數列放縮小專題復習的教學案例設計

郭 增

(浙江省金華市湯溪高級中學 321075)

1 教學內容分析

本節安排在數列求和復習結束后，在學生充分了解并掌握數列常見的幾種求和方法的前提下，更進一步對數列與不等式的放縮問題進行深入挖掘.教學內容分為三個方面：第一個方面是讓學生學會識別不同類的數列放縮，第二個方面是掌握放縮的兩大基本要素，第三個方面從構造方面讓學生切實掌握有效可操作的方法解決數列放縮問題并領會其思想.

2 學情分析

對于剛復習完數列的普通學生來說，對數列的基本知識與方法有了一定熟練度，尤其是求和公式也能熟練應用.但是對于數列不等式放縮，大部分學生都有一定程度的懼怕心理，苦于無方法，難操作，因此思維靈活性受到制約.

3 設計思想

本節課采取探究式課堂教學模式，即課前討論—課上探究—課后總結，在學案啟發設計引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以數列放縮的方法和思想為基本探究內容，讓學生通過個人、小組、集體等多種解決問題的嘗試活動，在探究學習的過程中把放縮的思想融入到解決問題的方法中.

4 教學目標

(1)引導學生從已有的簡單放縮問題出發，通過一道數列放縮小題的求解，由特殊到一般地對放縮技巧理解并歸納.

(2)通過對實際問題的探索，培養學生觀察問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生的協作能力和交流能力，發展學生的創新意識，培養創造性思維的能力.

(3)培養學生合情合理探索數學規律的數學思想方法，通過數列放縮技巧的歸納和整理提升學生邏輯推理與演繹推理的能力.

5 教學重點與難點

教學重點：數列放縮的兩大基本要素以及放縮的基本思路.

教學難點：放縮技巧的實際應用：轉化與計算

6 教學過程

6.1 回顧數列求和的基本內容以及數列放縮的問題

教師：數列問題難度可分為以下三個層次：

通項公式，求和公式都能求解；

通項公式能求解，求和需要放縮；

通項，求和都需要放縮.

6.2 例題討論，分析放縮的兩大基本要素

問題一：數列放縮注意哪些點？(帶著問題做例1)

設計意圖：了解學生掌握放縮的程度以及技巧性的能力

學生：講解方法(讓學生講解放縮的過程)

第一類是

第二類是

第三類是

教師：三種不同的放縮方式可以觀察出什么特點嗎？

學生：一類比一類更加貼近原式的值，也就是放縮的尺度更精準.

教師：若是大部分同學想不到第二類或者第三類的放縮方式，只有第一類放縮的方式容易想到，是否就無法解決2,3兩個問題？

設計意圖：通過參與學生的討論，把放縮的項數問題滲透到學生的思想中.

學生：既然放縮的技巧達不到精度，我們可以嘗試把放縮的項數減少，前幾項用真實值.

教師：回顧第一個問題，數列放縮注意哪些點？

學生：放縮的技巧以及項數

歸納總結：尺度不夠，項數來湊，項不過三，尺度再轉

設計意圖：學生通過運算對比體會到放縮的技巧和項數同樣重要.

6.3 探究放縮的技巧與方法

教師：如何有效構造數列放縮？思考有哪些常見的求和式可以與常數比較大小？

學生：裂項相消，等比數列錯位相減

問題二：如何構造裂項相消和等比數列才是問題難點，帶著這個問題一起來做一下例2.

(第一小問容易解決an=2n-1，重點分析第二小問)

讓學生嘗試運算可以發現，用這個放縮必須要從第四項開始放縮才能解決，且運算量大.

設計意圖：學生通過運算體會到放縮的尺度的把握的重要性.

學生：能不能試著用待定系數？目標就是等比數列求和.

當n=1時不成立，因而作調整.不等式調整為，

(此類放縮優點在于尺度和項數可以在運算中進行調整，以滿足不同程度的放縮)

設計意圖：通過師生共同合作體驗待定系數可控式的放縮技巧.

教師：前面的問題中提到常見的求和式可以與常數比較大小的除了等比數列的錯位相減還有裂項相消，那在這個題目中能實現嗎？

學生：裂項關鍵在于分母因式分解，然后裂項觀察相消，無法拼出.

教師：對比之前的例1，同學們可以發現裂項的前后兩項是可以通過項與項的關系來放縮的.結合待定系數，我們能不能試用一下？

學生參照等比待定系數的過程自行操作，并挑部分學生進行展示.教師提供完整的思路供學生參考.

設計意圖：通過實踐以及點評讓學生體會數列放縮待定系數法的邏輯合理性，消除對于數列放縮技巧性的突兀感.

6.4 實踐鞏固

設計意圖：通過實踐讓學生進一步體會兩種放縮的技巧的關鍵.

6.5 課堂小結

教師：提示引導學生總結本節課的主要內容

學生：思考交流，歸納總結

設計意圖：通過學生的總結，培養學生的歸納總結能力和語言表達能力

6.6 作業設計

已知Sn為數列{an}的前n項和，a1=2，an>0且2Sn+1-an+12=-2Sn其中n∈N+，(1)求{an}的通項公式；