在“求聯”中加深對數學本質的理解
——以“用假設的策略解決問題”的教學為例

江蘇省南京致遠外國語小學 范韋莉

一、案例描述與分析

“解決問題的策略”是蘇教版數學教材富有特色的教學內容，六年級上冊“解決問題的策略”重點關注的是假設策略。

假設是一種常用的分析和解決問題的策略，其本質是當某一變量因素的存在形式限定在有限種可能時，假設該因素處于某種情況，并以此為條件進行推理，從而得到問題的答案。

對于假設這一策略學生已有的知識基礎是什么？對于這一策略的理解已經達到什么程度？為此我們進行了學情調查，出示了以下兩個問題，讓學生獨立解決。

（1）小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿。已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

（2）小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿，已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

在對收上的36份學情問卷進行分析后，我們發現第一個問題有30個學生都能順利完成，這說明學生在處理兩種未知量是幾分之一的關系時沒有太大問題。第二個問題，有18個學生解答完全正確，其中13人是通過列方程解決的，3人將小杯假設成大杯，2人將大杯假設成小杯；在剩下的18人中，有2人思路正確但計算錯誤，還有16人不知道如何解答。訪談中，學生表示，如果教師不教他們也可以獨立解決像例題那樣的問題，也能說出采用的就是假設的策略，但把兩種未知量的關系改編成幾分之幾后就不知道如何進行假設了。問題究竟出在哪兒呢？

仔細研讀教材，可以看到例題及練習中的數據都具有特殊性，即一種未知量是另一種未知量的幾分之一，若將幾分之一換成幾分之幾時學生將無法調動相關經驗，而教師往往只會關注兩種未知量關系為幾分之一這種特例。教學中如何從學生的認知學情出發，幫助學生從不同的角度探尋有效解決問題的策略，并且在類似的情境、不同的方法中尋求本質的關聯，從中發現和創造出更具一般意義的策略，這些是教師要關注與思考的。

二、教學改進與思考

數學學習有著很強的系統性、關聯性。從這個意義上說，假設策略的本質就是尋求某兩個量或幾個量之間的關系。具體來說，可以對教材進行適當改編和補充，借助問題中的特殊條件（可全部假設成大杯，也可全部假設成小杯）走向一般條件（靈活選擇假設的方法），引導學生通過發現不同方法在思路上的相通之處，初步形成思考的模型，并將其與原有的認知進行聯系。下面為改進后的教學環節：

（一）聯系舊知，激活經驗

教學伊始，教師直接告知學生將要學習的內容，并詢問學生對策略的理解。

教師首先出示了一個簡單問題：小明把720毫升果汁倒入6個小杯，正好都倒滿。小杯的容量是少毫升？學生很快列出算式并口算出結果。

接著，教師呈現了這樣的問題：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

學生在解決這個問題時感到疑惑，認為現在有兩種大小不同的杯子，給出的信息并不能解決這個問題，要想順利求得小杯和大杯的容量，需要補充大杯和小杯之間的關系才行。

【設計意圖】學生的認知發展水平是其展開數學學習活動的重要起點，也是學習真正發生的基礎。學生在此前的學習中，已經有過一些借助假設策略解決問題的經歷，此處意在引導學生喚起相應的數量關系式，借助條件不完備的實際問題，逐步引導學生發現：有兩個未知量的問題，必須知道兩個量之間的關系才可以解決。在對比交流中，學生自然產生“如果是同一種杯子就能解決”的設想，學生在辨析能否解決及如何解決的過程中與已有的知識儲備產生關聯，主動借助已有經驗，自覺運用“求聯”的思維方式去分析、處理新問題，思維方式由無序變得有序，這也就為后續補充條件并初步應用策略打下了良好的基礎。

（二）加強溝通，把握聯系

1.出示問題，自主探索

教師出示：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿。已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

教師鼓勵學生嘗試用不同方法解決，并給出幾點學習建議：

（1）如果有困難，可以再次尋找數量之間的關系。

（2）獨立解決，你還能想到了哪些不同的解法。

（3）如果你有不同的解法，這些方法之間有什么聯系。

2.展示解法，交流思路

反饋時，學生展示了教材中的幾種方法：全部假設成小杯；全部假設成大杯；列方程解答。

3.分析比較，體會策略

教師引導學生回顧剛才分析和解決問題的過程，比較黑板上幾種方法之間的相同之處。在交流與反思中，學生有了如下的感受：

（1）這些方法都用到了假設，有的假設成小杯，有的假設成大杯。

（2）列方程解決問題的方法中也蘊含著假設策略，方程是假設策略中一種解決問題的形式。

（3）問題中有兩個未知量，這些方法都是通過把兩個未知量轉化成一個未知量，從而解決問題。

學生小結：在解決問題的時候，雖然思考的角度和表達的方式不同，但都運用了假設的策略。我們通過假設把兩種大小不同的杯子轉化成一種杯子，也就是將兩種未知量轉化成一種未知量。

【設計意圖】本節課的教學重點不在于教會學生某一道題的解法，而在于幫助學生在了解策略知識、體驗策略價值的基礎上積累活動經驗。教師將視角放在通過例題教學引領學生發現方法間的相同之處，溝通方法間的聯系。首先，反饋中重點圍繞“為什么假設”和“怎么樣假設”兩個問題展開，逐步明確假設思考的主要過程和關鍵環節；其次，特別注意讓學生將算式和方程進行關聯，促使學生對不同方法背后所蘊含的關系進行聚焦性的、反思性的探究，發現其在思考時的相通模型。比如，學生發現無論是在算術方法（見圖1）中還是在方程（見圖2）中，都可以清楚地看到這兩種方法本質都是假設成9個小杯。這樣對不同方法進行“求聯”的過程，實則就是破除形式，探索本質意義的過程。

圖1

圖2

（三）豐富歷程，緊扣本質

1.橫向聯系

出示四年級下冊畫圖策略中的問題（見圖3）。詢問學生當時是如何解決的，這個例子與當下學習的假設有無關聯。學生領悟到這些問題的本質相同，都是把兩種未知量假設成一種未知量。

圖3

2.縱向深入

教師告知學生，判斷自己是否掌握了一個新方法，得通過很多問題進行檢驗。可以把問題中的條件在結構不變的情況下進行變化。

（1）教師出示：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿。已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

教師提醒學生：剛才條件中都是分子為1的分數，現在有了新變化。在獨立嘗試的過程中，教師發現部分學生面露難色，無從下筆。

交流時，教師詢問學生遇到什么困難，以及可以采取怎樣的方法進行假設。學生指出，剛才接觸的兩種未知量的關系都是幾分之一的情況，這里卻變成幾分之幾，因而無法調動剛才的經驗靈活地進行假設。同時，有學生提出這個問題如果用方程（見圖4）解決就好辦多了。

圖4

當然，反饋過程中也有個別學生用算術方法。但通過討論，學生一致認為就此題而言，方程能更好地幫助他們理清數量關系，進而解決問題。

教師指出：算術方法和方程都可以幫助我們解決問題，但在假設的時候，還應根據題目中數據的特點靈活選擇解決問題的方法，有時候算式方法方便，有時方程能更好地幫助我們解決問題。

（3）把例題中的條件“正好都倒滿”依次改為：“全部倒滿后還剩下20毫升果汁”和“還差20毫升果汁就可以將所有杯子倒滿”，其他不變。

學生想到只要把原來的720毫升果汁減去20毫升或加上20毫升就與例題一樣。

（4）教師告知學生，還可以更換問題的情境來檢驗自己是否真的掌握。

教師出示：1張桌子和4把椅子的總價是2700元，椅子的單價是桌子的桌子和椅子的單價分別是多少？

學生在交流中指出，這題與倒果汁問題的結構一樣，且這個問題假設全部都是椅子較方便。

【設計意圖】認知心理學家布魯納提出：學習就是認識結構的組織與重新組織，學習結構就是學習事物間是如何聯系的。誠然，學習的目的不是增加新知識、淘汰舊知識，而是通過意義建構，使新知和舊知融合為一種新的形態結構，進而納入自己原有的認知結構中。策略教學的練習安排很容易走向“做題—交流—做題—再交流”這樣的流程，要改變這一現狀，就需要讓練習具有節奏感和層次感，以結構化的視角進行整體設計。在上述教學中，教師首先呈現之前運用假設策略解決過的問題，幫助學生從策略的角度重新反思以前學過的內容，使得學生對知識間的縱向關聯具有清晰的認知與把握。接著，教師通過更改數據大小、總量狀態、事物場景來對例題進行適當改編。在這樣一系列的情境中促使學生從整體上把握解決問題的思路方向仍是假設，只是所用的具體方法有所不同，從而獲得數學知識具有一致性和連通性的感悟。構建“求聯”，不僅讓學生在問題解決時獲得了有效的知識和方法，更重要的是促使學生經歷了多元體驗與構建數學模型的過程。

總而言之，策略教學必須超越具體知識和技能深入到思維的層面，由具體的數學方法和策略過渡到一般性的思維策略與學生思維品質的提升。當學生能用聯系與發展的眼光看待問題時，其數學學習就能經歷一個結構化的過程，在掌握知識的同時，也能做到觸類旁通、舉一反三。