基于局中人平方超量的區(qū)間數(shù)均分剩余值及其在冷鏈物流聯(lián)盟合作收益分配中的應(yīng)用

羅妍， 程鵬斐， 范伯龍， 劉家財

(福建農(nóng)林大學(xué)交通與土木工程學(xué)院， 福州 350002)

由于受外部環(huán)境、市場變化等不確定因素的影響，決策環(huán)境具有復(fù)雜性、信息不完全性，同時，受人類思維不確定性影響，局中人的聯(lián)盟值通常使用模糊數(shù)而非精確值表示[1-3]。區(qū)間數(shù)合作博弈即以區(qū)間數(shù)表示聯(lián)盟特征(支付)函數(shù)的合作博弈，是聯(lián)盟值具有不確定性的合作博弈的一種重要形式。在區(qū)間數(shù)合作博弈中，聯(lián)盟值無法用精確值表示，只能估計出聯(lián)盟值的閉區(qū)間取值范圍。作為經(jīng)典(清晰)合作博弈的推廣，多數(shù)學(xué)者近年來都對模糊合作博弈開展研究[4-10]。李登峰等[4]利用區(qū)間數(shù)距離概念和最小平方法，建立以聯(lián)盟分配與聯(lián)盟支付值之差的平方和為最小的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，據(jù)此確定每個局中人的區(qū)間數(shù)分配；楊靛青等[5]針對模糊合作博弈中局中人可能形成多層級聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的情況，利用Choquet積分定義多層級模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)，提出了斑茲哈夫值解概念及其解法；肖燕等[6]利用梯形模糊數(shù)距離(平方)概念和最小平方法，建立最小化局中人聯(lián)盟分配和支付值差值平方和的優(yōu)化模型，根據(jù)模型推導(dǎo)出聯(lián)盟成員梯形模糊數(shù)分配值的解析公式，探討該最小平方解的重要性質(zhì)。Zhao等[7]提出了一種聯(lián)盟值用三角模糊數(shù)表示的合作博弈解，據(jù)此獲得用三角模糊數(shù)表示的局中人收益值。劉悅等[8]針對對象評價值是區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題，通過分析區(qū)間數(shù)之間的模糊優(yōu)勢關(guān)系，提出一種新的決策方法；蘇世彬[9]提出了三角模糊數(shù)型多人收益分配合作博弈及區(qū)間數(shù)核心解概念和基于滿意度的三角模糊數(shù)型多人收益分配合作博弈求解方法；韓二東等[10]針對主客觀混合評價信息的供應(yīng)商選擇決策問題,提出一種基于直覺模糊交叉熵及灰色關(guān)聯(lián)的群決策方法。楊潔等[11]通過引入α-矩陣博弈的概念，提出一種求解支付值為梯形模糊數(shù)的矩陣博弈線性規(guī)劃方法；在區(qū)間數(shù)合作博弈中，崔春生等[12]針對聯(lián)盟值部分未知的區(qū)間合作博弈，定義了殘缺區(qū)間合作博弈的相關(guān)概念，基于合作博弈的超可加性，建立了聯(lián)盟區(qū)間收益值的一致性驗證模型；南江霞等[13]從個人超出值的視角研究了特征函數(shù)為區(qū)間數(shù)的合作博弈和聯(lián)盟為模糊集的無限模糊聯(lián)盟區(qū)間數(shù)合作博弈。

企業(yè)聯(lián)盟的合作收益分配策略問題是一種典型的合作博弈問題，理論上，現(xiàn)有經(jīng)典合作博弈的單值解均可以應(yīng)用于解決企業(yè)聯(lián)盟的合作收益分配策略問題。然而，一些著名的合作博弈單值解，由于受子聯(lián)盟無法成立、聯(lián)盟值無法預(yù)測等客觀因素的影響，在實(shí)際情況中并不適用，如Shapley值和Banzhaf值。使用Shapley值解決合作收益分配策略問題時，每個子聯(lián)盟都應(yīng)能夠形成且其聯(lián)盟值必須能夠事先預(yù)知，然而這在實(shí)際情況中是很難實(shí)現(xiàn)的。以冷鏈物流合作聯(lián)盟為例，目前市面上常見的中小型冷鏈物流企業(yè)車輛保有種類單一，冷藏或冷凍溫度覆蓋范圍小，而對于冷鏈物流行業(yè)而言，單一的車輛種類與溫區(qū)范圍很難適應(yīng)市場的需求。因此，對于擁有相同或相近種類冷藏車的企業(yè)來說，很難開展合作，從而聯(lián)盟值無法預(yù)知。近年來，學(xué)者們對部分經(jīng)典的合作博弈單值解進(jìn)行改進(jìn)，提出了一些改進(jìn)的合作博弈單值解，如改進(jìn)的Shapley值和改進(jìn)的Banzhaf值[14-16]，并將其應(yīng)用于解決各個領(lǐng)域的合作收益分配策略問題[8,16-20]。魏針等[19]提出省屬高校高考招生計劃分配的破產(chǎn)模型及Shapley值分配算法，實(shí)現(xiàn)招生計劃分配的有效性和合理性；祝新等[20]基于傳統(tǒng)的醫(yī)藥冷鏈物流配送模型，在考慮道路通行狀況對模型求解最優(yōu)路徑影響的基礎(chǔ)上，建立了以綜合成本為目標(biāo)函數(shù)的配送模型。然而，這些合作博弈解大多延續(xù)了單值解需要滿足個體合理性、超可加性、均衡性等假設(shè)的特點(diǎn)，且由于未考慮局中人參與的合作聯(lián)盟的真實(shí)情境，所得結(jié)果并不滿足公平性、合理性，無法應(yīng)用于實(shí)際案例。

為此，基于冷鏈物流企業(yè)聯(lián)盟的真實(shí)情境，考慮其中存在的模糊不確定性，利用區(qū)間數(shù)表示局中人參與的合作聯(lián)盟的收益值，提出基于局中人平方超量的區(qū)間數(shù)均分剩余值及加權(quán)區(qū)間數(shù)均分剩余值，據(jù)此獲得加入聯(lián)盟的各個冷鏈物流企業(yè)的合作收益。

1 相關(guān)概念

1.1 區(qū)間數(shù)的運(yùn)算

加法運(yùn)算為

(1)

減法運(yùn)算為

(2)

乘法運(yùn)算為

(3)

數(shù)乘運(yùn)算為

(4)

式(4)中：λ為常數(shù)。

(5)

1.2 區(qū)間數(shù)合作博弈

聯(lián)盟值用區(qū)間數(shù)來表示的合作博弈稱為區(qū)間數(shù)合作博弈。設(shè)集合N={1,2,…,n}，對任意子集S?N,函數(shù)v(S)滿足：v(φ)=0，當(dāng)S1?N，S2?N，v(S1∪S2)≥v(S1)+v(S2)，即滿足超可加性，則有序?qū)?N,v)表示n人區(qū)間數(shù)合作博弈，v(S)為n人合作博弈的特征函數(shù)，表示聯(lián)盟S的效益。有n個局中人的集合N={1,2,…,n}的所有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)共有2n-1個(不計空集)。

在區(qū)間數(shù)合作博弈中，聯(lián)盟值用區(qū)間數(shù)v(S)=[vL(S),vR(S)]表示，其中vL(S)≤vR(S)。

1.3 區(qū)間數(shù)合作博弈的局中人平方超量

受Liu等[21]提出的局中人剩余向量概念的啟發(fā)，提出了區(qū)間數(shù)合作博弈的局中人平方超量的概念。局中人的區(qū)間數(shù)支付向量可表示為

x=[x(1),x(2),…,x(n)]T

={[xL(1),xR(1)],[xL(2),xR(2)],…,[xL(n),xR(n)]}T

(6)

e(i,x)=[vL(i)-xL(i)]2+[vR(i)-xR(i)]2

(7)

2 區(qū)間數(shù)均分剩余值解概念及解法

將最小平方法的思想應(yīng)用于區(qū)間數(shù)合作博弈中，區(qū)間數(shù)距離(平方)公式為

(8)

2.1 未考慮權(quán)重影響的區(qū)間數(shù)均分剩余值

受區(qū)間數(shù)距離(平方)公式的啟發(fā)，為求得最優(yōu)支付向量，建立下述二次規(guī)劃模型。

問題1

(9)

滿足約束條件：

(10)

問題1的拉格朗日方程L(xE,λE,μE)可表示為

(11)

式(11)中：xE為所求收益分配向量；λE及μE為拉格朗日乘數(shù)法中的參數(shù)。

令向量

xE*=[xE*(1),xE*(2),…,xE*(n)]T

(12)

式(12)表示問題1的最優(yōu)解，對L(xE,λE,μE)關(guān)于變量xE、λE、μE分別求偏導(dǎo)并令其等于0，則有

(13)

解得

(14)

根據(jù)式(14)可得

(15)

式(15)中：n為大聯(lián)盟中局中人個數(shù)。

因此，有

(16)

由式(15)、式(16)可得

(17)

整理得

(18)

式(18)即為區(qū)間數(shù)均分剩余值的解析式。

2.2 加權(quán)區(qū)間數(shù)均分剩余值

在實(shí)際情況中，不同局中人對聯(lián)盟的投入、所承擔(dān)的風(fēng)險等因素是不相同的。因此，合作收益分配問題中考慮局中人重要性的影響是十分必要的。在冷鏈物流領(lǐng)域，中、小型物流企業(yè)所保有車輛類型有所不同，中型冷鏈物流企業(yè)大多保有車廂內(nèi)部平均溫度小≤-20 ℃的F類冷藏車，而運(yùn)輸蔬果類小型物流企業(yè)保有車輛類型大多為車廂內(nèi)部平均溫度在12～-10 ℃的B類冷藏車，顯然，當(dāng)合作聯(lián)盟達(dá)成后，運(yùn)輸冷凍食品和生鮮蔬果類貨物時，不同企業(yè)所承擔(dān)的運(yùn)輸量以及對合作聯(lián)盟的貢獻(xiàn)等都是不同的，因此，若不考慮權(quán)重的影響，則合作收益分配策略顯得有失公平。為解決上述問題，提出了考慮權(quán)重影響的區(qū)間數(shù)均分剩余值。

問題2

(19)

滿足約束條件：

(20)

問題3

(21)

滿足約束條件：

(22)

式(21)的拉格朗日方程可表示為

(23)

式(23)中：λEω及μEω為拉格朗日乘數(shù)法中的參數(shù)。

令向量

xEω*=[xEω*(1),xEω*(2),…,xEω*(n)]T

(24)

表示問題3的最優(yōu)解，與問題1求解方法類似，可得

(25)

(26)

式(26)即為加權(quán)區(qū)間數(shù)均分剩余值的解析式。與區(qū)間數(shù)均分剩余值顯著不同的是，加權(quán)區(qū)間數(shù)均分剩余值并非簡單地將合作后取得的剩余收益等分，而是綜合考慮了局中人對聯(lián)盟的投入、所承擔(dān)的風(fēng)險等影響因素對合作收益分配策略的影響。

2.3 區(qū)間數(shù)均分剩余值的性質(zhì)

(27)

證明：由式(19)可得

(28)

則有

(29)

證明：根據(jù)式(18)得

(30)

局中人i和局中人f(i≠f)，有

(31)

證明：

=v(N)

(32)

3 實(shí)例計算分析

假設(shè)有3家不同的冷鏈物流企業(yè)(即局中人)均要為某地配送生鮮農(nóng)產(chǎn)品，決定冷鏈物流企業(yè)收益的諸多影響因素，如油價、人工成本、交通環(huán)境、天氣氣候、城市道路狀況等，均具有一定的模糊不確定性，很難用精確值進(jìn)行量化，只能給出其大致范圍，用區(qū)間數(shù)表示相應(yīng)影響因素的取值范圍則可以很好地解決這一問題。核算冷鏈物流企業(yè)成本時需要用到的參數(shù)如表1所示，具體數(shù)值可根據(jù)不同企業(yè)自身情況測算。

根據(jù)表1所示數(shù)據(jù)，冷鏈物流企業(yè)運(yùn)輸收益值可表示為

(33)

此例中，提出假設(shè)：①冷鏈物流企業(yè)在采購運(yùn)輸車輛時，考慮到運(yùn)輸產(chǎn)品類型及成本等原因，不會同時采購市面上所有型號的車輛，因此，假設(shè)冷鏈物流企業(yè)僅擁有有限車型；②在冷鏈物流企業(yè)聯(lián)盟成立后，企業(yè)之間共享車輛類型及運(yùn)輸信息，因此假設(shè)本例中運(yùn)輸車輛均滿載。

如圖1所示，3家冷鏈物流企業(yè)(即局中人)分別用企業(yè)1、企業(yè)2、企業(yè)3表示，企業(yè)1和企業(yè)2為小型冷鏈物流運(yùn)輸企業(yè)，運(yùn)輸產(chǎn)品包括大量蔬菜、水果等需要冷藏保存的蔬果類食品，少量魚、肉、海鮮等需要冷凍保存的生鮮類食品，由于其保有車輛種類僅為車廂內(nèi)部平均溫度在12～-10 ℃的B類冷藏車，因此，當(dāng)運(yùn)輸需冷凍保存的產(chǎn)品時需要臨時租賃溫度符合要求的F型車輛；企業(yè)3為中型冷鏈物流運(yùn)輸企業(yè)，為商超便利企業(yè)運(yùn)輸產(chǎn)品，保有車輛種類為車廂內(nèi)部平均溫度不高于-20 ℃的F類冷藏車，但由于其參與聯(lián)盟前僅為商超便利提供服務(wù)，車輛未滿載就發(fā)車的情況時常出現(xiàn)，造成資源浪費(fèi)。聯(lián)盟成立后，3家冷鏈物流企業(yè)共享保有車輛及運(yùn)輸信息，互補(bǔ)了各自車輛種類不全、滿載率不高等問題。

表1 冷鏈物流企業(yè)成本核算相關(guān)參數(shù)Table 1 The relevant parameters of cold chain logistics enterprise cost accounting

圖1 合作聯(lián)盟成立示意圖Fig.1 Schematic diagram of the establishment of the cooperative alliance

考慮到3家物流企業(yè)的企業(yè)規(guī)模、市場占有率、市場信譽(yù)及車輛保有情況，經(jīng)專家評判，三家企業(yè)在分配合作收益時的權(quán)重分別為0.2、0.3和0.5。其單干、合作子聯(lián)盟與大聯(lián)盟的收益情況計算參數(shù)及結(jié)果如表2所示。

表2 子聯(lián)盟收益計算參數(shù)Table 2 Sub-alliance income calculation parameters

由表2可知，企業(yè)1與企業(yè)2在企業(yè)規(guī)模大小、車輛保有類型等方面均相似，因此二者聯(lián)盟后，聯(lián)盟規(guī)模擴(kuò)大，所承接業(yè)務(wù)量及業(yè)務(wù)種類增多，但二者車輛類型一致，在運(yùn)輸運(yùn)單量大的訂單時，只能由多輛載運(yùn)量小的冷藏車進(jìn)行配送。同時，由于冷藏車溫度不達(dá)標(biāo)，極易造成冷凍食物在運(yùn)輸過程中腐壞的現(xiàn)象，因此，當(dāng)企業(yè)1與企業(yè)2聯(lián)盟時，會造成資源浪費(fèi)與貨物腐敗，聯(lián)盟反而提高運(yùn)輸成本，聯(lián)盟無法成立。企業(yè)1與企業(yè)3、企業(yè)2與企業(yè)3聯(lián)盟成立后，車輛類型更加豐富，滿足運(yùn)輸需求，同時由于企業(yè)規(guī)模增大，信息共享，運(yùn)輸成本降低，訂單量增多，運(yùn)輸成本降低，收益值增加，聯(lián)盟可成立。

=[RL,RR]

=[647.25,1 000.76]

(34)

(35)

其余聯(lián)盟的收益值算法類似，此處不做贅述。最終所得聯(lián)盟值如表3所示。

表3 子聯(lián)盟收益值匯總Table 3 Summary of income value of sub-union

顯然，由表3可知，聯(lián)盟{(lán)1,2}由于其車輛保有種類與企業(yè)規(guī)模大小均相似，合作后所獲剩余向量不達(dá)預(yù)期，聯(lián)盟不具有穩(wěn)定性，在實(shí)際情況中，二者聯(lián)盟很難成立，合作收益值很難預(yù)估。此例中，子聯(lián)盟{(lán)1,2}不滿足超可加性，無法獲得子聯(lián)盟的收益值，因此無法使用Shapely值和Banzhaf值進(jìn)行分配策略的求解。所提出的兩種方法，由于無需預(yù)知所有子聯(lián)盟的收益值，完美避開傳統(tǒng)合作博弈求解方法的局限性，可輕松解決此類問題。不同解決方案的計算結(jié)果如表4所示。

表4 不同情況的收益分配結(jié)果Table 4 Income distribution results in different situations

由表4可以看出，企業(yè)1、企業(yè)2、企業(yè)3在加入合作聯(lián)盟后，所得收益較單干時收益更多，滿足個體合理性，且其聯(lián)盟成立后所得收益值之和大于3家企業(yè)單干時所得收益，大聯(lián)盟滿足超可加性。此外，由于3家冷鏈運(yùn)輸企業(yè)達(dá)成合作后，其車輛類型及運(yùn)輸信息共享，解決了中小型物流企業(yè)車貨不匹配、運(yùn)輸資源浪費(fèi)的問題，同時合作收益分配策略公平合理，因此合作聯(lián)盟呈穩(wěn)定狀態(tài)。

加權(quán)區(qū)間數(shù)均分剩余值較區(qū)間數(shù)均分剩余值而言，考慮了企業(yè)規(guī)模、市場占有率、市場信譽(yù)及車輛保有情況等因素，增加了權(quán)重因子ω，因此，在冷鏈物流合作聯(lián)盟企業(yè)利益分配的實(shí)際應(yīng)用中更加公平合理。

4 結(jié)論

提出了兩種基于局中人剩余向量利潤分配策略的決策方案，較傳統(tǒng)可轉(zhuǎn)移效用博弈的解決方案而言，解決了由于子聯(lián)盟不滿足超可加性或無法成立時，無法采用傳統(tǒng)合作博弈解計算分配策略的問題。同時，針對受環(huán)境、交通條件、氣候影響等客觀原因造成的局中人聯(lián)盟值無法精確計算的問題，提出了使用區(qū)間數(shù)表示聯(lián)盟值的方法。本文方法將合作聯(lián)盟剩余向量考慮在內(nèi)，所得的利潤分配策略更加公平合理。所得解皆滿足存在性、唯一性、有效性、個體合理性、超可加性、對稱性、未知性等特性。在未來的研究中，將所提出的兩種解法推廣到其他模糊情境。