新高考下高中數(shù)學(xué)一題多變的訓(xùn)練策略分析

摘要：對問題進(jìn)行解答，是高中數(shù)學(xué)知識運(yùn)用的主要方法，學(xué)生解題能力的提升是高中數(shù)學(xué)教師需要側(cè)重的關(guān)鍵點。可在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程當(dāng)中，教師常常會用題海戰(zhàn)術(shù)提高學(xué)生的解題能力，雖說這種訓(xùn)練形式，可以在一定程度上，獲取對應(yīng)的利益，但這種機(jī)械化的訓(xùn)練方式，很容易讓學(xué)生無法從本質(zhì)上了解和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識。而教師對一題多變教學(xué)策略的應(yīng)用，不僅能夠有效地開闊學(xué)生的思維，使其多角度、多層面的思考問題，掌握問題的整體，知道問題的基本特征，而且還能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，活躍課堂的整體的教學(xué)氛圍。基于此，本文就從高中數(shù)學(xué)應(yīng)用一題多變訓(xùn)練策略的具體價值出發(fā)，對一題多變的應(yīng)用策略進(jìn)行深層次的分析。

關(guān)鍵詞：新高考;一題多變;訓(xùn)練策略

高中數(shù)學(xué)作為一門相對比較重要的學(xué)科，也需要在教育改革的要求之下，改變教學(xué)方式。而“一題多變”的訓(xùn)練策略，恰好迎合了時代的發(fā)展，適應(yīng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)特征，它改變了以往過于重視知識傳授的傾向，強(qiáng)調(diào)自主性的學(xué)習(xí)形式，它不僅有助于學(xué)生探究意識的成長，而且還有助于學(xué)生創(chuàng)新能力的進(jìn)展。

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師若是想要實現(xiàn)課程改革后的教學(xué)目標(biāo)，即培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)，那么教師就需要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。教師在講解的過程中，需要發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，然后借助“一題多變”或者“一題多解”的形式，深化學(xué)生的解題能力，協(xié)助學(xué)生更高效的理解和把握數(shù)學(xué)問題當(dāng)中所展現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)形式以及數(shù)學(xué)策略。

概述應(yīng)用“一題多變”的教學(xué)任務(wù)

隨著新課程改革在高中數(shù)學(xué)課程當(dāng)中的逐步推進(jìn)，當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂已經(jīng)產(chǎn)生了不一樣的變化。學(xué)生的學(xué)習(xí)方式有了轉(zhuǎn)變，他們由原來的被動接受知識轉(zhuǎn)變成了現(xiàn)在的自主合作探究。一些學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，也發(fā)生了改變，他們從以往的厭惡數(shù)學(xué)，轉(zhuǎn)向了喜愛數(shù)學(xué)。不過需要明晰的是，當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教師和學(xué)生都還不太習(xí)慣新高考的政策，但對于“一題多變”教學(xué)策略的實踐，卻依舊在保持著。其目的就是為了發(fā)揮例題的增殖功能。

“變”字是“一題多變”當(dāng)中的關(guān)鍵和要點，它的精髓和意義在于證實“為什么變化？”“如何變化？”的過程，它會讓學(xué)生在認(rèn)知問題、探索問題、設(shè)計問題、解決問題的過程中，發(fā)揮自身的主觀能動性，并借助實質(zhì)性的知識內(nèi)容，深刻理解問題的要求，進(jìn)而不斷推動學(xué)生解決新問題的能力，提高學(xué)生本質(zhì)性的認(rèn)知能力，使學(xué)生建立起一個高效的學(xué)習(xí)方式，真正的成為課堂當(dāng)中的主體。所以，依托“一題多變”訓(xùn)練策略，能夠培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)問題所提供的信息資源，沿著不同的趨勢去思考和分析，并對信息和前提進(jìn)行新一輪的整合，探索多種多樣解決途徑或者新方法的思維形式。

而在培養(yǎng)的過程中，教師需要改善原有的教育理念和教學(xué)方式，結(jié)合“一題多變”的具體效益，運(yùn)用多元化的教學(xué)形式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極性，挖掘課本當(dāng)中的例題。教師可以對例題進(jìn)行設(shè)計和延展，然后調(diào)動學(xué)生解答疑惑的欲望，使學(xué)生在擁有把握基礎(chǔ)知識能力的基礎(chǔ)上，用自身的數(shù)學(xué)思維和知識以及能力，回答出不同類型的解題方法。

二、高中數(shù)學(xué)應(yīng)用一題多變訓(xùn)練策略的具體價值

（一）有助于改變學(xué)生的固有思維

“一題多變”的訓(xùn)練策略，靈活性比較強(qiáng)，它掙脫出了傳統(tǒng)教學(xué)的約束，轉(zhuǎn)變了學(xué)生的固有思維，增強(qiáng)了高中數(shù)學(xué)課堂整體的教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，所以，在高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)用一題多變教育模式的時候，教師不能側(cè)重于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，而是要發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，由淺入深地調(diào)動學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)欲望，使其在了解問題的過程中，對問題進(jìn)行深層次的分析。就比如對“函數(shù)單調(diào)性”的判斷，學(xué)生就可以在高中數(shù)學(xué)教師的引導(dǎo)下，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法、定義法、性質(zhì)法以及復(fù)合函數(shù)同增異減法對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷[1]。

就以“討論函數(shù)f（x）=ax/x2-1（a>0）在x∈（-1，1）上的單調(diào)性”為例，第一種解題方法，其實就可以按照定義法進(jìn)行解答。其中第一個步驟就是假設(shè)。假設(shè)x1和x2是（-1，1）區(qū)間里的兩個數(shù)，且x2大于x1。第二個步驟就是作差，即f（x1）-f（x2），之后用數(shù)學(xué)方法，對差式進(jìn)行判斷和確定，最終得出結(jié)論。依照上述過程判斷f（x）=ax/x2-1（a>0）在x∈（-1，1）上的單調(diào)性，能夠得出的是，f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減。

而第二種解題方法，其實就可以按照導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行解答。而解題的第一個步驟，就是求出原函數(shù)的定義域，并對原函數(shù)求導(dǎo)，讓導(dǎo)數(shù)大于零，之后解出自變量的范圍，這個范圍其實就是這個函數(shù)的增區(qū)間，而讓導(dǎo)數(shù)小于零，就能夠得到減區(qū)間。如果定義域是在增區(qū)間里，函數(shù)就是單增，相反，則是單減，若上述都不滿足，函數(shù)就不單調(diào)。

由例題的解答方法可知，第一種解題方式更為簡便，且學(xué)生在解題的時候，一般都會運(yùn)用層層遞進(jìn)的方式，逐步解答函數(shù)的單調(diào)性。學(xué)生能夠在日積月累的解題過程中，提高自身的審題能力，并找尋出最適合例題的解答方法，其數(shù)學(xué)思維，也會得到逐步的深化。

（二）有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

“一題多變”的核心思想就在于舉一反三，學(xué)生若是擁有了發(fā)散性的思維，那么學(xué)生就具備著舉一反三的解題能力。簡單地說，教師若是在講解練習(xí)題的時候，引出和習(xí)題同一種類型的題目，學(xué)生就能夠在分析問題的過程中，舉一反三。而在這個過程里，其實就讓學(xué)生的思維得到了發(fā)散[2]。

就比如在解決“已知tanα=5/7，那么sinα為多少？”的題型時，教師就可以講解一個舉一反三的過程，學(xué)生可以依照同角三角函數(shù)的關(guān)系式：“tanα=sin/cos”“sin2α+cos2α=1”并把兩者聯(lián)系起來得出結(jié)果。學(xué)生還可以依照比例的性質(zhì)和關(guān)系式對這道題進(jìn)行解答，通過對比例性質(zhì)的運(yùn)用，學(xué)生能夠知道α處在第一和第三象限上，在這之后，學(xué)生就可以把α分成兩種狀況進(jìn)行解析，得出對應(yīng)的結(jié)果。

三、新高考下高中數(shù)學(xué)對一題多變訓(xùn)練方式的應(yīng)用策略

（一）例題層面“一題多變”的訓(xùn)練策略

高中數(shù)學(xué)教師在講述新課程的時候，往往會為了讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)性的知識內(nèi)容，而講述教材當(dāng)中的例題。而在講述例題的時候，其實就是教師運(yùn)用“一題多變”策略的契機(jī)[3]。

就以高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊第一章第一節(jié)《集和的概念》為例，教師在講述例題的時候，就可以運(yùn)用“一題多變”的訓(xùn)練策略，就比如在學(xué)習(xí)集和含義時的例題（2），xx中學(xué)今年進(jìn)入學(xué)校的全體高一學(xué)生。在這其中，xx中學(xué)今年進(jìn)入學(xué)校的每個高一新生就是元素，而把這些元素集和起來就是一個集和。學(xué)生在學(xué)習(xí)的時候，可以舉一反三，比如舉出“高一（16）班中擁有男生和女生兩個群體”這樣例子，其中高一（16）班的男生和女生都是一個班級當(dāng)中的元素，而把這些元素集和起來，其實就是一個班級群體的集和。

又比如在學(xué)習(xí)集和表示方法的時候，教師也可以結(jié)合教材當(dāng)中的例題，即“表示x-6<4的所有自然數(shù)組成的集和”以及“方程x2-x=0的所有實數(shù)組成的集和”。用列舉法表示的話，就要把小于10的所有自然數(shù)的集和設(shè)成C，C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}而用描述法表示的話，就可以表示為{x∈R|x<10}。而關(guān)于方程x2-x=0的所有實數(shù)組成的集和的表示方法，其實也有兩種，用列舉法表示的話，需要把方程x2-x=0的集和設(shè)定為A，即A={0，1}，而在用描述法表示的時候，學(xué)生就需要設(shè)x∈A，x還是個實數(shù)，且x2-x=0，所以，A={x∈R|x2-x=0}。

（二）習(xí)題層面“一題多變”的訓(xùn)練策略

在新課程改革開始實施以后，對于習(xí)題層面的練習(xí)，就無法運(yùn)用題海戰(zhàn)術(shù)。但為了鍛煉學(xué)生的思維，教師依舊還要讓學(xué)生做一些固定數(shù)量的練習(xí)題，鞏固對應(yīng)的知識內(nèi)容，而在對其進(jìn)行訓(xùn)練的時候，教師就可以運(yùn)用“一題多變”的訓(xùn)練策略，學(xué)生可以通過不同的解題方法，深刻把握已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識內(nèi)容，并且會對同類型的數(shù)學(xué)題進(jìn)行整合和歸納，并在整合過程中，明確掌握這一類型的數(shù)學(xué)題。

就以高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊第六章第四節(jié)《平面向量的應(yīng)用》為例，教師在結(jié)合本章教材內(nèi)容，實施“一題多變”的時候，就可以讓學(xué)生通過不同的解題方法，深入了解平面向量的概念和運(yùn)算方式以及基本定理。比如“用平面向量方法對圖形上的平行關(guān)系和相等關(guān)系進(jìn)行證明”的題型，即“如圖1所示，正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，PECF是矩形，那么用向量方法證明PA=EF。”的題型。

又比如“結(jié)合平面向量和已知關(guān)系，判定雙曲線離心率”的題型，即“已知點Q是雙曲線x2/a2-y2-b2=1（a>0，b>0）的右支上一點，E、F分別是雙曲線的左右焦點，讓（向量OQ+向量OF）向量FQ=0（O是原點），且|向量QE|=|QF|，那么雙曲線的離心率為？”也比如“用平面向量的知識內(nèi)容解決向量相乘值”的題型，即若把三角形ABC內(nèi)接入一個以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且2向量OA+3向量OB+4向量OC=0，那么向量OC乘向量AB的值為多少。學(xué)生能夠在解析問題的過程中，深化自身的數(shù)學(xué)思維，了解具體的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容。

課堂例題層面“一題多變”訓(xùn)練策略

在高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)過程中，教師可以發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，指引學(xué)生學(xué)會“一題多變”觸類旁通，思考出解題規(guī)律。教師能夠通過變題訓(xùn)練，鞏固學(xué)生的計算方法。而在實際教學(xué)的過程里，教師可以在課堂當(dāng)中融合“以不變應(yīng)萬變”的目標(biāo)，只變換一定的計算法則，使學(xué)生從“變化”中，找到解題規(guī)律。

就以高中數(shù)學(xué)人教A版第五章第二節(jié)《三角函數(shù)的概念》為例，教師在講述這節(jié)課程的時候，就可以讓學(xué)生分別寫出：

Sin30°=?cos30°=tan30°=

Sin45°=?cos45°=?tan45°=

Sin60°=cos60°=tan60°=

Sino°=cos0°=tano°=

學(xué)生能夠在填寫的過程中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并推測出三角函數(shù)的關(guān)系式：sin2α+cos2α=1，tanα=sinα/cosα，然后結(jié)合數(shù)值對其進(jìn)行證明。教師從教材出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生“一題多變”的方法，讓學(xué)生在歸納的過程里，明確解題規(guī)律，學(xué)生不必用大量的練習(xí)題來鞏固自身的數(shù)學(xué)知識，學(xué)生可以在探索和分析以及猜測的過程里，形成獨(dú)立思考的習(xí)慣。簡單地說，借助一題多解和一題多變，對課堂練習(xí)的題型進(jìn)行縱向和橫向的延展，不僅能夠變通學(xué)生的思維，而且還能夠發(fā)揮練習(xí)題的價值，進(jìn)而提升學(xué)生的創(chuàng)新思維和發(fā)散思維。

課后習(xí)題層面“一題多變”訓(xùn)練策略

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程里，課后習(xí)題的設(shè)計和布置也具備一定的重要性，教師在設(shè)計和布置的時候，可以結(jié)合“一題多變”的訓(xùn)練策略，對學(xué)生進(jìn)行教育，使學(xué)生能夠在做題的過程里，發(fā)展自身的數(shù)學(xué)思維，提高自身的探究能力和分析能力以及解題能力。

就以高中數(shù)學(xué)人教A版必修1第三章第一節(jié)《函數(shù)的概念及其表示》為例，教師在講完這節(jié)課以后，就可以結(jié)合一題多變，設(shè)計這樣的習(xí)題。

原題：若f（1/x）=x+1+x2（x>0），那么f（x）=————

分析：（用倒數(shù)換元法）解：令t=1/x，那么x=1/t，所以f（t）=1/t+1+1/t2（t>0），把t換做x得出：f（t）=1/x+1+1/x2.

即f（x）=1/x+1+1/x2（x>0）

變題1：設(shè)f（x）滿足于關(guān)系式f（x）+2f（1/x）=3x，那么f（x）的解析式為？

解：令t=1/x，那么x=1/t，f（1/t）+2f（t）=31/t，把t換成x得到：

f（1/x）+2f（x）=31/x，與原來是式子聯(lián)立方程組，消去f（1/x），得出：

f（x）=2/x-x（x≠0）

變題2：已知af（x）+f（-x）=bx，其中a2≠1，求f（x）的解析式？

解：（用相反數(shù)換元）令t=-x，那么x=-t，將其代入到原來的式子當(dāng)中得：

af（-t）+f（t）=-bt

把t變換為x得：

af（-x）+f（x）=-bx

聯(lián)合af（x）+f（-x）=bx得出：

（a2-1）f（x）=b（a+1）x

因為?a2≠1

所以?f（x）=b（a+1）/（a2-1）x=b/a-1x

學(xué)生能夠在解變題的過程中，加深自身的數(shù)學(xué)思維，并發(fā)揮自身的解題能力和分析能力，運(yùn)用不同類的換元法，解出題目的答案，學(xué)生也能夠在這個過程中增強(qiáng)自身獨(dú)立思考的能力，并且了解到更多的數(shù)學(xué)知識，啟發(fā)自身的智力，提升自身的數(shù)學(xué)學(xué)科綜合素養(yǎng)。

結(jié)語

綜上所述，教學(xué)的內(nèi)容需要從教材出發(fā)，且面向全體學(xué)生，而在新高考的背景之下，高中數(shù)學(xué)課程對“一題多變”進(jìn)行運(yùn)用，能夠有效地提升數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)質(zhì)量，且激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，它不像“題海戰(zhàn)術(shù)”一般給予學(xué)生們偌大的壓力，又不像“單方面解析”一般，摒棄學(xué)生獨(dú)立思考的能力。學(xué)生能夠在高中數(shù)學(xué)教師的引導(dǎo)之下，了解更多的數(shù)學(xué)知識，并基于這些數(shù)學(xué)知識，活躍自身的思維，繼而結(jié)合這些數(shù)學(xué)知識，對問題進(jìn)行多層面的解答。

參考文獻(xiàn)：

[1]江猷敏.“一題多解和一題多變”在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的應(yīng)用策略探析[J].考試周刊，2020（66）：77-78.

[2]林海明.“一題多變與一題多解”在培養(yǎng)學(xué)生思維能力中的應(yīng)用[J].當(dāng)代家庭教育，2020（30）：187-188.

[3]張海玲.談利用“一題多解與一題多變”培養(yǎng)學(xué)生的思維能力[J].新智慧，2021（06）：115-116.

作者簡介：胡麗梅（1985—??），女，漢族，福建莆田人，本科，中學(xué)二級教師，研究方向：高考數(shù)學(xué)有效課堂。