構(gòu)造函數(shù)在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用

魏春華

(福建省福州格致中學鼓山校區(qū) 350014)

函數(shù)是高中的重要內(nèi)容，也是學生學習的一個難點，它貫穿于整個高中學習過程，數(shù)學中的構(gòu)造函數(shù)是指基于對數(shù)學問題的合理抽象、深入理解，以及對初高中所學過的基本初等函數(shù)的認識，運用一個新的函數(shù)對原函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，以達到順利求解問題的一種方法.構(gòu)造函數(shù)是高中數(shù)學的重點與難點，對于學生的分析問題和解決問題的能力要求比較高，許多學生對題目理解困難，找不到破題之處，為使學生更好的掌握這一方法，既要做好相關(guān)理論知識的講解，提高學生運用構(gòu)造函數(shù)解題的意識，又要注重為學生展示其在解題中的具體應(yīng)用過程，使學生更好的把握相關(guān)的應(yīng)用細節(jié)與應(yīng)用技巧，在這個過程中需要滲透構(gòu)造的數(shù)學思維，并且需提升學生的運算能力.

例1(2020年全國數(shù)學高考一卷的21題)已知函數(shù)的f(x)=aex-1-lnx+lna(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

此題的第二小題，很多學生在考試時候，由于題干十分的簡單，不知該如何下手，直接求解不等式，似乎很難作答，然而如果嘗試移項方式轉(zhuǎn)化成恒成立問題，通過解決最值問題，就簡化了求解的思路，進而可以快速的解出問題的答案.

當x→0時，g′(x)→-∞,當x→+∞時，g′(x)→+∞,

∴存在唯一的x0使得g′(x0)=0，即在(0,x0)上g′(x)<0,(x0,+∞)上g′(x)>0

∴g(x)min=g(x0)=aex0-1-lnx0+lna-1

方法二：∵f(x)=aex-1-lnx+lna，∴f(x)=elnaex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1

∴elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx，令g(x)=ex+x，即g(lna+x-1)≥g(lnx)

顯然g(x)單調(diào)遞增，所以lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1,

∴h(x)max=h(1)=0,lna≥0，a≥1.

構(gòu)造函數(shù)問題很具有挑戰(zhàn)性，需要學生細心的觀察能力和運算的能力，找到問題的突破口，構(gòu)造出合理的函數(shù)從而解決問題.構(gòu)造函數(shù)的問題應(yīng)用十分的廣泛，構(gòu)造函數(shù)是對所學函數(shù)知識的綜合應(yīng)用，所有的基本初等函數(shù)都是構(gòu)造問題的基礎(chǔ).構(gòu)造滿足條件的函數(shù)，要求對所有的基本初等函數(shù)的性質(zhì)有深刻的理解，并能靈活的運用，常見的有以下幾種情況：

1 利用構(gòu)造函數(shù)分析極值點

極值點問題是高中數(shù)學函數(shù)部分的常見問題.運用構(gòu)造函數(shù)分析極值點問題時需要明確原函數(shù)與導函數(shù)之間的關(guān)系，通過求導進行合理的轉(zhuǎn)化，眾所周知，一些原函數(shù)通過求導往往可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，而二次函數(shù)的根與函數(shù)的極值點相對應(yīng)，認識到這一點也就不難分析出原函數(shù)極值點個數(shù)、極值點分布以及相關(guān)參數(shù)的范圍.

例2設(shè)函數(shù)f(x)=x2+mln(1+x)有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍是( ).

分析解答該題可按照如下思路進行：兩個極值點→導函數(shù)在定義域內(nèi)存在不同的兩根→構(gòu)造函數(shù)→結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進行解答.

2 利用構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)

研究函數(shù)的性質(zhì)有兩種思路：思路一，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)；思路二，構(gòu)造新的函數(shù)，運用導數(shù)進行研究.高中數(shù)學中，有些題目并未給出函數(shù)的具體表達式，對于這種抽象函數(shù)，需要學生運用所學，通過認真審題，借助構(gòu)造函數(shù)巧妙的切入，在此基礎(chǔ)上借助導函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，分析原函數(shù)的單調(diào)性、極值情況.

A.f(x)是增函數(shù) B.f(x)是減函數(shù)

C.f(x)有極大值 D.f(x)有極小值

分析此題為抽象函數(shù)問題，題中沒有明確的函數(shù)解析式，需要學生認真審題，對已知條件進行等價轉(zhuǎn)換，運用求導的逆運算，確定原函數(shù)以及導函數(shù)的具體表達式，通過計算、比較其與零的大小關(guān)系，確定其是遞增的還是遞減的以及是否存在極值.

3 利用構(gòu)造函數(shù)求解或證明參數(shù)范圍

求解參數(shù)范圍是高中數(shù)學的熱門題型.不同習題的解題思路不盡相同，需要學生深入的理解給出的已知條件，通過構(gòu)造新的函數(shù)化陌生為熟悉.其中對于題干中形式相同的已知條件，往往需要采用“同構(gòu)”的思路進行分析.通過對已知條件進行變形，構(gòu)建新的函數(shù)，通過對新函數(shù)性質(zhì)的研究，得出要求解的參數(shù)范圍.

4 利用構(gòu)造函數(shù)計算變量的值

計算變量的值在高中數(shù)學中較為常見.解答該類型題常常需要借助函數(shù)的單調(diào)性，因此，靈活運用多種手段正確的判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.其中對于較為復雜的數(shù)學習題需要構(gòu)建新的函數(shù)，以降低解決問題的難度.

例5 已知實數(shù)x，y滿足ln(4x+3y-6)-ex+y-2≥3x+2y-6，則x+y的值為( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

分析該題干雖然較為簡單，但卻是指數(shù)與對數(shù)的綜合，難度較大，如思路不正確難以得出正確答案.解答該題需要對已知的條件進行變形，由不同到相同，從無形到形似，構(gòu)建出兩個新的函數(shù)，通過對兩個新函數(shù)單調(diào)性的分析，找到兩個函數(shù)特殊的點，問題便迎刃而解.

解析∵ln(4x+3y-6)-ex+y-2≥3x+2y-6,∴l(xiāng)n(4x+3y-6)≥ex+y-2+3x+2y-6

∴l(xiāng)n(4x+3y-6)-(4x+3y-6)≥ex+y-2-(x+y-2)-2

當00，函數(shù)f(x)遞增；當x>1時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)遞減，則f(x)max=f(1)=-1；g′(x)=ex-1，當x<0時g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當x>0時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

g(x)min=g(0)=-1，又∵f(x)≥g(x)，∴f(x)=g(x)=-1，此時4x+3y-6=1，x+y-2=0，解得x=1，y=1，則x+y=2，選擇C項.

高中數(shù)學構(gòu)造函數(shù)思路靈活多變，難度較大，在構(gòu)建函數(shù)過程中，需要對問題仔細的分析，對函數(shù)的表達式認真的觀察，明確解題的思路和方向，從而有效的解決數(shù)學問題.構(gòu)造函數(shù)法是高中數(shù)學解題中的一種重要方式，教師教學中既要注重不同構(gòu)造思路的講解，也要在平時的教學過程中讓學生親身體會構(gòu)造函數(shù)的具體應(yīng)用過程.同時，鼓勵學生做好解題的總結(jié)與反思，使其在訓練中吸取經(jīng)驗教訓，不斷的提高構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用水平，使學生在提高解題能力的同時，發(fā)展其數(shù)學核心素養(yǎng)，從而實現(xiàn)綜合能力的提升.