機械臂軌跡的阻抗滑膜控制

劉慧博，孫昌琦，任 彥

（內蒙古科技大學，內蒙古 包頭 014010）

1 引言

隨著科技的進步，機械臂在生產實踐中大規模的應用，而且它也有效的提高了社會生產力。所以對于機械臂控制技術的研究也越來越受到重視，對于機械臂各個領域的研究也越來越深入。對于二自由度的機械臂的精確控制一直都是控制領域的熱點。采用簡單的PD 控制，也能基本滿足機械臂的點到點的控制［1］，但是隨著控制精度要求的提高，越來越多的控制方法不斷涌現。文獻［2］對機械臂采用模糊自適應的控制方法，相對于傳統的PD控制，取得了更好的控制效果。還有文獻［3］使用神經網絡自適應的控制對機械臂進行研究，提高了系統響應和精度。文獻［4］對機械臂使用迭代控制和重復控制的方法，有效的提高了機械臂重復動作的控制精度。文獻［5］將自適應神經網絡控制引入到機械臂軌跡控制中，對軌跡誤差做了詳細觀測，有利于機械臂的軌跡控制。文獻［6］將LMI的指數收斂非線性觀測器引入滑膜控制，使得控制器的輸入更加平緩，抖動明顯減少。文獻［7］采用自適應RBF神經網絡二次泛函最優控制實現了最少的能量達到誤差最小的控制效果。這里對滑膜控制進行改進，改變切換函數，以及改變切換函數的參數，進一步降低滑膜控制的抖動，提高系統穩定性。

由于機械臂在控制時，由于末端位置產生的誤差，可能導致機械臂和物品之間接觸的地方產生過大的力，使得物品損壞，所以Hogan提出了阻抗控制［8］。文獻［9］采用自適應的方法對機械臂進行阻抗控制，并制作了阻抗控制的漢字書寫系統，取得了良好的控制效果。文獻［10］將粒子群算法和阻抗控制相結合，也取得了良好的控制效果。

這里在改變切換函數的滑膜控制基礎上，先對機械臂的軌跡控制做到盡可能的優化，降低控制器的抖振，提高跟隨的精度。然后將滑膜控制和阻抗控制相結合，通過控制末端位置誤差，實現對末端壓力的控制，同時準確的跟蹤軌跡。

2 機械臂的動力學模型

二自由度的機械臂力學結構模型，如圖1所示。

圖1 雙關節機械臂結構Fig.1 Double Joint Manipulator Structure

械臂質量。這里用到的具體參數，如表1所示。

表1 機械臂部分物理參數Tab.1 Physical Parameters of The Mechanical Arm

機械臂的數學模型可以用牛頓歐拉方程描述，這種方法可以降低關節和運動的連桿之間的動態耦合關系。但是當連桿和關節數量復雜的時候，該方法計算量就很大，不適合建模。機械臂還可以通過拉格朗日動力學進行模型建立。該方法相對簡單而且通用性更強。所以這里選取后者。

得到機械臂的動態性能模型用如下方法：

其中，

在這里研究的二自由度的機械臂中，式中：θ∈Rn—關節角移動量；M(θ)∈Rn×n—機器人的慣性矩陣；C(θ，θ)∈Rn—離心力和哥氏力矩陣；G(θ)∈Rn—重力矩陣；F(θ)∈Rn—摩擦力矩陣；τ∈Rn—控制力矩陣；τd∈Rn—干擾矩陣。

2.1 滑膜控制控制率設計

當機械臂的慣性矩陣參數沒給出時，控制率可用如下方法求得：

2.2 滑膜控制仿真

模型初始值[0 0 0 0]，采用上面的滑膜控制率，兩個關節需要 跟 隨 的 角 函 數 分 別 為：θd1=sin(2πt)，θd2=cos(2πt)，=30，η=0.1。

讓控制器去跟隨給出的角度函數，仿真結果，如圖2所示。

圖2 關節末端實際和理想角度Fig.2 Actual and Ideal Angle of the Joint End

跟隨角度函數時，控制器輸入的控制力矩，如圖3所示。

圖3 控制器輸入的控制力矩Fig.3 Control Torque Input by the Controller

通過仿真結果分析，可以看出輸出不能非常精準的跟隨輸入，而且控制力矩有明顯的抖振。

3 改變切換函數的滑膜控制

滑膜控制系統中，系統狀態從初始位置運動到切換面處叫做趨近運動。滑膜控制對于趨近運動得軌跡沒有限制，所以當使用趨近率對趨近運動進行限制時，可以提高它的動態品質。常見的有指數趨近率，它可以加快趨近運動，減少運動的時間。但是它不能趨近到原點，而且會在原點產生一個頻率更加高的抖振。不利于系統的穩定性。所以這里采用雙曲正切函數做切換函數。

機械臂末端的力Fx和關節控制力矩τ的關系為：

推導機械臂模型為：

將其化簡：

其中，

上面完成了機械手的建模，然后定義：

式中xd—理想軌跡。

設計雙曲正切切換函數的滑膜控制器為：

其中，K，ε>0。

這里用到的機械臂參數如下：

Q=[1.56 0.45 0.63 3.55 1.33]T，l1=l2=1，ql=0.5，η=0.9，ε=0.5，兩個關節理想跟蹤軌跡分別為xd1=cos2t，xd1=sint，末端初始位置為（1，1）。

兩個關節節點末端理想和實際位置，如圖4所示。

圖4 關節節點末端理想和實際位置Fig.4 Ideal and Actual Position of the Joint End

關節節點末端位置實際速度和設計速度，如圖5所示。

圖5 關節節點末端位置實際速度和設計速度Fig.5 Actual Speed and Design Speed at the End of the Joint Node

關節控制器輸出到關節末端的力和控制力矩，如圖6所示。通過分析圖2和圖4，在改進切換函數以后，滑膜控制對于關節末端位置的跟蹤效果有了明顯的提升，能夠更快、更準的對軌跡實現跟蹤。對比分析圖3和圖6可知，控制器輸入的控制力矩抖動明顯減小，輸出更加平緩。所以選取雙曲正切函數作為切換函數，實現了降低滑膜控制抖動的目的。

圖6 控制器輸入的關節末端力和控制力矩Fig.6 Joint End Force and Control Torque Input by the Controller

4 阻抗滑膜控制

考慮到機械臂有接觸性作業的要求。它對于機械臂末端不僅僅有位置跟蹤的要求，同時對于末端的接觸力的大小也有要求。在雙曲正切切換函數的滑膜控制的基礎上，在軌跡控制中加入阻力約束，即建立帶有阻力控制的滑膜控制。由此保證機械臂末端和物體接觸力大小在合適范圍中。

圖7 有阻力的雙自由度機械臂結構Fig.7 Two-Degree-of-Freedom Manipulator Structure with Resistance

機械臂末端接觸位置的阻力-Fe，它與位置誤差x-xd有關。由此建立阻抗膜型［11］：

式中：Mm，Bm，Km—時質量、阻力和剛度系數矩陣。

由此設計滑膜控制器：

機械臂參數不變，Mm=[1]，Bm=[10]，Km=[50]，η=0.9，ε=0.5。

仿真結果如下：

兩個關節末端施加的力大小，如圖8所示。

圖8 關節末端施加的力Fig.8 Force Applied at the End of the Joint

機械臂末端有阻力存在時，兩個關節的控制器輸入的控制力矩，如圖9所示。

圖9 控制器輸入Fig.9 Controller Input

機械臂末端有阻力存在時，兩個關節的末端理想位置和實際位置，如圖10所示。

圖10 關節末端位置坐標Fig.10 Joint End Position Coordinates

分析圖8～圖10可知，該控制下機械臂末端的接觸力得到有效的控制，保持在合理的范圍中。而且末端的位置也能在一定程度上跟隨預定軌跡

5 結論

通過分析以上仿真實驗結果，這里首先通過改變趨近率函數，進一步降低的機械臂滑膜控制系統中的抖動。然后在此基礎上，對機械臂的阻抗控制進行分析研究，證明了在基于雙曲正切函數的滑膜控制中，進行阻抗控制是可行的。并且實驗結果表明，機械臂末端的接觸力，確實控制在一定范圍之內。由以上可知，這里達到了研究的目的。