合作探究中實現知識的自主生成
——以“求解創新型數列”為例

陳 琳

(江蘇省南京市江寧高級中學 211000)

教學中，與學生交流，學生的感受是數學課能聽懂，課后作業不會做，考試不理想.與同行交流，老師也很無奈，同一個問題反復講解多遍，學生仍然一知半解.究其原因，這個問題的解決不是學生自身構建和生成以后完成的，沒有實現自我思考、領悟和生成的“被告知”“被模仿”的知識，時間久了就會被遺忘，再次碰到還是不會.認知心理學認為，學習是一種主體參與情景的持續構建的過程，學習是作為主體的學生親歷親為的事情，教師講課不能取代學生的學習，教師的作用在于引導學習，維持學習與促進學習.下面是筆者在市教研活動的一節公開課中的實錄與反思，懇請各位同仁批評指正.

1 教學過程

1.1 拋出問題，回顧舊知，課堂熱身

探究：數列{an},{bn}滿an=2n,bn=n，嘗試用數列an,bn構造新數列{cn}，并求{cn}的前n項和.

學生1：cn=2n+n，cn=2n-n，用分組求和法求和.

學生2：cn=n·2n，，用錯位相減法求和.

教師：很好，上述四個同學用已知的兩個數列構造了不同的數列，把我們數列中常見的數列求和方法都派上了用場，還有其它的構造方法嗎？

學生5：可以把兩個數列中的部分項放在一起構成新的數列.

老師：很好，那你們打算取兩個數列中的哪些項放在一起？

學生6：兩個數列中相同的項或者不同的項放在一起構成新的數列.

比如數列{bn}和{an}中相同的項構造新數列{cn}，求數列{cn}的前n項和.

再比如數列{bn}中去掉{an}中的項構造新數列{dn}，求數列{dn}的前n項和.

教師在黑板上列出{bn}，{an}，{cn}{dn}，讓同學們直觀感受.

學生7：還可以繼續構造，數列{an}{bn}中所有項分別構成集合A，B,將集合A∪B中的所有元素從小到大依次排列，構成一個新數列{cn}，求數列{cn}的前n項和.

教師：很好，這兩位同學構造了不一樣的數列，今天我們一起來挑戰一下，看能否求出它們的和.

設計意圖通過已有的數列，讓學生自己構造新的數列，自己提出問題，解決問題，前幾個問題正好是我們平常經常研究的數列求和問題，學生容易想到，也容易求解，對已有的數列求和方法起到了復習作用.后兩個數列不容易想到，在老師和同學的互相啟發，思維碰撞下，“一時激起千層浪”，同學們的思維頓時活躍起來，同學們躍躍欲試，都想構造出不同的數列，同學們學習的熱情被激發出來.同時為本節課后續學習做好鋪墊.

1.2 例題構建，捕捉自主生成的關鍵點

例1數列an=2n,bn=n，{bn}中去掉{an}中的項構造新數列{cn}，求數列{cn}的前100項和T100.

學生當堂求解，老師巡視，部分學生已經求解出來，部分學生還有困惑，提問求解遇到困難的同學.

教師：生8，你如何思考，還有什么困惑？

生8,，我分別列出了{an},{bn}中的前n項，找到{cn}中的項.

我的困難是我不知道{cn}的第100項是什么？

教師：按照我們研究數列的常用方法，遇到不熟悉的數列，列一列，看一看，找找規律，思路不錯.這位同學暫時遇到了一些困難，哪位同學能幫幫他？

生9:T100=(1+2+3+4+…)-(2+4+8+16+…),

假設等差數列{bn}中正好是100項，最后一項是100，則{bn}中的前100項中包含{an}中6項，即減去6項，則數列{bn}在前100項的基礎上再加上6項，增加的六項依次是101,102,103,104,105,106，它們都不是{bn}中的項，則

T100=(1+2+3+4+…100+101+102+103+104+105+106)-(2+4+8+16+32+64)=5545

教師：很好！思路非常清晰！

設計意圖：讓學生暴漏自己解題的盲點和誤區，以此為探究點讓學生進行合作探究，學生展示問題，同伴互助，思維碰撞，激起同學們進一步的思考，效果良好.

變式1數列an=2n,bn=2n，{bn} 中去掉{an}中的項構造新數列{cn}，求數列{cn}的前100項和T100.

設計意圖：變化一個數列，增加難度，讓學生再次體驗，增加思考的深度，方法進一步在腦海中固化.

例2數列an=2n,bn=3n+1,{an}{bn}中所有項分別構成集合A，B,將集合A∪B中的所有元素從小到大依次排列，構成一個新數列{cn}，求數列{cn}的前70項和T70.

學生獨立思考，自主完成，5分鐘后交流.

生9：直接對數列{an},{bn}分別求和，兩個數列的和就是{cn}的和.

生10：生9說的不對，這兩個數列中有相同的項，應該把重復的項去掉.

教師：很好，生10分析的很到位，她發現{an},{bn}兩個數列中有重復的項，重復的項是哪些？我們來列列看.

生10：

因為{an}和{bn}中相同的項：4,16，64，256,…，所以cn:2,4,7,8,10,13,16…

教師：{cn}這個數列有沒有規律？如何求和？

生10：{cn}沒有特殊的規律，既不是等差數列，也不是等比數列，我在這里遇到了困難，不知道如何求和.

同學們思考片刻，小組討論，繼續交流.

生11：{cn}沒有特殊的規律，但是數列{cn}是由數列{an},{bn}生成的，可以把{an},{bn}分別求和，再減去重復的項的和.

若70項全是{bn}中的項，最后一項是211，故70項中{an}最多有7項，最后一項是128，兩個數列重復的項有3項，因此{bn} 中恰有66項.

T70=(2+4+8+16+32+64+128)+(4+7+10+13+16+…+199)-(4+16+64)=6869

師:很好，分析的很到位，找數列的項數找的很準確.

例3數列an=3n+1，在任意相鄰兩項ak與ak+1(k=1,2,3…)之間插入2k個2，使它們和原數列構成一個新數列{bn}，記Sn為數列{bn}的前n項和，求滿足Sn<500的n的最大值.

不易求出Sn，但是可以求出Sn+2n-2

Sn+2n-2=(4+7+10+13+…+3n+1)+2(21+22+…+2n-1)

分別估算n=7和n=8時上式的值S133=343,S262=624.

要使得Sn<500，則n介于133和262之間，S133+2k=343+2k<500，kmax=78，S211=S133+78=343+78×2=499，故滿足條件的n的最大值為211.

1.3 課堂小結，方法總結與提煉

課堂小結：本節課我們研究了創新數列，請同學們從知識層面，方法層面分別總結一下.

生13:本節課我們研究了用已知數列研究新數列的問題，研究未知的數列最常用的方法是列一列，看一看，把未知數列逐步轉化為已知數列來求解，分組求和是常用的方法.

師：用已知構造新數列需要注意什么？

生14：一定要分析清楚新數列中的項，并弄清首項，尾項和項數.

本節課設計意圖：創新數列是近兩年全國高考試卷的熱點問題，我想通過本節課的學習，給學生提供一些研究此類問題的常用方法，讓同學們見到此類問題不再害怕.

2 課后反思

2.1 學生探究——讓知識生成更加流暢

基于核心素養的數學課堂應該是立足于學生思維品質的培養而成為“思維之樹長青”的課堂，就是要讓學生發現問題，提出問題，解決問題.本節課，學生通過思考，討論，交流，思維上經歷了“直覺——矛盾——思考——論證”的過程，學生不斷的主動思考，交流碰撞，優化思路，一層一層剝開題目隱藏的面紗，在討論交流過程中，不斷的揭示題目的本質問題，在質疑中逐步解決問題.這個過程很好的鍛煉了學生的“四能”，培養了學生直觀想象，邏輯推理，數學運算等核心素養.同學們經過思考，辨析，交流領悟到的方法印象深刻.他們體驗到了成功的快樂，很大程度上激發了他們學習數學的熱情.

2.2 教師預設——讓課堂生成更精彩

老師在備課中要弄清本節課要讓學生通過探究透徹掌握什么？怎樣探究？探究這個難點問題需要哪些預備知識？如何分臺階的設置問題？探究過程中學生會遇到什么困難？在課堂探究的關鍵節點，老師要憑借提問和追問，把控探究方向，逐步深入，讓學生從“云山霧罩”到“豁然開朗”，讓課堂自然生成，水到渠成，知識和方法自然地進行提煉和升華.學會了思考，同學們碰到類似的問題，便敢于去嘗試，敢于去探索.