淺析定積分微元法中微元的選取

張 銳，詹紫浪

（1.蘭州城市學(xué)院 信息工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070；2.甘肅高師學(xué)報(bào)編輯部，甘肅蘭州 730070）

1 微元法介紹

微元法是對(duì)定積分定義中分割、作積、求和、取極限四個(gè)步驟的進(jìn)一步抽象和歸納，是一元函數(shù)微分和積分聯(lián)合應(yīng)用的成功典范，其方法具有一般性.即如果所求量U 符合下列條件[1]：

（1）U 是一個(gè)與變量的變化區(qū)間[a，b]有關(guān)的量；

（2）U 對(duì)于區(qū)間[a，b]有可加性；

（3）如果能找到U 在[a，b]的任一小區(qū)間[x，x+dx]上的部分量△U 的近似值

那么，所求量為

其中dU=f（x）dx 稱為所求量U 的微元.

注：（1）△U ≈dU=f（x）dx 要求：△U 與微元f（x）dx 之差是dx 的高階無窮小，即

（2）微元表達(dá)式f（x）dx 中dx 一定是1 次的（否則就不是定積分）.

以上兩點(diǎn)要求在尋找微元時(shí)，涉及到（dx）2、（dx）3、…的項(xiàng)完全可以忽略.

總之，如果△U 與找出的微元f（x）dx 之差是dx的高階無窮小，那么找出的微元就是正確的，否則就不是真正意義上的微元，需要重新尋找.

下面通過一些不同場(chǎng)合的面積、體積、側(cè)面積的計(jì)算進(jìn)行辨析.

2 平面圖形的面積

求由直線x=a，x=b，y=0 及連續(xù)曲線y=f（x）≥0圍成的圖形面積S.

取面積微元dS=f（x）dx，即用高為f（x），寬為dx的矩形面積代替小曲邊梯形的面積[2].

下面證明小曲邊梯形ABFE 的面積△S 與微元f（x）dx（矩形ACFE 的面積）之差是dx 的高階無窮小（如圖1）.

圖1 曲邊梯形面積、旋轉(zhuǎn)體體積微元示意圖

如圖1，易見曲邊三角形ACB 的面積小于矩形ACBD 的面積，又f（x）連續(xù)，所以

所以，面積微元dS=f（x）dx 是正確的，所求面積

以下幾種情況中假定f（x）在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不恒為0，這樣總可以使f（x）在小區(qū)間[x，x+dx]上單調(diào)，便于敘述，不妨設(shè)f（x）在區(qū)間[x，x+dx]上遞增、下凸（其余情況證明類似）.

3 旋轉(zhuǎn)體的體積

（1）求由直線x=a，x=b，y=0 及曲線y=f（x）≥0 圍成的圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V.

取體積微元dV=π[f（x）]2dx，即用矩形ACFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓柱體的體積近似代替曲邊梯形ABFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積[3].

下面證明△V 與找出的微元π[f（x）]2dx 之差是dx 的高階無窮小.

如圖1，易見曲邊梯形ABFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積△V 小于矩形DBFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積π[f（x+dx）]2dx.這時(shí)

所以，取體積微元dV=π[f（x）]2dx 是正確的，所求體積為

（2）求由直線x=a，x=b，y=0 及曲線y=f（x）≥0 圍成的圖形繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V.

如圖1，用矩形ACFE 繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的環(huán)形柱體的體積近似代替曲邊梯形ABFE 繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積△V[4]，即

取體積微元dV=2πxf（x）dx，下面證明△V 與找出的微元2πxf（x）dx 之差是dx 的高階無窮小.

如圖1，由于曲邊梯形ABFE 繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積△V 小于矩形DBFE 繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積，即

4 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

求由直線x=a，x=b，y=0 及曲線y=f（x）≥0 圍成的圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積S.

如圖2，考慮用矩形ACFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓柱體的側(cè)面積2πf（x）dx 作為面積微元代替曲邊梯形ABFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積△S.

圖2 旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積微元示意圖

由于曲線段AB 的長度總大于直線段AB 的長度，所以它們各自繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積也有相應(yīng)的大小關(guān)系.而直線段AB 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓臺(tái)體的側(cè)面積為

因此，用2πf（x）dx 作為面積微元是不正確的.

如圖2，現(xiàn)在用直邊梯形ABFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓臺(tái)體的側(cè)面積

代替曲邊梯形ABFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積△S[5].過A 點(diǎn)作曲線y=f（x）的切線AP，過B 點(diǎn)作曲線y=f（x）的切線交AP 于Q（這可以保證Q在曲線弧AB 下方，且在RT△ACB 內(nèi)部）[6].易見，曲線弧AB 旋轉(zhuǎn)所形成的側(cè)面積△S 小于折線AQB 旋轉(zhuǎn)所形成的側(cè)面積.又線段AQ 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓臺(tái)體的側(cè)面積小于以AQ 長為母線，以QG長為底面半徑的圓柱體側(cè)面積；線段QB 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓臺(tái)體的側(cè)面積小于以QB 長為母線，以BF 長為底面半徑的圓柱體側(cè)面積，即

因此旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積的微元可取為

所以旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積

通過以上例子對(duì)定積分的微元法中微元的取法做了詳盡地分析，著重闡述了微元滿足的條件：△U與微元f（x）dx 之差是dx 的高階無窮小，即

這為建立微元提出了硬性要求.