述具體的做法。

一、探尋聯系，整合教學

分數除法解決問題共有四個類型（如表1），前兩個類型（對應課本第37、38頁內容）是分數乘法解決問題類型的逆向問題，它們之間數量關系相同，單位“1”不同（已知或未知）。

表1 分數乘除法解決問題對比

在實際教學中，學生解決分數除法問題的正確率與解決分數乘法問題的正確率相比，呈現大幅度下滑。然而，解決分數除法問題，學生只需要根據分數乘法的意義，借助直觀的線段圖找到數量關系，即可列出方程并解方程。回歸課堂我們發現，因部分教師的教學呈點狀結構，故導致學生認知結構缺失。學生缺乏對數量關系的分析，自然也就沒有抓住解決問題與數量關系的本質聯系。分析教材可知，分數乘法解決問題和分數除法解決問題之間的數量關系存在一定的聯系（如圖2）。

圖2

從學情來分析，學生已經有根據等量關系列方程解決問題的經驗，即知道從描述兩個量的關系入手列出等量關系。在學習分數除法解決問題時，學生可以調用列方程解決問題的經驗進行遷移學習，或利用分數乘法解決問題的經驗來尋找等量關系。

因此，在教學分數除法解決問題時，可以整合“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”和“已知比一個數多（少）幾分之幾的數是多少，求這個數”這兩個類型，將教學的重點放在數量關系的分析上，將教學的難點放在探尋分數乘除法解決問題的數量關系上。在整合時，教師要依托數學問題解決建構認知模型，通過分析關鍵信息、設計題組，引導學生在對比中抓住數量關系的本質聯系。

二、結合情境，抽象問題

在解決問題的教學中，讓學生從數學的角度發現數學信息，并提出數學問題是形成數學思考、解決數學問題的重要前提。分數除法解決問題的數量關系是復合的數量關系，關鍵是要尋找到其中的等量關系。

1.理解情境

師：學校的課后服務課程豐富多彩，今天我們走進苗苗合唱團去看一看。（出示圖3）合唱團里既有女生又有男生，線段圖描述了男、女生人數之間的關系，是一種什么關系呢？請你選擇喜歡的方式表示它們之間的關系（可以用文字、等量關系式等）。

圖3

2.抽象問題

上述片段中，學生只從情境中提取了合唱團男、女生人數關系的數學信息，沒有形成完整的問題。為了幫助學生固化問題的模型，教師可以給予學生空間，由學生來構建分數乘除法解決問題的模型。

師：從線段圖中可以看出男、女生人數之間的關系。如果將“男生人數比女生少當作一條信息，你可以提出什么數學問題？

生5：信息不全無法提出問題，至少要有兩條信息才行。

師：是呀，還缺少一條信息。老師為大家提供了兩條信息（如圖4），請你先從中選擇一條信息，再提出一個問題，并在線段圖中補充題目的信息和問題，最后解答。（學生獨立完成）

圖4

三、類比梳理，呈現結構

在教學中，教師精心設計有效的題組，就好比為學生搭建了一個梯子，讓他們沿著臺階一步一步地往上走，自主地完成知識的建構。當學生提出的問題形成了一個“題組”，而“題組”內的問題之間存在一定的聯系，一旦有知識的遷移應用，就能為一個知識系統的形成起到促進的作用。此時，教師要抓住時機引導學生進行類比。

師：前面同學們提出的兩個問題中，哪個是我們學過的，哪個是沒有學過的呢？

生8：生6提出的問題是我們學過的分數乘法解決問題，生7提出的問題是沒有學過的。

師：誰來解答這兩個問題？

圖5

師：生7提出的問題大家會解答嗎？誰來分析并解答？

圖6

師：觀察比較這兩個問題，它們有什么相同點和不同點？小組交流一下，看看大家發現了什么？

生11：兩個問題的等量關系是相同的，一個是已知單位“1”，可以通過等量關系列乘法算式即可解決問題；另一個單位“1”未知，但通過等量關系列出方程也可解決問題。

【解讀】解決問題的過程就是一個不斷建模的過程，學生在觀察比較、討論交流中，把相似、相近的問題區別開來，找出它們的差異，從而加深對所學知識的理解。分數乘除法解決問題在本質上是相同的，表現為：①在分析關鍵信息（描述兩個量關系的信息）的基礎上，提煉出等量關系；②無論是分數乘法還是分數除法解決問題，它們的等量關系都是相同的。利用新舊知識之間的聯系，探尋“相同”與“不同”之處，豐富學生的認知。

四、勾連發展，建構模型

“解決問題”的教學目標不是為了學生能解決某一道題，而是幫助學生建構解決某一類題的模型。將問題“已知比一個數多（少）幾分之幾的數是多少，求這個數”的解決作為分數除法解決問題的引入，在學生掌握解決問題的方法后，引導學生將這類問題與其他問題進行勾連，從而建構出解一類題的模型。

（3）女生有36人，女生人數是男生的3倍，男生有多少人？

（4）男生有12人，女生人數是男生的3倍，女生有多少人？

師：這個題組你會解答嗎？（學生獨立完成）

師：通過關鍵信息的變換，你又有什么發現？

生14：雖然關鍵信息變換了，但是依然可以從關鍵信息中尋找兩個量之間的關系并列出等量關系式，再根據單位“1”是否已知來判斷是用算術法解答還是列方程解答。

師：無論是分數乘法還是分數除法解決問題，我們都需要先找出描述兩個量關系的信息，分析等量關系后再選擇合適的方法解答，如它們之間可以轉化為“求一個數的幾分之幾是多少”的類型，再往前追溯就是“求一個數的幾倍是多少”的類型。

【解讀】倍數和分數的問題解決之間既有變化又蘊含著不變和聯系，用男生人數比女生少還?可以表示什么意思？”的問題，引導學生通過類推發現，由“一個數比另一個數少幾分之幾”到“一個數是另一個數的幾分之幾”，再到“一個數是另一個數的幾倍”，雖然條件變了，但是男、女生人數的等量關系沒變，它們是可以互相轉化的。這既能幫助學生提煉方法，豐富知識間的聯系，也能讓學生把握各知識間相互聯系的本質，重建認知結構。

五、分層練習，遷移結構

練習是加深知識理解、熟練和鞏固答題技巧的環節。在設計練習時，不能局限在低階思維層次，而應該適當融入高階思維層次，滿足不同學生的需求，提升習題訓練的邊際效益。

1.先畫出線段圖列出等量關系式，再解答。

（1）小明重多少千克？

【解讀】第1題是利用教材中的例題設置的，屬于基礎題；第2題則是類比題，再次溝通分數乘除法解決問題之間的關系，固化等量關系的聯系；第3題屬于拓展題，強化學生建構數量關系的模型，有助于發揮學生的潛能。在層層挖掘知識點的基礎上，采用不同的形式設計不同層次的練習，這樣的題組促使學生在循序漸進中不斷突破自己，讓學習能力得到發展。

綜上所述，在分數乘除法解決問題的教學中，教師應分析教材的結構，尋找知識之間的聯系，抓住數量關系的本質，溯本求源。同時，要結合學生的實際實施教學，幫助學生建構模型，引領學生一起經歷知識“新”的生長點，落實應用意識，促進課堂內涵的發展，使課堂呈現更亮麗的“風景線”。