一道高等數學求極限習題的不同解法背后所蘊含的數學知識與原理

李 霞

(云南民族大學 650031)

1 由一題多解引發的疑問

=5-3=2

(此處利用等價代換，當x→0時，sinx～x,sin5x～5x,sin3x～3x)

利用等價無窮小代換求極限可以使得計算簡化，從以上幾種方法比較來看，方法三與四應該是所有解法中較簡單的，但是卻很少有甚至沒有同學用這兩種方法做.

問題例1能不能寫成如下形式呢？

在講課本第一章第3節無窮大與無窮小，利用無窮小量進行等價代換求極限時，我們通常對學生強調，可以對分式的整個分子或分母進行等價代換，也可以代換分子或分母中的因式，但分子或分母為多個式子的代數和的時候，一般不能代替其中的一項，否則就易出錯.為什么不能代換，很多書上避而不談，可為什么如上問題結論又是對的，那樣做到底對不對，這或許就是很多同學迷惑的原因.

2 解決疑問有妙招：極限四則運算法則來幫忙

例1利用等價無窮小求極限的問題，可以歸結為分式中分子或分母只有其中一個可直接等價代換或只有其中一個可化簡成乘積的形式進行代換的情形，怎么求極限呢，我們可以結合極限的四則運算法則來解決.

例2判斷下列的題能否拆成兩項直接利用等階無窮小代換進行求極限.

(∵當x→0時，sinx～x,tanx～x,ln(1+2x2-x3+2x4)～2x2-x3+2x4)

那么對以分子分母都是加減，且分子分母都不易化成乘積的形式的極限計算，還能利用等價代換嗎？

3 還有疑問再探究：查閱資料引理來幫忙

以上例4求極限的問題，可以歸結為分式中分子和分母都不能化簡成乘積的形式的情形，那是否還可以用等價代換呢？

筆者查閱了相關資料，對于此種類型的極限計算的方法，在許多文獻中都有介紹，除了利用洛必達法則外，仍可以利用等階無窮小代換來求解.在作者祝微、楊春艷《等階無窮小代換定理的拓展》一文中，給出了如下定理，下面我以引理形式給出：

設α～α′，β～β′，γ～γ′，μ～μ′均為同一變化過程中的無窮小量.

引理1與引理2的證明，見參考文獻[3].

利用引理的結論，例4就可以直接利用如下等階代換求極限：

總之，使用等價無窮小代換，是求函數極限常用的一種方法之一，在一定條件下，恰當地利用等價無窮小代換求極限，可以很大程度上簡化極限的計算.當然，等學生學習了第二章導數及第三章微分中值定理以后，對于這種“0/0”型的極限計算，也可以考慮用洛必達法則求極限.