通過一題多解方法復(fù)習(xí)同角三角函數(shù)基本關(guān)系

馬來吉

摘要：同角三角函數(shù)基本關(guān)系是高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)內(nèi)容中非常重要的一節(jié)。學(xué)生能正確理解和掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).因此學(xué)好同角三角函數(shù)基本關(guān)系才能和后面的內(nèi)容融會貫通，順利解決問題。本文通過對一道關(guān)于同角三角函數(shù)關(guān)系的題目試用多種方法展開求解，以期學(xué)生能完全掌握知識，能舉一反三，合理選取能快速解決問題的技巧。

關(guān)鍵詞：同角三角基本關(guān)系;一題多解

正文：數(shù)學(xué)學(xué)科是我國現(xiàn)行基礎(chǔ)教育主要學(xué)科之一.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力以及組織能力有著重要的影響.一題多解的目的在于激發(fā)學(xué)生興趣、培養(yǎng)學(xué)生思維能力和應(yīng)變能力.能促使學(xué)生養(yǎng)成對事物的探索精神.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用一題多解的方法加快學(xué)生掌握知識的速度.同角三角函數(shù)關(guān)系是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容非常重要的一節(jié)，學(xué)生能正確理解和掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系是后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).本文我們使用多種方法對下面這道題進行講解與分析，希望學(xué)生能觸類旁通，舉一反三，順利掌握同角三角函數(shù)關(guān)系相關(guān)知識，將其和后面內(nèi)容融會貫通，快速解決考試中出現(xiàn)的問題.

例題：已知 求 的值.

該題是一道典型的已知代數(shù)式的值求另一個代數(shù)式的值的問題.題目主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系.學(xué)生很容易想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系的平方關(guān)系以及解方程思想求出 和 的值來解決該問題，我們嘗試一下.

該方法雖然是學(xué)生最容易想到的方法，進行到這一步感覺能解決問題，但真實情況是大多學(xué)生很難正確求解.原因是我們還需要根據(jù)其它條件來判斷 和 的取值，在這個解題過程中顯然是沒有的，需要另找條件或者方法。

基于三角函數(shù)線相關(guān)知識，有向線段 .因此可利用有向線段來判斷 所在的象限從而來判斷 和 的正負，我們以此可以完善方法一。

我們知道，用三角函數(shù)線表示三角函數(shù)一定是帶方向的，正是因為有了方向，三角函數(shù)線才有了靈魂.利用三角函數(shù)線不僅可以判斷三角函數(shù)在各個象限的符號，而且還可以比較大小.比如利用三角函數(shù)線可比較 時， 的大小（有興致的同學(xué)可以嘗試多種方法來求解）。

在三角函數(shù)求解中，將和的形式轉(zhuǎn)化為乘積的形式常用到的方法是平方法，而不同名稱的兩個三角函數(shù)乘積正好是正弦形式的二倍角公式.而 和 又是同角三角函數(shù)，因此我們可以利用以下方法解決該問題。

通過平方法快速求解了 的值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系 可完美解決問題，而且計算量也不大，將 看成一個整體，利用整體代換法是解決很多數(shù)學(xué)問題快速有效的好方法。

我們設(shè)想一下，如果知道 的值，和已知條件 一起可構(gòu)造關(guān)于 和 的二元一次方程組，而方程組是我們初中就已經(jīng)掌握了的.從而能夠很好的解決該問題.學(xué)會構(gòu)造法，在求解方程過程中能起到事半功倍的效果.具體我們來看下面的方法。

該方法難點是通過 的值來求 的值，以及在縱觀以上幾種方法，每種方法都有各自的特點，不存在哪種方法優(yōu)，哪種方法劣.對于學(xué)生來說最好的方法就是能快速掌握且能正確找到答案的方法.本文我們羅列這么多方法主要是從復(fù)習(xí)的角度來發(fā)散學(xué)生的思維，使得學(xué)生能快速找到適合自己的解法，順利掌握知識。