機床熱誤差測溫點優化及建模方法研究

李煥昭，張愛梅，裴雪巍

（鄭州大學機械與動力學院，河南 鄭州 450001）

1 引言

機床熱誤差大約能夠占機床總誤差的（40～70）%［1］。雖然可以通過改進機床結構和材料來減小熱誤差，但在實際加工過程中不能完全消除熱誤差，實施難度大、成本高。因此，探索出一種通過補償方法來減小熱誤差對機床的影響非常必要的［2］。

機床熱誤差補償研究存在兩個問題，一是溫度測量點的選擇，二是建模方法。為了保證模型的魯棒性、實時性和計算有效性，需要選擇合理有效的溫度測量點。文獻［3］采用灰色綜合相關法對測溫點進行優化。文獻［4］采用模態分析方法得到機床溫度測量點。文獻［5］采用模糊聚類方法對溫度測量點進行優化，降低了自變量的維數，提高了模型的穩定性。機床熱誤差建模方法一般可分為理論方法和數理統計方法。理論建模方法主要采用有限元法對建立的機床模型進行加載和求解［6-7］，但邊界條件難以確定，導致模型精度較低。數學建模方法主要包括支持向量機［8］、最小二乘法［9］、貝葉斯網絡法［10］等統計方法。但現有補償方法仍然存在著精度不足、缺乏魯棒性的問題。為此，提出了基于DBSCAN聚類算法的溫度傳感器測點優化方法和基于BP神經網絡的數控機床建模方法，提高了模型的魯棒性、實時性。

2 基于DBSCAN優化傳感器數據

2.1 獲取機床與主軸熱位移數據

2.1.1 實驗對象及材料

CA系列機床是一種通用機床，廣泛應用于基礎加工制造業。選擇CA系列機床作為實驗對象具有一定的代表性。采用omron光纖同軸型ZW系列位移傳感器和非接觸式紅外溫度傳感器，如圖1所示。激光位移傳感器分辨率可達0.001mm，采集軟件采用RJ45網線接口與采集器（左下圖）進行通訊。紅外溫度傳感器分辨率為0.1℃，采用USB 與采集器（左上圖）通訊，數據統一保存為.csv格式。

圖1 溫度及位移數據采集設備及軟件Fig.1 Temperature and Displacement Data Acquisition Equipment and Software

實驗中，在機床發熱關鍵點位置設置了16個溫度傳感器，其位置，如圖2所示。T17為位移傳感器測量位置，主要測量機床主軸的X向位移數據。

圖2 溫度傳感器的布置Fig.2 Location of Temperature and Displacement Sensor

三個溫度傳感器T1至T3用于測量機床的溫度。T4用于測量電機溫度的。T5用于測量主軸頭的溫度。T6用于測量導軌中部溫度。T7、T8分別測量導軌與機身交界處左右兩端的溫度。T9和T10測量主軸前軸承溫度。T11和T12測量主軸后軸承溫度。T13和T14測量減速齒輪箱溫度。T15和T16測量主軸溫度。位移傳感器17 號布置在主軸X方向的下部，如圖2 所示。分別在1000r/min和1400r/min下獲得溫度和位移數據，測量頻率為60/min，共采集數據3600組。實驗過程中要考慮到環境溫度的影響，通過查閱資料獲取廠房的年平均溫度，盡量使測溫的時間段時的溫度處于年平均溫度值附近。現場實驗條件溫度在20℃左右，基本在整年平均溫度左右浮動，因此符合我們的測試條件。盡量模擬實際加工工況，實時記錄相同間隔時間的溫度情況，當溫度趨于平衡時，關閉機床，并記錄溫度數據至室溫。

2.2 數據處理

2.2.1 異常值捕獲方法

由于測量環境或人為因素的影響，會出現異常數據集，影響模型的精度。因此采用箱型圖法獲取出異常值索引，基于拉格朗日插值法對索引位置的異常值進行插值處理，使數據接近實際值。綠色部分方框的上下邊緣線代表著數據的上下四分位數，其中下四分位數為U1=(n+1)/4，n為數據的個數；上四分位數為U3=3(n+1)/4；上邊緣和下邊緣線為上限和下限，通過計算四分位距IQR=U1-U3，得到上限為U1+IQR，下限為U3-IQR；位于上下限之外的是異常值，從圖中可以看出小黑點代表異常值，箱型圖，如圖3所示。

圖3 箱型圖篩選異常值Fig.3 Box Chart Method to Filter Outliers

2.2.2 異常值處理方法

假設溫度測量點的順序值為Tn(y1，y2，…ym)，Tn代表傳感器號n=1，2…17。y是測量數據m=(1，2…3600)。異常值的位置為c，則位置c的值應為L(xc)，選取異常值前后4個數據進行插值計算，并將異常值由L(xc)代替，計算方法見（1）和（2）。

通過拉格朗日插值法來替換異常值能夠使數據更加平滑，接近于實際數據。

2.3 聚類分析

上述獲取到的溫度與位移據量非常大，在不同的測溫點之間會存在一定的線性關系，假設數據集為X，根據線性代數知識也就是矩陣XT為非滿秩矩陣。如果用數學語言進行描述：對于向量組T1，T2，…T16，存在不全為0 的k1，k2，…kn能夠使得k1T1+k2T2+…knT16=0。非滿秩矩陣也就代表存在大量的冗余數據，因此我們要去除這樣的冗余特征向量。采用密度聚類方法能夠有效的降低冗余數據。DBSCAN是非常常用的密度聚類方法。它的核心思想是通過一個點在其ε（常數）鄰域中的鄰域點的數目來測量該點的空間密度。它可以計算形狀奇特的簇中心。此外，在聚類分析中不需要設置聚類中心的數目。程序將根據相鄰半徑和相鄰半徑內的點數自動生成簇中心。聚類結果，如表1所示。

表1 測溫點溫度數據聚類結果Tab.1 Temperature Data Clustering Results

通過DBSCAN聚類將16個溫度測量點分為5類。測溫點被分為五類，第一類包括T2、T4、T13、T14；第二類包括T11、T12、T16；第三類包括T1、T9、T10、T15；第四類包括T7；第5類包括T3、T6、T8，如表1所示。每個類別內包含的特征數據個數是不相同的為了達到我們降維、優化的目的，我們需要從每個類別中選取部分特征數據作為篩選出的特征數據，并將對應位置作為我們的測溫點。

通過皮爾遜相關系數法，從每組中選出誤差相關最大的溫度測量點，并將選定的溫度測量點作為最佳溫度測量點。相關系數的計算方法如（3）。

式中：ρTijVij—溫度與熱誤差的相關系數；Tij—溫度測量點的溫度數據；i—傳感器號；j—測量次數；V—熱位移值。

皮爾森相關系數的計算結果，如圖2所示。在圖2中為方便描述，只列出了相關系數最大的特征數據（測溫點）。

各組的最大相關系數分別為T13、T16、T15、T7和T3，如表2所示。采用聚類分析方法，將溫度測量點從16個優化到5個，降低了數據維數，提高了模型的訓練速度。

表2 每個類別中相關系數最大的測溫點數據Tab.2 Temperature Measurement Point Data with the Largest Correlation Coefficient in the Category

3 構建BP神經網絡模型

3.1 構造神經網絡

機床各點溫度與熱誤差之間是非線性動態關系。構造BP神經網絡進行非線性數據擬合，這里采用雙隱層神經網絡，圖中：Xi—輸入值；O—主軸位移的輸出值；wij—溫度數據輸入到隱層的權重；wjk—隱藏層到隱層的權重；wk1—隱藏層到輸出層的權重，神經網絡的結構，如圖3所示。

圖4 神經網絡結構Fig.4 Neural Network Structure

如（4）所示構造輸入矩陣X數據集，每行對應的值為熱位移值。

式中：Tij—輸入值。i=(1，2，…n)為特征數據j=(1，2，…m)—特征數。

定義損失函數為E：

式中：Y—預期值；

O—網絡的輸出值。

采用梯度下降法求解誤差E的梯度：

導出誤差反向傳播矩陣：

式中：α—學習率；

3.2 數據增強

為擴增數據集大小和提高模型的泛化能力，采用隨機動態誤差方法對數據進行增強，生成1000對隨機數作為數據集的行列索引，即[rows，cols]，選擇對應位置的數添加動態噪聲，其中動態噪聲：由蒙特卡洛算法生成的（0～1）的符合正泰分布的數據，假設為a，將a乘以2將區間變換為（0～2），并乘以-1n，即，-1n×2a。將添加動態噪聲后的數據集添加至原數據集，完成數據集擴增。

3.3 網絡訓練建模

根據7：3 比例將數據集訓練集和測試集，學習率設置為0.01，迭代次數最大為10000。處理后的T13、T16、T15、T7、T3點數據作為模型輸入，熱誤差作為輸出。經過訓練得到機床熱誤差模型，其預測結果，如圖5所示。

圖5 機床熱誤差模型預測結果Fig.5 Prediction Results of Thermal Error Model of Machine Tool

圖中實線代表真實值，小圓點代表預測值，細點線代表殘差。模型得分可達0.94。

模型得分計算方法為（8）：

式中：Y—實驗值；

O—預測值。

模型預測結果的最大殘差為0.012mm，殘差的標準差為0.33mm。可以看出，根據BP網絡構建的機床熱誤差模型預測效果較好，能夠滿足實際加工補償要求。

4 結論

（1）DBSCAN 聚類方法可以有效地將溫度測量點從16 個減少到5個，為誤差模型選擇合適的溫度測量點。

（2）BP神經網絡方法能很好地預測機床的熱誤差，模型得分可達0.94。

（3）訓練后的模型可以嵌入至機床控制中心。計算中心根據機床的溫度信號預測機床的熱誤差，然后控制機床控制器進行誤差補償。