平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化與性能分析

周 理，朱紅求

（1.湖南城市學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，湖南 益陽 413000；2.中南大學(xué)自動化學(xué)院，湖南 長沙 410083）

1 引言

兩平移一轉(zhuǎn)動3RPR 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)可應(yīng)用于機(jī)器人操作機(jī)構(gòu)、數(shù)控電火花機(jī)床以及精密微動機(jī)構(gòu)等［1］。國內(nèi)外學(xué)者對平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究較多［2］，研究范圍主要包括奇異性、運(yùn)動學(xué)分析、性能指標(biāo)分析、結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化等［3］。文獻(xiàn)［4］采用非支配排序遺傳算法II研究3RPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動靈敏度、工作空間和奇異軌跡等性能指標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問題。文獻(xiàn)［5］提出了一種無奇異平面3RPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法。對平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的所有奇異構(gòu)型進(jìn)行了識別和分類，找到設(shè)計(jì)變量的解集。文獻(xiàn)［6］設(shè)計(jì)了一套基于CAD幾何方法的奇異曲面、總工作空間和關(guān)節(jié)空間確定技術(shù)。重點(diǎn)介紹了利用CAD工具對平面并聯(lián)機(jī)器人的性能進(jìn)行表征和分析。并通過算例分析驗(yàn)證了這種方法在機(jī)器人設(shè)計(jì)過程中的有效性。文獻(xiàn)［7］對3RPR平面并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了靈敏度分析，提出了一種比較3RPR 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)靈巧度、工作空間和靈敏度大小的方法。最后詳細(xì)分析3RPR 平面并聯(lián)靈敏度。 文獻(xiàn)［8］對3RPR 平面并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了靈敏度分析。在此基礎(chǔ)上，以獲得其最大規(guī)則靈巧工作空間作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)［9］根據(jù)微分運(yùn)動學(xué)位移矢量微分映射關(guān)系，建立平面3RPR型全柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化模型，采用OC 算法進(jìn)行優(yōu)化，并將建立的三維模型在Hyperworks軟件中進(jìn)行靜力學(xué)分析與對比。

平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解分析方法有很多，文獻(xiàn)［10］將遺傳算法和模擬退火法結(jié)合成的混合元啟發(fā)式算法用于求解3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解。并與單一算法的搜索效率進(jìn)行比較。結(jié)果表明，元啟發(fā)式方法具有較好的魯棒性。所得最優(yōu)解與代數(shù)方法相比的效果更好。文獻(xiàn)［11］建立位置正解的無約束優(yōu)化模型，提出機(jī)構(gòu)綜合方程無約束優(yōu)化求解的粒子群復(fù)形法。該方法具有全局搜索性、收斂速度較快、精度較高等優(yōu)點(diǎn)。解決單一算法中精度不足問題。文獻(xiàn)［12］應(yīng)用吳方法研究3RPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動學(xué)求解問題。推導(dǎo)得到正運(yùn)動學(xué)封閉形式解為一元六次方程。文獻(xiàn)［13］采用混沌法對3RPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解問題進(jìn)行了分析，給出了算例驗(yàn)證其方法的有效性、可靠性。

不難發(fā)現(xiàn)3RPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解分析較復(fù)雜且無解析式，同時(shí)輸入輸出不具有解耦性。因此，根據(jù)機(jī)構(gòu)降藕原理對機(jī)構(gòu)進(jìn)行降藕設(shè)計(jì)，得到一種耦合度為0的新型RPRPR-RPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，此機(jī)構(gòu)的位置正解具有解析式，運(yùn)動學(xué)分析較為簡單，極大的方便了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動規(guī)劃與精度控制。在運(yùn)動學(xué)正逆解分析的基礎(chǔ)上研究機(jī)構(gòu)的奇異性、工作空間、轉(zhuǎn)動能力等運(yùn)動性能。與3RPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，拓?fù)鋬?yōu)化后的降耦機(jī)構(gòu)運(yùn)動性能得到極大的改善。

2 3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣蹬簝?yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 坐標(biāo)系的建立

3RPR 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖，如圖1 所示。在靜平臺R11上建立靜坐標(biāo)系{O-xy} ，其中x軸過直線R11R31，動平臺上建立動坐標(biāo)系{P-uv} ，u軸平行于直線R12R32，v軸經(jīng)過點(diǎn)R22且垂直于R12R32，以主動移動副的位置作為獨(dú)立的輸入?yún)?shù)，用(d1，d2，d3)表示，輸出參數(shù)為(x，y，θ)，具體參數(shù)，如表1所示。

圖1 平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Structure Diagram of Planar 3RPR Parallel Mechanism

表1 參數(shù)描述Tab.1 Parameter Description

2.2 機(jī)構(gòu)方位特征集與耦合度分析

（1）機(jī)構(gòu)方位特征集分析，首先需要確定每條支鏈的方位特征集，根據(jù)文獻(xiàn)［14］公式支路的POC集為：

其中，Ri1//Ri2(i=1，2，3)

根據(jù)式（2）機(jī)構(gòu)動平臺方位特征集為：

（2）基于單開鏈單元的機(jī)構(gòu)組成原理，耦合度的分析需要對機(jī)構(gòu)進(jìn)行回路拆分，將機(jī)構(gòu)拆分成兩條回路。

①確定第一個獨(dú)立回路位移方程數(shù)ξL1，計(jì)算可得：

②確定第二個獨(dú)立回路位移方程數(shù)ξL2，計(jì)算可得：

③由上分析可得：ξL1=3，ξL2=3，約束度Δj表達(dá)式可得：

綜上所述，機(jī)構(gòu)有兩個BKC，第1 個BKC1的耦合度κ1=1，第2個BKC2的耦合度κ2=1，因此，機(jī)構(gòu)需要一個虛擬變量來建立正解方程，而且無法得到正解的解析式，只能通過一維度搜索法得到數(shù)值解，此情況下機(jī)構(gòu)不具有運(yùn)動解耦性。因此，機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)問題求解的復(fù)雜度高，同時(shí)不利于機(jī)構(gòu)的實(shí)時(shí)控制。

2.3 機(jī)構(gòu)拓?fù)漶詈蟽?yōu)化設(shè)計(jì)

針對上述3RPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動不解耦導(dǎo)致情況，將使機(jī)構(gòu)耦合度為0，這樣機(jī)構(gòu)輸入輸出具有解耦特性。將機(jī)構(gòu)動平臺上的任意兩個轉(zhuǎn)動副，重合為一個復(fù)合鉸鏈，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)為RPRPR-RPR。拓?fù)鋬?yōu)化后的機(jī)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 降耦平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Structure Diagram of Decoupling Planar3RPR Parallel Mechanism

單開鏈1SOC1{-R11-P1-R32-P3-R31-} 約束度Δ1為：

單開鏈2SOC2{-R21-P2-R22-R32-} 約束度Δ2為：

因此，機(jī)構(gòu)的耦合度降為0。根據(jù)耦合度κ的物理意義，若κ=0，基本運(yùn)動鏈的運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)可單獨(dú)求解，且正解具有解析式，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析簡單。

3 降耦機(jī)構(gòu)的位置分析

3.1 位置正解分析

已知主動副輸入(d1，d2，d3)，推導(dǎo)出動平臺位置姿態(tài)(x，y，θ)。根據(jù)參數(shù)定義，可得到靜平臺上點(diǎn)Ri1的坐標(biāo)分別為R11( 0，0 )，已知R32(x，y)，可得特征參數(shù)方程如下：

根據(jù)式子（20）得到的(x，y)表達(dá)式：

因此，x，y只與d1，d3有關(guān)。

設(shè)置R32(x，y)，同樣可以得到關(guān)于(m，n)的方程如下：

機(jī)構(gòu)姿態(tài)角度θ可通過R32(x，y)，R32(x，y)得到：

因此，可得到機(jī)構(gòu)姿態(tài)角度θ表達(dá)式：

從上述表達(dá)式可得，姿態(tài)角度只與d1，d3有關(guān)，機(jī)構(gòu)正解具有解析式，而且表達(dá)式簡單。

3.2 位置逆解分析

位置逆解求解是指通過機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和末端執(zhí)行器動平臺參考點(diǎn)的位姿(x，y，θ)，推導(dǎo)得到主動關(guān)節(jié)（移動副）的位置。即已知(x，z，θ)，求解(d1，d2，d3)，靜坐標(biāo)系下點(diǎn)R22的位置矢量可表示為：

式中：rP—動坐標(biāo)原點(diǎn)P在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（x，y）；Rot(z，θ)—坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

根據(jù)坐標(biāo)變換的公式推導(dǎo)出來動平臺上R22的坐標(biāo)為因此，可得到(d1，d2，d3)的表達(dá)式如下：

3.3 位置正逆解數(shù)值實(shí)例

已知R=4，r=2，令d1=0.4622，d2=5.0224，d2=5.5693。將參數(shù)值代入正解的解析式（11）和式（14）中，得到正解的值，如表2所示。

表2 運(yùn)動學(xué)位置正解Tab.2 Forward Kinematics Solution

同理，將表2中的參數(shù)值代入到反解式（18），驗(yàn)證機(jī)構(gòu)的正解正確。

4 降耦機(jī)構(gòu)的奇異性分析

將等式（18）對時(shí)間求導(dǎo)，得到機(jī)構(gòu)正逆解雅克比矩陣。

式中：Jq—逆雅克比矩陣；JX—正雅克比矩陣。

若JX非奇異，則：

若Jq非奇異，則：

4.1 逆解奇異性分析

機(jī)構(gòu)逆解奇異條件為：

根據(jù)式（20）與式（21）整理可得：

令det(Jq)=0，則存在以下3種情況，情況1，d1=0，d2的移動方向和R22R32在同一直線上。

情況2，d2=0，d1的移動方向和R22R32在同一直線上。情況3，d3=0，d2的移動方向和R22R32在同一直線上。此類奇異屬于邊界奇異，一般發(fā)生在工作空間邊界位置。情況1，其他就不一一列舉，如圖3所示。

圖3 降耦平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解奇異Fig.3 Iinverse Solution Singularity of Decoupling Planar 3RPR Parallel Mechanism

4.2 正解奇異性分析

根據(jù)等式（20）與式（22）整理可得：

令det(Jq)=0，則存在以下3種情況，情況1，若y=0或θ=0，即移動副P1與P3在直線R11R31上移動。

圖4 降耦平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解奇異Fig.4 Forward Singularity of Planar 3RPR Parallel Mechanism with Decoupling

通過以上奇異性分析發(fā)現(xiàn)：與3RPR機(jī)構(gòu)相比降耦機(jī)構(gòu)的奇異性比較簡單。

5 降耦機(jī)構(gòu)的工作空間分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間是指動平臺執(zhí)行末端參考點(diǎn)所能夠達(dá)到的位置點(diǎn)集合［15］。通過離散化的極坐標(biāo)搜索法根據(jù)約束條件判斷是否是工作空間內(nèi)點(diǎn)，約束條件條件主動副輸入位移(d1，d2，d3)取值范圍[a，b]。

表3 機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)Tab.3 Size Parameters of Mechanism

5.1 定姿態(tài)工作空間分析

定姿態(tài)工作空間是指動平臺末端以某個姿態(tài)角所能移動的范圍，定姿態(tài)工作空間是可達(dá)工作空間的子集，相同參數(shù)下分析降藕前后3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)定姿態(tài)工作空間（0o），如圖5所示。根據(jù)分析發(fā)現(xiàn)：3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)定姿態(tài)工作空間無空洞情況，邊界點(diǎn)光滑連續(xù)，形狀沿著x=3.5對稱。降藕后的3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)定姿態(tài)工作空間面積小于3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)定姿態(tài)工作空間面積，所得機(jī)構(gòu)工作空間無空洞情況，邊界點(diǎn)連續(xù)且沿著x=3.5對稱分布。根據(jù)計(jì)算分析，3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)定姿態(tài)工作空間面積為50.28m2，降藕后的3RPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的面積為32.31m2，降藕后的3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間相比3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間面積減少35.74%。說明相同參數(shù)下的3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)降藕機(jī)構(gòu)定姿態(tài)工作空間面積相比原機(jī)構(gòu)減小較多。

圖5 降耦前后平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)定姿態(tài)工作空間對比Fig.5 Comparison of the Fixed Attitude Workspace of Planar 3RPR Parallel Manipulator before and after Decoupling

5.2 調(diào)整參數(shù)后定姿態(tài)工作空間對比分析

根據(jù)對比分析降耦前后平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)面積有所減小，為了提高機(jī)構(gòu)的定姿態(tài)操作空間性能。對機(jī)構(gòu)的參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，參數(shù)值的調(diào)整參考文獻(xiàn)［16］中的算例參數(shù)值，現(xiàn)通過將參數(shù)a在原來的基礎(chǔ)上增加調(diào)整后的降藕性能定姿態(tài)工作空間，如圖6所示。調(diào)整后的降藕3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)定姿態(tài)工作空間面積變化明顯，計(jì)算面積為71.88 m2。相比原來機(jī)構(gòu)工作空間面積增加42.96%。工作空間連續(xù)且形狀關(guān)于x=3.5對稱分布，無空洞情況。

圖6 調(diào)整參數(shù)尺寸后的降耦平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)定姿態(tài)工作空間Fig.6 Fixed Attitude Workspace for Decoupling Planar 3RPR Parallel Mechanism after Adjusting Parameter Size

以上分析說明：同等參數(shù)下的降耦平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)與平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比操作空間性能有所下降，但適當(dāng)調(diào)整降耦后平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)尺寸，降耦后平面3RPR可具有與3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)同等大小的工作空間性能。

5.3 可達(dá)工作空間分析

可達(dá)工作空間是指機(jī)構(gòu)以任意姿態(tài)角所能到達(dá)的位置點(diǎn)集合，所有定姿態(tài)工作空間交集構(gòu)成可達(dá)工作空間。相同參數(shù)下分析兩機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間，如圖7 所示。根據(jù)圖7 分析可得：3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間呈對稱分布，沿著x=3對稱分布，且形狀呈橢圓狀，工作空間連續(xù)、邊界點(diǎn)光滑無空洞情況。降藕后的3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的面積小于3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間。較3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間形狀更扁平，形狀沿著x=3.5對稱分布，邊界點(diǎn)光滑無空洞情況。根據(jù)計(jì)算分析，3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間面積為57.20m2，降藕后的3RPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的面積為32.44m2，降藕后的3RPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間相比3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間面積減少43.29%。

圖7 降耦前后平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間對比Fig.7 Comparison of the Reachable Workspace of Planar 3RPR Parallel Manipulator before and after Decoupling

5.4 調(diào)整參數(shù)后可達(dá)工作空間對比分析

根據(jù)上一節(jié)分析表明，拓?fù)鋬?yōu)化后的機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間相對原機(jī)構(gòu)較小，可通過適當(dāng)調(diào)整機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)尺寸，以增大機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間。現(xiàn)通過將參數(shù)a在原來的基礎(chǔ)上增加調(diào)整參數(shù)尺寸后的降藕3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間，如圖8所示。調(diào)整參數(shù)尺寸后的降藕3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間操作空間得到顯著改善，根據(jù)計(jì)算面積為72.17m2。且形狀關(guān)于x=3.5對稱分布，無空洞情況。相比原來機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間面積增加26.3%。

圖8 調(diào)整參數(shù)尺寸后的降耦平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間Fig.8 Workspace for Decoupling Planar 3RPR Parallel Mechanism after Adjusting Parameter Size

6 轉(zhuǎn)動能力分析

轉(zhuǎn)動能力是指分析機(jī)構(gòu)在工作空間范圍內(nèi)姿態(tài)角的轉(zhuǎn)動角度的范圍。為對比降耦前后機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動性能差異，采用相同參數(shù)研究降耦前后機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動能力。降耦前后平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動能力對比，如圖9所示。

圖9 降耦前后平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動能力對比Fig.9 Comparison of Rotation Ability of Planar 3RPR Parallel Mechanism before and after Decoupling

對比分析發(fā)現(xiàn)：降耦機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間內(nèi)的點(diǎn)的轉(zhuǎn)動范圍（0～360）面積占可達(dá)工作空間面積27.6%，而原3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間內(nèi)的點(diǎn)的轉(zhuǎn)動范圍（0～360）面積占可達(dá)工作空間面積14.3%，顯然，降耦后的3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有良好的轉(zhuǎn)動能力，工作空間內(nèi)的轉(zhuǎn)動能力優(yōu)于原3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

7 性能對比分析

現(xiàn)將降耦前后平面3RPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能對比分析，對比分析，如表4所示。

表4 降耦前后平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能對比Tab.4 Performance Comparison of Planar 3RPR Parallel Manipulator before and after Decoupling

根據(jù)上述對比分析結(jié)果表明：雖然降耦后平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)操作空間性能有所減小，但是可通過適當(dāng)調(diào)整構(gòu)件長度參數(shù)值達(dá)到3RPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)操作空間性能，而其他性能降耦后平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有顯著優(yōu)勢，總的來講，降耦后平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)綜合性能較好。

8 結(jié)論

（1）針對3RPR 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)耦合度高、正解分析復(fù)雜的問題，對3RPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)降耦優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到一種耦合度為0的新型RPRPR-RPR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)。（2）在建立的運(yùn)動學(xué)方程的基礎(chǔ)上對降耦機(jī)構(gòu)奇位異型分析，分別分析降耦機(jī)構(gòu)正解奇異、逆解正解奇異，結(jié)果表明：降耦機(jī)構(gòu)的奇異性比較簡單。（3）將降耦前后平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間對比分析，降耦平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間面積較原平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間面積偏小，適當(dāng)增加主動副的移動范圍能極大的改善降耦平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間性能。（4）將降耦前后平面3RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動能力對比分析表明：降耦平面3RPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動能力要高于原機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動能力。