等截面摩擦管流輸運自由流阻力顆粒計算模型

孫科， 薛文鵬， 郭佳男， 王歡

(中國飛行試驗研究院發動機所， 西安 710089)

為探明航空發動機在吸入冰雹等惡劣條件下的適應性，通常需要進行試驗，充分驗證發動機在極端環境下的工作穩定性，以保證實際飛行過程中的安全可靠。中外航空機構均制定了相應的適航條款，如美國航空局制定的FAR 33部[1]中第33.78條即規定發動機需在工作包線范圍內，遭遇任意30 s的連續冰雹時，具有可接受的工作能力，歐洲航空安全局(EASA)也制定了相應的適航條款[2]。中國民航局于2002年制定了對應的適航條款[3]。有學者進行了吸雹適航條款研究[4]，考核發動機在吸雹時的工作穩定性，需向發動機進口拋射一定流量的冰雹。根據國外發動機試驗經驗，一般需在數秒內向發動機入口持續拋射數以萬計的小冰雹。通常采用壓縮氣體氣力輸運冰雹，在拋射管中氣體膨脹加速，高速氣流輸運冰雹，使其向前加速運動，以較高的速度離開拋射管，并繼續運動至發動機入口。氣力輸運原理常用于油井生產[5]、煤粉運輸[6]等。壓縮空氣在拋射管內的流動過程直接影響冰雹運動過程，前人針對管內流動做了大量研究。劉自龍等[7]針對水平管內油氣兩相流進行了壓降模型研究；楊矞琦等[8]針對垂直管內的稠油-水兩相高溫高壓流動進行了壓降規律研究；葉爽等[9]通過實驗及計算研究了綜合管廊熱力管道的最佳通風區；廖柯熹等[10]總結了天然氣管網系統性能計算研究方法進展。

針對壓縮氣體氣力輸運拋射管中連續冰雹的問題，建立基于等截面摩擦管流和顆粒自由流阻力的顆粒輸運計算方法。將壓縮氣體流動系統簡化為流體網絡模型，其中各元件均有相應的工程計算方法。使用自由流阻力模型進行顆粒運動過程及運動速度的計算。

1 冰雹拋射運動過程

在拋射管入口處連續投放冰雹，并且向拋射管入口通入高壓空氣。由于冰雹與氣流間的速度差，兩者之間產生動量交換，在壓縮空氣拖曳力的作用下，顆粒產生加速，直至離開拋射管。為求解冰雹運動過程，首先需求解冰雹在拋射管中的受力情況，因此需求解在拋射管內部氣流的流動情況，速度分布及壓縮氣體流量。

流體網絡法將流動系統簡化為由典型元件組成的工程計算模型，元件特性通過理論或實驗方法獲取，具有快速實用性，因此是一種應用廣泛的工程計算方法，普遍應用于航空發動機空氣系統計算[11-15]及管路系統[16]等相關領域。應用流體網絡法，將壓縮氣體流動過程簡化為典型的流體網絡模型，如圖1所示。其由管元件、突擴元件及入口節點、出口節點等組成。計算中給定拋射氣源壓力、拋射氣源溫度及出口壓力，即可計算得到壓縮氣體流量及各元件入口及出口的壓力、速度分布。

圖1 流體網絡模型Fig.1 Fluid network model

2 氣力輸運計算方法

2.1 等截面摩擦管流

為分析冰雹在拋射管內部的運動過程，需對氣流在拋射管內的運動過程進行計算。一維等截面摩擦管流在氣流膨脹、壁面摩阻及邊界層充分發展的作用下，氣流加速運動。圖2為等截面摩擦管路的微元段。對于微元段dx而言，其受到上游氣流的壓力為p，受到下游氣流壓力為dp。

dx為微元段長度圖2 等截面管微元段Fig.2 Infinitesimal section of constant cross section tube

拋射管為等截面，由于氣流速度較快，假設氣體與外界沒有機械功和熱量的交換。式(1)為等截面摩擦管流在微元段上的總壓差方程式[17]，其與氣流馬赫數及壁面摩阻、管道直徑有關。

(1)

式(1)中：p*為氣流總壓，Pa；dp*為在微元段上的總壓差，Pa；k為絕熱指數，空氣取1.4；Ma為氣流馬赫數；Cf為壁面摩阻；dx為微元段長度，m；d為等截面摩擦管的管徑，m。

將式(1)進行轉化即可得到總壓隨管長度方向的變化關系，可歸結為關于管長坐標值x與p*的函數關系f(x,p*)，可表示為

(2)

使用Runge Kutta法[18]求解式(2)的常微分方程，求解方法為

(3)

由于等截面摩擦管流與外界無機械功或熱的交換，在給定的邊界條件下，即給定入口總壓、入口總溫、流量，便可得到等截面摩擦管流沿程的總壓分布。根據流量函數方程式[式(4)]，通過總壓、流量、總溫，便可得到氣流馬赫數，及氣流速度、氣流靜溫、氣流靜壓等參數。

(4)

管路壁面摩阻計算公式為

(5)

式(5)中：Re為雷諾數。

2.2 自由流顆粒計算方法

使用自由流阻力模型對顆粒的受力情況進行分析，受力和顆粒與流體間速度差、流體密度及阻力系數等有關。

顆粒受力FR的計算公式為[19]

(6)

式(6)中：下標s為固體顆粒；下標f為流體；ds為冰雹顆粒直徑，m；ρf為流體密度，kg/m3；vf為流體速度，m/s；vs為冰雹顆粒速度，m/s；CD為阻力系數。

阻力系數取決于顆粒流動雷諾數Res，其表達式為

(7)

式(7)中：η為流體動力黏度。

阻力系數計算公式為

(8)

3 計算結果分析

3.1 等截面摩擦管流分析

在基本工況條件下，對壓縮氣體在管路中的流動進行分析，圖3為流體計算區域。基本工況對應的等截面管道管徑為45 mm，管長為5 m。計算過程中，流體介質根據實際情況設定為可壓縮空氣，介質密度采用理想氣體狀態方程進行計算。基本算例中，設置拋射氣源壓力為220 kPa，拋射氣源溫度為300 K，出口壓力設置為97 kPa。

圖3 流體計算域Fig.3 Fluid computing domain

圖4為等摩擦管流沿程總壓計算結果，在管長增大方向，由于壁面摩阻作用，總壓不斷降低。圖5為沿程速度計算結果，由于氣流膨脹，造成壓力降低且密度減小，隨著邊界層充分發展，沿程速度逐漸增大。

圖4 沿程總壓計算結果Fig.4 Results of total pressure along the way

圖5 沿程速度計算結果Fig.5 Results of velocity along the way

3.2 顆粒運動過程分析

應用等截面摩擦管流計算結果，對冰雹顆粒在拋射管內的運動及受力情況進行分析計算。在顆粒投放至拋射管的起始時刻，其處于拋射管入口處，以冰雹拋射管入口處為零點，以氣流流動方向為正方向，即拋舍管入口處x=0；由于顆粒從管外沿徑向投放至拋射管內，因此起始時刻在x方向上的速度vx為0，即vx=0。根據拋射管內部沿程氣流速度、壓力等參數分布情況，對冰雹加速過程進行計算。基本算例中，冰雹顆粒密度設置為861 kg/m3，冰雹直徑設置為13 mm。

圖6為冰雹顆粒加速度隨時間的變化情況，由于在初始時冰雹速度較小，與空氣間的速度差較大，因此冰雹所受的輸運力較大，從而在初始時刻冰雹的加速度較大，隨著冰雹的速度增大，其與空氣的速度差逐漸減小，動量交換程度逐漸減弱，因此加速度逐漸減小。

圖6 加速度隨時間變化情況Fig.6 Acceleration versus time

圖7為冰雹速度隨時間的變化規律，由于在初始時刻，冰雹運動加速度較大，因此在x=0位置處，曲線斜率較大，隨著加速度逐漸減小，冰雹速度增長趨勢逐漸緩慢。

圖7 速度隨時間變化情況Fig.7 Speed versus time

圖8為冰雹位置隨時間的變化情況，隨著時間推移，冰雹速度逐漸增大，曲線斜率逐漸增大。直至時刻t=0.991 s，冰雹離開拋射管。此時速度為86.43 m/s。

圖8 位置隨時間變化情況Fig.8 Position change over time

3.3 氣力輸運影響因素分析

首先對拋射氣源壓力不同情況下的冰雹拋射速度進行分析，計算拋射氣源壓力分別為150、180、220、260、300 kPa時對應的空氣流量及冰雹拋射速度。如圖9所示，隨著氣源壓力增大，空氣流量直線式增大。如圖10所示，冰雹拋射速度隨著氣源壓力增大也在增大，但增長趨勢逐漸放緩。由于當氣源壓力增大到一定程度時，拋射管出口處氣流速度達到當地聲速，但由于入口總壓的增大，出口處的氣流密度增大，因此冰雹出口速度依然增大。由于冰雹速度的增大，氣流與冰雹間速度差的減小，拋射氣源壓力增大對拋射速度的增大效果逐漸減小。

圖9 空氣流量隨拋射壓力變化情況Fig.9 Variation of air flow with ejection pressure

圖10 出口速度隨拋射壓力變化情況Fig.10 Change of outlet velocity with ejection pressure

圖11 空氣流量隨管長變化情況Fig.11 variation of air flow with pipe length

其次，對拋射管長度造成空氣流量及冰雹拋射速度的變化進行分析計算。圖11為氣源壓力分別為220、180 kPa，拋射管內徑45 mm時，不同拋射管長度下的空氣流量計算結果。圖12為冰雹拋射速度計算結果。隨著拋射管長度的增大，沿程損失增大，空氣流量逐漸減小；冰雹拋射速度先增大，后基本保持不變，這是由于管長較長會造成空氣流量降低，從而輸運冰雹顆粒的驅動作用削弱，另外由于冰雹速度的增大，其與氣流間速度差減小，自由流阻力逐漸減小。因此，管長一般小于5 m即可。

圖12 出口速度隨管長變化情況Fig.12 Variation of outlet velocity with pipe length

圖13、圖14為拋射管內徑不同對空氣流量及冰雹拋射速度的影響計算結果。隨著拋射管內徑的增大，空氣流量指數級增長，冰雹拋射速度也在不斷增大，這是由于空氣流量增大，即驅動冰雹顆粒運動的驅動力增大。但由于冰雹速度增大，與氣流間速度差減小，自由阻力逐漸減小。在進行拋射管設計時，其內徑不應過大，避免造成壓縮空氣消耗量過大。

圖13 空氣流量隨管徑變化情況Fig.13 Variation of air flow with pipe diameter

圖14 出口速度隨管徑變化情況Fig.14 Variation of outlet velocity with pipe diameter

4 結論

針對壓縮氣體氣力輸運冰雹顆粒的問題，主要研究在拋射管內部壓縮空氣參數變化規律及冰雹顆粒運動情況。得到以下主要結論。

(1)建立了基于流體網絡法的工程計算模型，由管元件及突擴元件等組成，給定入口節點總壓、總溫及出口節點壓力，即可計算得到系統中各關鍵節點壓力、溫度分布及系統空氣流量。

(2)使用等截面摩擦管流常微分方程描述拋射管內部總壓的變化規律，在入口壓力及流量已知的情況下，組成常微分方程的初值問題，應用Runge-Kutta法求解該問題，即可得到各關鍵參數的沿程變化情況。

(3)使用自由流阻力模型對顆粒的受力進行計算，從而獲取顆粒的運動情況；對影響冰雹拋射速度的關鍵因素進行了分析計算。隨著拋射氣源壓力的增大，空氣流量逐漸增大，冰雹拋射速度逐漸增大，但增長趨勢逐漸緩慢；隨著拋射管長度的增大，空氣流量逐漸減小，冰雹拋射速度先增大后基本不變；隨著拋射管直徑的增大，空氣流量指數型增長，冰雹拋射速度逐漸增大，但增長趨勢逐漸緩慢。分析計算結果，提出冰雹拋射管的關鍵尺寸設計要求，拋射管內徑45 mm，拋射管長5 m。對于這種設計結構，在拋射管入口壓力為220 kPa時，消耗空氣流量較小，為0.56 kg/s；冰雹拋射速度較大,可達86 m/s。