幾何直觀，讓內(nèi)隱的概念“看得見”

江蘇省南京市上元小學(xué) 尹昌濤

在第一次教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊“乘法分配率”一課時(shí)，筆者課前認(rèn)真研讀了教材，并充分備好了課，像一般教師一樣先創(chuàng)設(shè)情境并提問：“足球單價(jià)32元，籃球單價(jià)45元，排球單價(jià)65元，那么7個(gè)籃球和排球一共需要多少呢？”再按照分析題意、列式解答、講述思路、觀察比較、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、舉例驗(yàn)證、總結(jié)規(guī)律、鞏固練習(xí)的順序進(jìn)行教學(xué)。各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)也比較順暢，但在課后練習(xí)作業(yè)中，很多學(xué)生把（a+b）×c模型的算式寫成a+b×c或者是（a×b）×c，與（a+b）×c模型分不清。經(jīng)過單獨(dú)指導(dǎo)，大部分學(xué)生都能掌握乘法分配率，但還是有四五個(gè)學(xué)生總犯這樣的錯(cuò)誤。

停下腳步尋找根源，筆者發(fā)現(xiàn)：根本原因是學(xué)生“數(shù)”感薄弱，用字母表征乘法分配律體驗(yàn)淺薄。在教學(xué)中，教師如果只讓學(xué)生抽象數(shù)字表征，那么學(xué)生的認(rèn)知只會(huì)如外在描摹一般，產(chǎn)生機(jī)械記憶思維，影響他們對其他運(yùn)算律的理解。

如果把數(shù)的概念理解構(gòu)建在直觀圖形表征上，不就直觀形象，好理解了嗎？于是筆者在教學(xué)中分解長方形面積推導(dǎo)過程，構(gòu)建面積公式與乘法分配律的相關(guān)性，直觀展現(xiàn)乘法分配律的算理，大長方形整體面積等于兩小長方形面積之和（見圖1）。這樣竟收到了意想不到的教學(xué)效果——學(xué)生基本不再犯上述類似的錯(cuò)誤了，筆者感到很欣慰。

圖1

一、意蘊(yùn)解讀：“幾何直觀”的作用及價(jià)值

從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對幾何直觀的闡述中，我們可以清楚地認(rèn)識(shí)到，幾何直觀是借助圖形來描述和幫助分析問題的一種方法或思想。而幾何直觀的作用就是可以化繁為簡、化模糊為具體、化抽象為直觀，幫助我們尋求思路，提供猜想的途徑。其價(jià)值就是使教學(xué)手段更豐富和多樣化，有利于學(xué)生思維的發(fā)散和聚焦；有利于學(xué)生對問題的理解與解決；有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)之美。

二、審視： “幾何直觀”在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運(yùn)用現(xiàn)狀剖析

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般分為前期、中期、后期三個(gè)階段。筆者對全校18位數(shù)學(xué)教師使用幾何直觀在概念教學(xué)前期、中期、后期的運(yùn)用情況進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)。為了保證調(diào)查的真實(shí)性和準(zhǔn)確性，本次調(diào)查利用課余時(shí)間在不同的時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行了調(diào)查與訪談。

通過調(diào)查我們發(fā)現(xiàn)：18位教師均會(huì)在概念教學(xué)的前期運(yùn)用幾何直觀，即在概念的引入中運(yùn)用，但在概念教學(xué)的中期、后期，即在概念的形成和鞏固中運(yùn)用較少。通過訪談了解原因：所有教師都認(rèn)為借助幾何直觀很重要，但大部分教師對幾何直觀只是有一定的了解，了解不夠深入。受傳統(tǒng)“灌輸式”概念教學(xué)的影響，大部分教師只體會(huì)到幾何直觀在概念引入教學(xué)時(shí)運(yùn)用的好處，而未體會(huì)到在概念形成、鞏固教學(xué)時(shí)運(yùn)用也能發(fā)揮其重要的作用。

三、探尋：幾何直觀在概念教學(xué)中的實(shí)際運(yùn)用

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)大都是以教師的直接呈現(xiàn)為主，即教師直接出示概念，學(xué)生只是表面對文字意義進(jìn)行理解，看不見、摸不著，使得概念教學(xué)課堂氣氛沉悶、效果不甚理想。但是幾何直觀由于其圖形的直觀效果，在課堂教學(xué)中運(yùn)用，能激發(fā)學(xué)生的直觀思維，從而降低理解難度，使概念教學(xué)直觀生動(dòng)、易于理解。

（一）改變概念感知方式——凸顯本質(zhì)，催化理解

概念教學(xué)重點(diǎn)在引入階段，結(jié)合學(xué)生的智力發(fā)展水平，以直觀呈現(xiàn)的表征方式調(diào)整概念的感知力，讓學(xué)生主動(dòng)探尋對概念的深度認(rèn)知，借助幾何直觀支撐表象，能催化對抽象的數(shù)學(xué)概念的理解。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)中位數(shù)”一課時(shí)，難點(diǎn)是理解“在極端數(shù)據(jù)中，中位數(shù)比平均數(shù)更具代表性”。在教學(xué)過程中，一般教師都是先出示學(xué)生跳繩的7組數(shù)據(jù)：107、97、105、102、100、98、196，并引導(dǎo)學(xué)生求出平均數(shù)，觀察、比較數(shù)據(jù)。發(fā)現(xiàn)平均數(shù)不能代表學(xué)生的一般水平，教師接著會(huì)引導(dǎo)學(xué)生對比認(rèn)識(shí)中位數(shù)的性質(zhì)。由于學(xué)生對中位數(shù)比較陌生，這種從數(shù)中抽象概念的教學(xué)形式讓學(xué)生理解起來有一定的困難，教學(xué)效果并不很明顯。因此，在教學(xué)中，筆者充分運(yùn)用幾何直觀的特性，幫助學(xué)生理解“在極端數(shù)據(jù)中，中位數(shù)比平均數(shù)更具代表性”，于是將7組數(shù)據(jù)表示在統(tǒng)計(jì)圖中，分別用直線畫出平均數(shù)、中位數(shù)所在的數(shù)據(jù)，再提問：“比115多5或少5的有幾人？”（學(xué)生回答：無）“那么有幾人比102多5或少5呢？”（學(xué)生回答：6）以直觀的方式對比認(rèn)識(shí)中位數(shù)與平均數(shù)的性質(zhì)與區(qū)別，凸顯了其本質(zhì)，自然而然能快速催化學(xué)生對中位數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

由此可見，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，充分借助幾何直觀，不僅可以把概念化繁為簡，而且還利于化難為易，有助于教學(xué)重難點(diǎn)的突破。

（二）展現(xiàn)概念生成過程——明晰本質(zhì)，強(qiáng)化理解

在概念教學(xué)的前期和中期，教師可以以直觀的方式，讓學(xué)生借助幾何畫板的動(dòng)畫演示功能動(dòng)手操作，親身經(jīng)歷并自我展現(xiàn)概念的生成過程，這樣有利于學(xué)生對概念的深度理解和提升理解思維水平。

例如，在教學(xué)“三角形的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，若教師只是按照課本上的定義進(jìn)行教學(xué)，認(rèn)識(shí)三角形的高，只是像例題一樣從一個(gè)頂點(diǎn)到對應(yīng)邊的垂直線段，學(xué)生會(huì)認(rèn)為三角形的高就在三角形內(nèi)。但如果教師結(jié)合“幾何畫板”軟件演示三角形高的變化，操作直觀演示內(nèi)部高到外部高都符合高的定義，不但可以豐富學(xué)生對高的定義認(rèn)知，而且可以使學(xué)生對高的定義理解更扎實(shí)（見圖2）。

在平時(shí)的數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)中，對于像此類歸化型的概念，讓學(xué)生借助“幾何畫板”的動(dòng)態(tài)演示直觀功能，親身體驗(yàn)，既讓各個(gè)分支知識(shí)點(diǎn)的歸納成型形成完整概念，又有利于螺旋降低理解的難度，真正克服了負(fù)遷移，強(qiáng)化了學(xué)生對概念的認(rèn)知。

（三）發(fā)掘概念隱含特性——觸摸本質(zhì)，深化理解

數(shù)學(xué)教學(xué)階段，有些概念帶有表面性，在概念教學(xué)后期，概念雖已形成，但學(xué)生的探知欲望并沒有得到滿足，若不及時(shí)引導(dǎo)，容易限制學(xué)生思維的發(fā)展。教師要充分利用幾何直觀的自身特性，發(fā)掘概念中隱含的本質(zhì)特性，直觀、淺顯地讓學(xué)生觸摸到概念的本質(zhì)，從而深化對概念的理解。

例如，筆者曾聽過一節(jié)“3的倍數(shù)特征”的展示課，課上的結(jié)構(gòu)層次分明，無論是教師問題的設(shè)計(jì)、引導(dǎo)，還是學(xué)生的探索、交流、討論，都很到位，到最后的運(yùn)用特征鞏固練習(xí)也做得非常好，于是教師在全課總結(jié)時(shí)問道：“還有什么疑問嗎？”這時(shí)有個(gè)學(xué)生問：“到底為什么各個(gè)位數(shù)上數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除呢？”教師顯得有些無奈，其他學(xué)生也質(zhì)疑起來……其實(shí)這位教師機(jī)智一點(diǎn)，借助幾何直觀，完全能發(fā)掘3的倍數(shù)特征的深層原因（見圖3）。

圖3

如325能被3整除嗎？

各個(gè)位數(shù)上數(shù)的和（3+2+5）=10，不能被3整除，所以325不能被3整除。究其本質(zhì)原因，結(jié)合幾何直觀很容易就能解釋：將3個(gè)100、2個(gè)10、5個(gè)1除以3分析一下，其中3個(gè)100中的3個(gè)99都能被3整除，2個(gè)10中的2個(gè)9都能被3整除，余下3個(gè)1（相當(dāng)于百位上的3）、2個(gè)1（相當(dāng)于十位上的2）和個(gè)位的5的和來判斷能否被3整除，其實(shí)就相當(dāng)于判斷325能否被3整除。

學(xué)生的質(zhì)疑，是學(xué)生主動(dòng)求知欲望的表現(xiàn)。在本課例中，幾何直觀不但發(fā)揮了其自身突出的價(jià)值，而且讓學(xué)生感受到幾何直觀的好處，同時(shí)，問題的成功解決，也激發(fā)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣，有利于學(xué)生思維的多元化發(fā)展。

（四）構(gòu)建概念內(nèi)在聯(lián)系——完善認(rèn)知，活化理解

分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，不難發(fā)現(xiàn)，教學(xué)知識(shí)三大領(lǐng)域的概念都是呈螺旋上升的，依據(jù)各自領(lǐng)域知識(shí)的邏輯思維層次縱向教學(xué)。面對每個(gè)知識(shí)概念時(shí)，師生互動(dòng)能較容易突破重難點(diǎn)，可是同一領(lǐng)域知識(shí)相互交織，學(xué)生會(huì)混淆不理解。這就需要我們教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，既要注重單獨(dú)概念的應(yīng)用和再理解，更要注重把多個(gè)概念放一起復(fù)習(xí)，系統(tǒng)整理其內(nèi)在聯(lián)系，以促進(jìn)自我認(rèn)知的完善。

例如：在復(fù)習(xí)“平面圖形面積的整理與運(yùn)用”一課時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生說一說這些圖形的面積公式的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些圖形的面積計(jì)算公式都是以哪個(gè)圖形的面積公式為基礎(chǔ)來推導(dǎo)的。若教師引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀，以“長方形的面積”為原始數(shù)學(xué)概念，利用樹形圖構(gòu)建概念之間聯(lián)系，能起到畫龍點(diǎn)睛的作用（見圖4）。

圖4

數(shù)學(xué)概念之間具有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，從最少的幾個(gè)原始數(shù)學(xué)概念出發(fā)，利用樹形圖、集合圖、網(wǎng)絡(luò)圖等，把已有的有聯(lián)系的各個(gè)概念知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，再通過系統(tǒng)的復(fù)習(xí)整理它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)散到該概念知識(shí)的整個(gè)領(lǐng)域，讓數(shù)學(xué)概念能結(jié)成一張網(wǎng)。因此，充分發(fā)揮幾何直觀圖形表征功能，讓數(shù)形有機(jī)結(jié)合理解概念，既有助于學(xué)生理清概念之間的關(guān)聯(lián)性，又可以完善概念的認(rèn)知，活化學(xué)生對概念的理解。

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要想讓學(xué)生對內(nèi)隱的概念“看得見”，要想讓學(xué)生學(xué)習(xí)概念知識(shí)更輕松，巧妙地運(yùn)用幾何直觀顯然是一條捷徑。它有助于化繁為簡、化模糊為具體、化抽象為直觀，提高概念教學(xué)的實(shí)效性。