矩陣相似對角化教學設計

王北平

摘要：本文通過對傳染病傳播的預測，引入矩陣相似對角化的概念，進一步討論相似對角化的方法，最后利用矩陣相似對角化的知識來對傳染病的傳播做預測。

關鍵詞：矩陣;相似對角化;特征值;特征向量

引言

線性代數是高等院校開設的一門重要基礎課程，這門課具有較強的理論性、抽象性和邏輯性。在現代社會，除了算術以外，線性代數是應用最廣泛的數學學科。但在線性代數的教學中，存在的一個很大的問題就是實際應用太少，學生學習起來初步感受就是概念多，推理論證多，后期不免會出現枯燥、乏味、學習興趣不高等現象。為了激發學生的學習熱情，使學生對這門學科產生濃厚的興趣，在教學中，教師需要結合理論知識講一些實際應用，通過解決實際問題，使學生更好地理解與掌握相關知識點。本文介紹矩陣相似對角化在教學過程中的一個實際應用。

一、問題引入

2020年春節期間一場突如其來的疫情席卷全球—新冠肺炎，各國都進入了緊張的防疫階段。值得驕傲的是中國在習近平總書記的帶領下，在全國人民的共同努力下疫情得到了基本控制，通過此次疫情，相信全世界都感受到了中國的強大，并且都為自己是一個中國人而感到驕傲和自豪。下面我們來看一下類似這樣的傳染病是怎樣傳播的，我們又是如何對其進行預測的？

假設發現疫情初始有10%的人感染，若每天有20%的健康者被感染，30%的患者被治愈，則3個月后健康者與患病者所占的比例各是多少？（暫不考慮出生率和死亡率）

分析：根據題意，設第0天（即初始）健康者與患者的占比分別為，且 ;第1天健康者與患者的占比分別為，寫成矩陣形式為;第2天健康者與患者的占比為，寫成矩陣形式為，進而得;以此類推，第天健康者與患者的占比為，得到.

此時問題轉化為如何求矩陣方冪的問題，我們知道對于一個對角矩陣，它的方冪是很容易計算的，因此我們給出矩陣對角化的定義.

二、理論構建

定義 設為階方陣 ， 若存在可逆矩陣使，則稱矩陣使是的相似矩陣，或說矩陣與相似. 對進行的運算稱為對進行相似變換，可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣.

三、應用及推廣

當然對于生活中比較嚴重且大規模長時間的傳染病，我們不僅要考慮每天患病者和健康者的死亡率而且還要考慮到每天健康者的的出生率，因此對于引例我們有以下兩個思考。

思考1：每天患病者的死亡率為30%，求傳染病的發展趨勢？

通過計算此種情況下，即說明經過足夠長的時間健康者與患病者所占比例都趨于零。

思考2：每天健康者的出生率為25%，健康者的死亡率分別為5%和10%，求傳染病的發展趨勢？

通過計算此種情況下，即說明經過足夠長的時間健康者與患病者所占比例將趨于無窮，所以必須及時采取有效的防疫措施。

四、小結

本次課我們設計了一個生活實例，使學生比較直觀的了解該課程的實用性，且能大大提高學生在今后學習中的積極性。在教與學的活動中，讓學生體會理論與實際問題的差別，層層推進，即加深對理論的理解，同時也應用理論指導實踐，以更好地解決實際問題。

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系， 工程數學. 線性代數：第六版[M]， 高等教育出版社，2014.06

[2] 王小俠，李燦，王文成. 線性代數應用案例分析：第一版[M] ，科學出版社，2019.08