章首課的教學與反思
——以“不等式”的教學為例

張 麗

(江蘇省南京市南師附中秦淮科技高中 210007)

筆者嘗試上了一節“不等式”章首課，“不等式”是蘇教版普通高中課程標準試驗教科書《數學5》(必修)第三章章首節.它對后續的不等關系、一元二次不等式、二元一次不等式表示的平面區域、簡單的線性規劃問題及基本不等式的證明等學習內容具有“先行組織者”的影響.以下介紹的是這節章首課的主要教學過程及若干思考，與同行交流.

1 教學過程

片段一“為什么要學”

師：本章學習“不等式”，我們為什么要研究不等式？

生1：因為在生活中有大量的不等關系.

師：數學中用什么表示這些不等關系？舉例.

生2：不等式.

生3：例如x>1,(a+b)2≥0,(a-b)2≥0,x2<1,sin60°<1……

片段二“學什么”

師：我們對等式有過大量的研究,我們能對不等式做些什么研究呢？

生4：首先要搞清楚什么是不等式.用不等號表示的式子叫不等式.

師規范：用不等號連接的式子叫做不等式.

師追問：有哪些不等號呢?

生4：“<”“>”“≤”“≥”“≠”

生5：不等式可以研究一次不等式，二次不等式，三次不等式等等，還可以研究有幾個未知量的不等式和不等式的應用.

生6：由不等式想到等式，由等式的性質想到可以研究不等式的性質.

師：請舉例.

生6：比如由“若a=b，則a+1=b+1”類比得到“若a>b，則a+1>b+1”.

師：類比遷移時需要注意什么?

生6：等式性質與不等式性質，他們各自有成立的前提條件，需要特別注意.

生7：等式研究的是確定的關系，不等式研究的是不確定的關系，不確定的關系可能是范圍，也可能是其他形式.如非常常見的不等式a2+b2≥2ab，它是個對其它問題有影響的不等式，我們先研究它，再應用它.

師追問：確定關系反映在等式上是什么？比如x+1=0.

生7：能把方程解出來.

師：就是我們可以通過“解方程”來解釋這個確定的關系.

師追問：那么不確定的關系反映在不等式上是什么？

生7：解不等式.

師繼續追問：你說的非常常見的不等式，我們怎么研究它？(生7回答不出.)

師：那你認可這樣的不等式嗎？怎么說明它可以被應用？

生7：認可，我可以證明它是正確的.

師：非常好！

生8：我考慮的是不等式自身的特性，如恒成立，再如不等式與不等式之間的關系.

片段三“怎么學”

師：同學們說得都很棒！如果確定了研究的內容，你打算如何去研究呢？比如,在初中我們學過了一元一次不等式，不妨以此為例，我們一起回顧一下是如何研究一元一次不等式的.我們解一下不等式3x+2>0.

師：他這樣解有依據嗎？

生10：用了不等式的性質.

師：還有什么方法可以解這個不等式？

師：這位同學條理清晰地找到了函數圖象、方程(即等式)與不等式之間的聯系，利用函數圖象研究了一元一次不等式解法.我們在此基礎上進一步研究不等式,可以研究哪一類？

生12：一元二次不等式，如x2-3x+2<0，

生13：先構造一元二次函數y=x2-3x+2，并作出它的圖象，令y=0，得到x=1和x=2，也即找到了函數圖象與x軸交點的橫坐標.解不等式x2-3x+2<0，就是解y<0.

師：這是從形的角度去思考，能換一個角度解決一元二次不等式嗎？

師：你是怎么想到的？

生14：我們已經會解一元一次不等式，那么可以考慮把一元二次轉化為一元一次的問題，因式分解就是實現轉化的一種手段.

師：如果不能因式分解呢？如求解不等式x2-3x+1<0.

生15：用配方或求根公式，只要能找到方程的根，結合圖象即可.

生16：不一定都能找到方程的根，但是可以作圖，結合圖象解決.比如，x2+1<0，無解，不等式的解集為空集.(掌聲自然的響起.)

師：如何進一步求解一元三次不等式，如x3-2x2-x+2<0？

生17：找到方程的一個根，即可將三次方程降為二次方程，然后研究三次函數圖象，再解決一元三次不等式問題.

師：非常好，用了降次與化歸的思想方法.當然，也許還有一些簡便的解法，可待后續研究.一元不等式我們暫且討論至此，在同學們舉例的等式中有一個x+y=2，這是什么方程？

生18：二元一次方程.

師：它的解是什么？

生18：無數組解.

師：怎么表示這些解？

生19：直線y=-x+2上所有的點的坐標都是方程x-y=2的解.

師：你能仿此等式寫出一個不等式，并且求解嗎？(先充分獨立思考，然后再小組合作討論.)

生20：我們組研究了二元一次不等式x+y>0的解法.先畫函數x+y=0的圖象，然后發現直線y=-x右上方的區域中點的坐標都滿足不等式x+y>0，因此不等式x+y>0的解在直線x+y=0的右上方區域.

PPT上呈現問題：

已知bg糖水中有ag糖(b>a>0),若再添加mg糖(m>0),則糖水更甜(即濃度更高).請根據這個事實寫出a,b,m所滿足的不等關系.

師：同學們能提煉出實際問題數學化的思維鏈嗎？

(請獨立思考2分鐘，然后小組討論3分鐘.一個小組發言，其它小組點評.)

師：同學們可以類比證明等式恒成立的方法，來證明一些恒成立的不等式，請課后完善此題證明.

片段四“梳理知識，歸納小結”

師：學完這節課你知識上、方法上有什么收獲？還有什么困惑嗎？請先獨立思考,然后小組合作填寫小結表格.

課后作業：自學必修五第三章不等式，寫出你的收獲、困惑,并設計成一個表格.

2 教后反思

2.1“等”與“不等”是辯證關系

“等”與“不等”是對立統一的.從量的關系上看“等”是相對的，“不等”則是絕對的；從運算性質上看，“等式”和“不等式”有相似的一面，如傳遞性，但又有差異的一面，如兩邊同乘一個數等式仍然成立，而不等式不一定成立；從矛盾雙方轉化來看，“等”的問題有時要轉化為“不等”問題，而“不等”問題有時又要轉化為“等”的問題，如判斷一元二次方程實根情況和解一元二次不等式便是在“等”和“不等”之間進行相互轉化.

2.2 學生已有認知作為新知的重要生長點

要充分分析學情.了解學生已經具備了哪些知識，如學生已有“等式”和已經研究過的“一元一次不等式”的認知；了解學生已有的數學思想方法，如類比思想、轉化與化歸思想、降次思想、數形結合思想；學生已有的研究數學問題的經驗，如從特殊到一般、從低次到高次、從一元到多元、從為什么學到學什么再到怎么學.學生已有的認知決定有哪些知識點作為新授課的生長點，哪些方法和經驗可以遷移到新的學習內容中來，最后引導學生探索各知識點之間的內在聯系，形成知識框架.

2.3 上章首課的理由

章首課的內容和研究方法有利于學生搭建知識框架，并能為后續學習本章內容提供重要的思想方法.

2.4 章首課的形態

章首課宜多“虛”少“實”，宜多“宏觀”少“微觀”，宜多“粗”少“細”，甚至問題都不用解決到底，可留待后續探究.簡單來說就是“看似什么都講了，又好似什么都沒講”.

科學地設計、合理地實施章首課教學，對一章的學習能起到事半功倍的效果，章首課豐富的教學價值值得教者深思.