讓“優化”思維浪潮奔涌而來
——“打電話”教學實錄與思考

江蘇省如皋市白蒲小學 張 兵

小學數學教材十分注重“優化”數學思想的滲透，著力培養學生綜合運用“優化”方案解決實際問題的能力。人教版數學五年級下冊綜合實踐“打電話”利用學生熟悉的生活情境，以學生的生活經驗為基礎，為學生創造了可探究的空間。學生在嘗試尋找“答案”的過程中，循知識之序，螺旋上升，“優化”思維浪潮奔涌而來。他們在合作、探究、交流中發現規律、應用規律，能進一步體會到“優化”思想在生活中的廣泛應用，最終促進學習知識的內化。本文以“打電話”教學實錄為例，呈現一堂富含思維浪潮的小學數學課。

一、呈現素材，多元探究

1.情境引入

師：周末，張老師接到一項緊急任務，需要盡快通知幾位數學老師到校。為了及時準確通知到每個人，老師采納同學們課前的建議，用“打電話”的方式來通知他們。這節課，我們就一起來研究“打電話”中的數學問題。

2.出示問題

師：請看題目，默讀一遍“每分鐘通知1個人，那么3分鐘最多可以通知多少個人”，同學們，你們讀懂了些什么？

生1：時間為3分鐘。

生2：人數要最多。

師：那大家認為3分鐘最多可以通知多少人？你的思考是什么？

生1：我認為1分鐘通知1個人，3分鐘就應該最多通知3個人。

生2：我猜可以通知4個人。

生3：我最多可以通知5個人。

……

3.列舉策略

師： 出現了不同的答案，有爭執就好，我喜歡。到底誰的思路和結果是正確的呢？現在要解決這個問題，你準備選擇什么策略呢？（畫圖、列表、一一列舉……）

4.自主探究

師：好，下面把時間交給大家，獨立思考，用自己喜歡的方法，在活動單上完成設計方案。

【思考】初次試教時，筆者利用了教材呈現的“盡快通知15人”問題情境，但在執教中發現，因“15人”數據較大，學生表征過程非常煩瑣，畫圖及嘗試不同的解決方案有很大的困難，設計的方案令人眼花繚亂，學生在交流展示自己的方案時說著說著就亂了，其他學生聽得很費勁；課堂出現“生與師一對一”的狀況，低效的交流導致課堂失控，學生的有效學習沒有真正發生。針對試教課堂不理想的狀況，筆者調整教材中“15人需要多少分鐘”的條件和要求，改為“3分鐘最多可以通知多少人”，從“扶”入境，由易到難，螺旋上升，讓大部分學生都能正確、清楚地表示出打電話的過程，為后續的思維打開空間。材料的調整有助于學生的表征順利展開，讓數學學習有效發生，“優化”思維之浪初起。

二、探討方法，逐步優化

1.交流展評，尋找最優

師：畫圖是個好方法，大家都不約而同地選擇了它。老師收集了具有代表性的四幅作品。

師：讓我們一起來看看同學們設計的方案吧，大家能看明白他們是怎么畫的嗎？自己來介紹一下設計方案吧。（見圖1～4）

圖1

圖2

圖3

圖4

第一幅：逐一通知

第二幅：分組通知

第三幅：同時通知（無序）

第四幅：同時通知（有序）

師：請同學們判斷哪個方案通知人數是最多的？他為什么通知到的人能更多呢？

生：第三、第四個方案人數是最多的，因為他們的方案中每1分鐘內都在給所有老師打電話。

師：后兩種畫法你們更喜歡哪一種？

生：有序的那種，他抓住了很關鍵的一點，是以時間作為標準畫的，每個老師都不空閑，這樣，3分鐘通知的人數就會最多。

小結：通過畫一畫的策略，我們已經知道了“3分鐘最多可以打7個人的電話”。

【思考】在此過程中，學生經歷了“用自己喜歡的方式表示出來”“運用文字、符號或圖示表征自己的思維過程”“大膽地將自己的方案展示和交流”三個階段，從“逐個通知”“分組通知”到“最優通知”，在列舉和比較多種方案中找到最優方案。教師在整個過程中，以問題引領，層層剖析，建構新知，“優化”思維踏浪而來。

2.收集數據，啟發質疑

師：同學們，5年多來，我們學了很多找規律的知識。讓我們回過頭來看一看設計方案。今天學習的打電話的知識中有沒有一些規律，是不是也可以探索規律呢？我們一起來收集方案中的相關數據。

師：第1分鐘時，新接到通知的人數是多少？所有知道通知的總人數是多少？最多能通知幾人？

師：第2分鐘時，新接到通知的人數是多少？所有知道通知的總人數是多少？最多能通知幾人？

師：第3分鐘時，新接到通知的人數是多少？所有知道通知的總人數是多少？最多能通知幾人？

師：我們已經收集到了1分鐘、2分鐘、3分鐘的相關數據，要想找出規律，我們還需要更多的數據，那么，你們的思考是什么？

生：我在想4分鐘、5分鐘……

師：好，那我們就按照這樣的思路，繼續收集數據，然后分析數據，找出規律吧。請完成活動單表格，填寫后在小組內說一說。

（學生操作并填寫表格）

師：同學們，我們來交流一下你們的研究成果吧。

【思考】通過交流研究，學生應用類似的方法去探究一類題目背后隱藏的規律。在解決同一類問題的同時，學生的思維走向深入，“優化”思維浪潮迭起。

3.方法應用，提煉模型

師：同學們，看到這么多數據，你們有什么新發現嗎？

生1：所有知道通知的總人數是新接到通知人數的2倍。

生2：新接到通知的人數是上一分鐘人數的2倍。

生3：所有知道通知的總人數是上一分鐘知道通知總人數的2倍。

生4：最多通知到的總人數比所有知道通知的總人數少1人。

生5：新接到通知的人數與上一分鐘所有知道通知的總人數相等。

師：觀察所有知道通知的總人數，你們又發現了什么？

生：總人數與2這個數字很有緣喲。4可以寫成2×2，8可以寫成2×2×2，即3個2相乘，16可以寫成4個2相乘，32可以寫成5個2相乘，64可以寫成6個2相乘。

師：同學們，你們又有什么思考？

生：我看到，第幾分鐘所有知道通知的總人數是幾個2相乘，也就是2的幾次方。

師：那如果第n分鐘呢？你們能用字母表達式來表示它們的關系嗎？

學生總結填表，具體如下表：

第幾分鐘最多通知到的總人數1 1 2 1 2 2 4=2×2=22 3 3 4 8=2×2×2=23 7 4 8 16=2×2×2×2=24 15 5 16 32=2×2×2×2×2=25 31 6 32 64=2×2×2×2×2×2=26 63新接到通知的人數所有知道通知的總人數（包括張老師）……n 2n÷2 2n 2n-1

【思考】用表格的形式，讓學生觀察、分析，抓住內在規律和本質特點，建立數學模型，再利用算式、圖形進一步理解規律，鞏固建模，“優化”思維浪潮迭起。

師：同學們，現在來看看，要通知15人，最少需要多少分鐘？

生：8分鐘。我來邊講邊畫給大家看看。

師：同學們，誰再來提提問題？

生：要通知31人，需要多少分鐘？

生：我知道，需要16分鐘。

【思考】理想的課堂應是統籌思考和預設，探尋正確的教學規律，將學習引向深入。在解決“3分鐘最多通知多少人”的問題后，教師引導學生將規律和方法內化為活動經驗，并按照“模式”重復運用這種經驗，讓學生自己遷移“4分鐘”“5分鐘”“6分鐘”或更多時間，最多可以通知多少人。在數據較大時，畫圖顯然不是最佳方案，這時就需要學生在理解規律的基礎上利用表格、算式或圖形來解決問題，用規律解決打電話的實際問題，進一步體會優化思想，“優化”思維浪潮高漲。

三、應用模型，解決問題

1.生活中的數學

師：同學們，其實在現實生活中，有很多現象也蘊含著我們今天從打電話中發現的規律。比如我們常說的“一傳十、十傳百”“雞生蛋、蛋孵雞，雞再生蛋、蛋再孵雞”。下面再用今天的規律來邊看視頻邊思考拉面中的數學問題。請看視頻。

2.故事感悟數學美

師：再來聽一個有趣的故事（錄音播放印度國際象棋發明人的故事），請在棋盤的第一個格子里放上一顆麥粒，在第二個格子里放上2顆麥粒，在第3個格子里放上4顆麥粒，第4個格子里放上8顆麥粒，以此類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里的麥粒數的2倍，直到第64個格子。想一想，結果會怎樣呢？第64個小方格究竟有多少粒麥粒？國王拿得出來嗎？

師（小結）：數學真是一門神奇的科學！運用這樣的數學規律竟會產生如此驚人的結果！希望同學們能用數學的眼光去發現更多數學問題，并能運用今天的知識去解決更多實際問題。

【思考】在練習中進一步運用規律解決生活中的實際問題，鞏固模型，培養學生的應用意識。

四、比較異同，明晰主旨

師：這節課的教學內容是打電話，為什么練習的習題卻是和打電話無關的問題？

生：我知道了，解決此類題目的方法是先選擇策略，再分析數據，最后找出規律。下次遇到類似的題目時，我們就可以按照這樣的方法來解決難題。

【思考】通過比較，讓學生知道“打電話”不僅僅是一道題，它更是一種解決問題的思路和方法，讓學生真正從解題的技能走向解題的模型，“優化”思維之浪涌上沙灘。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：“綜合與實踐”是以問題為載體，以學生自主參與為主的學習活動。在活動中要注重培養學生綜合運用有關知識與方法解決實際問題的能力，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累數學活動經驗，提高解決現實問題的能力。在“打電話”課堂教學中，學生用圓圈、編號等圖示表示教師，借助圖示進行思考、運算和推理，用式子、符號表示結果，充分體現了符號化的思想，培養了學生的符號意識。同時，讓學生用數學式子表示問題的數量關系和變化規律，建立了一種數量關系模型——幾何倍增。“一傳十、十傳百”“雞生蛋、蛋孵雞、雞再生蛋、蛋再孵雞”“麥粒問題”等，都是這個模型的實際運用，模型思想隨之滲透，學生應用和解決實際問題的能力也得以提升。學生在一次次思考、一次次交流、一次次反思中，積累了豐富的數學活動經驗，優化了數學思想，踏“思維之浪”而行，提升了數學思維水平。