應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心動(dòng)能定理法求解碰撞問題

徐華兵

（浙江省金華第一中學(xué)，浙江 金華 321015）

1 問題提出

筆者在給學(xué)生講授動(dòng)量、動(dòng)量定理習(xí)題時(shí)碰到一道連續(xù)多個(gè)物體完全非彈性碰撞求解碰后速度問題，用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式法求解非常繁瑣且復(fù)雜，而用質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心動(dòng)能定理法求解卻較為簡單方便.

例1.在光滑水平面上的一條直線上，排列著一系列可視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量均為m的物體1、2、3、4，在1之前放著一個(gè)質(zhì)量M=4m的物體A，相鄰物體間的距離均為l，最初所有物體均靜止，如圖1所示.現(xiàn)用一水平力F推A，從而發(fā)生一系列完全非彈性碰撞.求：當(dāng)運(yùn)動(dòng)物體與第4號物體相碰前的瞬間，其速度為多大？

圖1

解析：物體A與物塊1、2、3相繼碰撞，碰撞過程中質(zhì)量不斷變化，物體的加速度不斷變化.所以若用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解，必須對質(zhì)點(diǎn)系與物體4碰前過程分子過程處理.

點(diǎn)評：本題是質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)完全非彈性碰撞問題，在碰撞過程中物體的質(zhì)量不斷變化，恒力F作用下加速度不斷變化，用常規(guī)思路求解，必須分子過程處理，而且過程及其復(fù)雜.而此時(shí)若應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心動(dòng)能定理法求解只需要找出力F作用前后質(zhì)心位置，求出質(zhì)心位移；算出質(zhì)點(diǎn)系合外力對質(zhì)心做的功，最后應(yīng)用質(zhì)心動(dòng)能定理列式計(jì)算即可.

2 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心動(dòng)能定理表達(dá)式推導(dǎo)

質(zhì)心是質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的質(zhì)量分布中心，在給定的坐標(biāo)框架下質(zhì)心的位置矢量為

對時(shí)間t求導(dǎo)得

將速度v對時(shí)間t求導(dǎo)得

3 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心動(dòng)能定理求解碰撞問題分類剖析

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中所受外力是恒力還是變力，可將質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)間的碰撞問題分為恒定合外力F作用下的碰撞問題和變合外力F作用下的碰撞問題.下面分上述兩類情形剖析質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)間的碰撞問題.

3.1 質(zhì)點(diǎn)系受恒定合外力F作用類碰撞問題

質(zhì)點(diǎn)系受恒定合外力F作用類碰撞問題是指質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中受恒定外力F作用的碰撞問題.但由于運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)不斷增多，質(zhì)量不斷變大，雖是恒定合外力，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的加速度卻在不斷變化，過程較為復(fù)雜；若采用質(zhì)心動(dòng)能定理求解碰撞后質(zhì)點(diǎn)速度能簡化運(yùn)動(dòng)過程，求解較為方便.

例2.一光滑桿上套3個(gè)質(zhì)量為m的光滑圓環(huán)，相鄰圓環(huán)間距都為l，如圖2所示.現(xiàn)給環(huán)1施加一恒力F，環(huán)1在恒力F的作用下向著環(huán)2運(yùn)動(dòng)，環(huán)1和環(huán)2碰后在原來恒力F作用下一起向著環(huán)3運(yùn)動(dòng).已知所有的碰撞為完全非彈性碰撞，求環(huán)1、2、3系統(tǒng)碰后的速度v3.

圖2

變式1：一光滑桿上套n個(gè)質(zhì)量為m的光滑圓環(huán)，相鄰圓環(huán)間距都為l，如圖3所示.現(xiàn)給環(huán)1施加一恒力F，環(huán)1在恒力F的作用下向著環(huán)2運(yùn)動(dòng)，環(huán)1和環(huán)2碰后在原來恒力F作用下一起向著環(huán)3運(yùn)動(dòng)，與環(huán)3碰后，環(huán)1、環(huán)2和環(huán)3在原恒力F的作用下向著環(huán)4運(yùn)動(dòng)，依次碰撞下去……已知所有的碰撞為完全非彈性碰撞.求與第n個(gè)環(huán)碰后系統(tǒng)的速度vn.

圖3

點(diǎn)評：上述例2也可應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解，且能快速求出，不是很繁瑣；應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心動(dòng)能定理求解的優(yōu)越性還沒完全表現(xiàn)出來.而變式1將質(zhì)點(diǎn)系碰撞質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)由3個(gè)拓展到n個(gè)，若用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解將會(huì)非常復(fù)雜，且運(yùn)算量非常繁瑣；而用質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心動(dòng)能定理求解過程簡潔明了清晰，優(yōu)越性盡顯.

3.2 質(zhì)點(diǎn)系受變合外力F作用類碰撞問題

質(zhì)點(diǎn)系受變合外力F作用類碰撞問題是指質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中受變化合外力F作用的碰撞問題.由于運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系的合外力F不斷變化，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的加速度也在不斷變化，從牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式角度分析過程復(fù)雜；宜用質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心動(dòng)能定理法求解.

例3.一粗糙桿上套3個(gè)質(zhì)量為m的圓環(huán)，已知圓環(huán)與桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，相鄰兩圓環(huán)間距為l.現(xiàn)給環(huán)1一個(gè)初速度v0，使它向著環(huán)2運(yùn)動(dòng)，與環(huán)2碰后粘在一起，繼續(xù)向環(huán)3運(yùn)動(dòng)，與環(huán)3發(fā)生碰撞，如圖4所示.若環(huán)1、環(huán)2和環(huán)3間的碰撞都為完全非彈性碰撞，求：環(huán)1、環(huán)2和環(huán)3碰后粘合體的速度v3.

圖4

變式2：一粗糙桿上套n個(gè)質(zhì)量為m的圓環(huán)，已知圓環(huán)與桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，相鄰兩圓環(huán)間距為l.現(xiàn)給環(huán)1一個(gè)初速度v0，使它向著環(huán)2運(yùn)動(dòng)，與環(huán)2碰后粘在一起，繼續(xù)向環(huán)3運(yùn)動(dòng)，與環(huán)3發(fā)生碰撞…直到與第n個(gè)環(huán)發(fā)生碰撞，如圖5所示.若所有環(huán)間的碰撞都為完全非彈性碰撞，求與第n個(gè)環(huán)碰后粘合體的速度vn.

圖5

點(diǎn)評：例3和變式2都屬于受變化合外力F作用類質(zhì)點(diǎn)系碰撞問題，若從牛頓運(yùn)動(dòng)定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式角度求解質(zhì)點(diǎn)系碰撞后的速度，過程較為復(fù)雜，難度較大；尤其是變式2中質(zhì)點(diǎn)系從有限個(gè)較少的質(zhì)點(diǎn)拓展到n個(gè)質(zhì)點(diǎn).此時(shí)，若用質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心動(dòng)能定理法求解質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)碰后速度，過程清晰明了簡單.

質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)間完全非彈性碰撞問題在高中物理力學(xué)試題中常常出現(xiàn)，由于質(zhì)點(diǎn)系研究對象多，碰撞過程復(fù)雜，這類試題從牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式角度求解往往計(jì)算量大，且過程復(fù)雜，及其容易出錯(cuò).本文為這類試題的求解提供了一種簡單的方法——應(yīng)用質(zhì)心動(dòng)能定理法求解質(zhì)點(diǎn)系碰撞問題，希望對廣大同行教師在講授這類試題時(shí)有所幫助.