干擾觀測器補償的四旋翼塊對角控制器

何云風，趙國榮，王元鑫，韓 旭

(1. 海軍航空大學岸防兵學院，山東 煙臺 264001；2. 海軍航空大學青島校區，山東 青島 266041；3. 91001部隊，北京 100089)

1 引言

四旋翼無人機結構簡單、靈活機動、成本低，實用性強，因此在軍、民用領域都有著廣泛的應用[1，2]。四旋翼完成任務需要良好的飛行性能，而飛行性能取決于飛行控制系統的設計。現代的四旋翼無人機在飛行過程中具有大機動、強非線性、強耦合的特點[3]，過去基于“小擾動線性化”、“忽略通道間耦合”假設的傳統控制方法難以滿足設計要求。

反饋線性化是現代控制理論中的一支，可以將非線性系統代數地變換為一個解耦的線性系統；可以較好地解決上述四旋翼的3個特點給飛控設計帶來的困難。反饋線性化已經在旋翼[4，5]、固定翼[6]、直升機[7]、導彈[8]等飛行器的控制系統設計上取得良好的應用。而對于狀態量較多、模型維數較高的對象，直接采用反饋線性化會使得最終控制量的表達式繁雜且依賴精確的模型。文獻[9]針對具有特殊塊對角結構的非線性系統，基于反饋線性化，提出了一種塊對角理論，可以將高維的非線性系統變換分解為多個低階線性子系統再進行設計。該理論已經在導彈[9]和飛機著陸系統[10]上得到了很好的驗證。在深入剖析了四旋翼無人機的模型之后，本文發現四旋翼模型符合四層塊對角結構。結合現代四旋翼飛行中的特點以及其模型的結構特征，本文將采用塊對角理論對四旋翼的飛行控制器進行設計。

基于塊對角理論所設計的控制器(以下簡稱塊對角控制器，block diagonal controller， BDC)的整體性能很大程度上由每一層中線性設計部分所采用的方法所決定。在直接使用反饋線性化的控制器中，文獻[11]采用了極點配置的線性設計方法；文獻[12]采用了滑模控制理論進行設計；文獻[13]采用了線性二次型調節器(linear quadratic regulator， LQR)；文獻[14]采用了LQR中的輸出跟蹤器。在使用塊對角理論的控制器中，文獻[9，10]采用的是P增益法進行設計，文獻[15]采用的是Lyapunov函數法。

文獻[11-15]中所采用線性設計方法各有優劣，但均以某一種方法為主；而四旋翼模型符合4層塊對角結構，在使用塊對角理論進行控制器設計時，會存在4個線性設計部分，具有很大的設計空間。為了使得塊對角控制器的綜合性能較為優良，本文提出混合線性設計策略，即針對塊對角模型中每一層的特點采用不同的線性設計方法，并將該策略應用到控制器設計中，對控制器進行優化。

在實際的飛行環境中，四旋翼本身的不確定性和外界的干擾是必然存在的，其存在會對控制系統產生不利影響。抗干擾性與動態性能、跟蹤性能這些標稱性能往往是相互沖突的，許多控制器為了兼顧抗干擾性會犧牲一部分標稱性能，而文獻[16，17]提出了一種新的解決途徑——非線性干擾觀測器(nonlinear disturbance observer， NDOB)。非線性干擾觀測器與原來的控制器是分離設計的，可以在不考慮干擾的情況下先設計好原來的控制器，然后再搭載一個干擾觀測器專門補償干擾。只有在有干擾時，才激活干擾觀測器進行對干擾進行估計從而對系統控制量進行補償，解決了設計控制器時性能的沖突。為提高控制器在實際環境中的抗干擾性，本文將設計一個非線性觀測器，并與塊對角控制器相結合。

綜上，本文針對四旋翼的特點以及其模型結構的特殊性，提出采用塊對角理論進行控制器設計；且考慮到控制器設計中線性設計方法單一，將混合線性策略應用于控制器設計以提高其綜合性能；然后設計一個干擾觀測器用于干擾的估計和補償，最終得到采用干擾觀測器補償的塊對角控制器。

2 預備知識

2.1 塊對角系統

形如

(1)

2.2 四旋翼模型的建立

四旋翼模型分為位置運動學、位置動力學、姿態運動學和姿態動力學模型，依次為

(2)

(3)

(4)

(5)

式(2)～式(5)中，[x，y，z]T表示四旋翼的位置，[vx，vy，vz]T表示速度，[φ，θ，ψ]T表示姿態角，m為質量，g為重力加速度，(kDx，kDy，kDz)為阻力系數，[ωx，ωy，ωz]T表示機體角速度(Jx，Jy，Jz)為繞機體軸的轉動慣量，[τx，τy，τz]T分為滾轉力矩、俯仰力矩、偏航力矩，[MGx，MGy，0]T為機體所受陀螺力矩。

2.3 四旋翼模型的處理

將四旋翼模型進行狀態量重新組合，令

四旋翼模型則可寫為

(6)

模型與式(1)定義相符，滿足其特征，是一個四層的塊對角系統。

3 塊對角控制器的設計

3.1 控制器整體設計框架

四旋翼模型是四層的塊對角系統，對照式(6)可以分為位置層、速度層、姿態角層和角速度層。塊對角控制器的設計思路如圖1所示，

圖1 塊對角控制器整體設計框架

圖1中，下標帶d的量均為對應狀態量的期望值，(Ω1，Ω2，Ω3，Ω4)為控制轉速。而每一層的設計思路如圖2所示。

圖2 每一層的設計思路

塊對角控制器的整體性能很大程度上由線性設計方式決定。本文提出采用混合線性設計的塊對角控制器：根據每層的需求與特點選擇該層的線性設計方法，以獲得整體性能的最優搭配。姿態控制器是比較獨立完整的部分，要考慮其控制速度比位置控制器快，把快速性最好的Lyapunov函數法放在姿態角層，將PID控制放在角速度層，以強收斂性最大限度發揮Lyapunov函數的快速性。位置控制器主要考慮整體的魯棒性，故將滑模控制放在位置層，然后將P增益法放在速度層確保位置控制器收斂即可。這樣塊對角控制器的動態性能、跟蹤性能和魯棒性都會比較優良。

3.2 姿態角層

根據圖1中的設計思路以及混合線性設計的想法，塊對角控制器中的姿態角層的具體設計步驟如下：

Step1：先來考慮姿態角層的3個子系統

(7)

將下一層狀態機體角速度[ωx，ωy，ωz]T看作虛擬控制量，則3個子系統的相對階均為1，運用MIMO(multiple input multiple output)系統的反饋線性化方法[12，14]，取期望機體角速度

(8)

當[ωx，ωy，ωz]T趨于[ωxd，ωyd，ωzd]T時，姿態角層變為Brunovsky標準形

(9)

Step2：基于線性解耦系統式(9)，采用Lyapunov函數法對姿態層進行線性設計，原則是[φ，θ，ψ]T趨于[φd，θd，ψd]T。將姿態角層設計為

(10)

其中系數(L7，L8，L9)均為正常實數。

Step3：將式(10)帶回式(8)，即可得[ωxd，ωyd，ωzd]T的完整表達式。

3.3 角速度層

可仿照姿態角層設計過程的三個步驟。在step1中，考慮角速度層的3個子系統式(5)，控制量為U=[u1，u2，u3]T=[τx，τy，τy]T，3個子系統的相對階均為1，取期望控制輸入

(11)

在step2中采用PID控制理論進行線性設計，原則是使[ωx，ωy，ωz]T趨于[ωxd，ωyd，ωzd]T，保證式(9)成立，角速度層可設計為

(12)

其中e10=(ωxd-ωx)，e11=(ωyd-ωy)，e10=(ωzd-ωz)，系數(KPi，KIi，KDi)(i=10，11，12)均為正常實數。Step3則將式(12)帶回式(11)，即可得[u1d，u2d，u3d]T的完整表達式。

3.4 位置層

同樣地，考慮位置層的3個子系統式(2)，將下一層狀態速度[vx，vy，vz]T看作虛擬控制量，取期望速度為

(13)

(14)

其中S1=(xd-x)，S2=(yd-y)，S3=(zd-z)，系數(ε1，ε2，ε3)、(λ1，λ2，λ3)均為正常實數。將式(14)帶回式(13)，可得[vxd，vyd，vzd]T的完整表達式。

3.5 速度層

考慮速度層的3個子系統式(3)，結合圖1，將總升力f和下一層狀態姿態角[φ，θ，ψ]T看作虛擬控制量，但由于[φ，θ，ψ]T在三角函數中，速度層并不是一個仿射非線性系統，不能直接使用MIMO系統的反饋線性化，這里做一下處理，令

(15)

則式(3)變為

(16)

接著仿照姿態角層的step1，取[ux，uy，uz]T的期望值

(17)

然后采用P增益法對速度層進行線性設計，原則是使[vx，vy，vz]T趨于[vxd，vyd，vzd]T，速度層設計為

(18)

其中(a4，a5，a6)均為正常實數。將(18)帶回(17)可以得到[uxd，uyd，uzd]T的完整表達式。

速度層的虛擬控制量原本應為f和[φ，θ，ψ]T，從外部輸入一個期望的航向角ψd，再結合式(15)，可得[uxd，uyd，uzd]T到f和[φ，θ，ψ]T的轉換式

(19)

將位置層的式(13)(14)、速度層的式(17)(18)(19)、姿態角層的式(8)(10)和姿態角層的式(11)(12)按圖1的框架組織起來即是完整的采用混合線性設計的塊對角控制器。

4 干擾觀測器的設計

本文考慮的干擾為四旋翼最常遭遇的干擾力矩，將姿態動力學模型重寫為

(20)

其中d=[d1，d2，d3]T為干擾力矩所對應的干擾角加速度，也涵蓋了姿態動力學模型本身的模型不確定性。為方便設計和推導，將其式改寫為一般仿射形

x=f(x)+g(x)u+d

(21)

由于姿態控制器與狀態觀測器是分離設計，在式(21)中暫取狀態量x=[ωx，ωy，ωz]T， 控制輸入為u=[τx，τy，τz]T，那么

接下來對d進行觀測。根據式(21)，可得

d=x-f(x)-g(x)u

(22)

若假設d為一個慢變干擾，即

(23)

將干擾觀測器初步設計為

(24)

(25)

η=-p(x)

(26)

其中p(x)滿足

(27)

修正后的干擾觀測器的動態方程為

=-l(x)+l(x)(-f(x)-g(x)u)

=-l(x)(η+p(x))-l(x)(f(x)+g(x)u)

=-l(x)η-l(x)(p(x)+f(x)+g(x)u)

(28)

其中η為輔助變量，f(x)、g(x)、u已知，l(x)、p(x)待設計且二者滿足式(27)。修正后的非線性干擾觀測器為

(29)

根據加入干擾之后的姿態動力學模型式(20)，塊對角控制器的期望輸入式(11)變為

(30)

(31)

結合式(29)與式(31)，干擾觀測器補償的塊對角控制器如圖3所示。

圖3 干擾觀測器補償的塊對角控制器

5 仿真

采用Matlab/Simulink仿真驗證所設計的干擾觀測器補償的塊對角控制器的有效性。選用DJI-F450四旋翼作為參考對象，其參數為：質量m=1.5 kg，旋翼中心到對稱面的距離d=0.159 m，升力系數kT=1.105×10-5N/(rad/s)2，反扭力矩系數km=1.489×10-7N·m/(rad/s)2，Jx=Jy=0.017 07 kg·m2，Jz=0.031 75 kg·m2。

所設計控制器參數經調試后為：

位置層：(ε1，ε2，ε3)=(0.5，0.5，0.5)，(λ1，λ2，λ3)=(0.8，0.8，0.8)；速度層：(a4，a5，a6)=(2.5，2.5，2.5)；姿態角層：(L7，L8，L9)=(2.8，2.8，2.8)；角速度層：(KPi，KIi，KDi)=(15，0，0.8)(i=10，11，12)。

為驗證所設計控制器的有效性，選擇串級PID控制器和每一層全采用P增益法進行線性設計的塊對角控制器與采用混合線性設計的塊對角控制器進行比較。為便于圖表的制作，在仿真結果中分別使用PID、P-BDC和M-BDC來表示三個控制器。

5.1 動態性能

控制器的動態性能往往是首要考慮的。測試動態性能一般采用典型的階躍函數來作為參考輸入。控制器的動態性能如圖5所示(x、y、z通道的階躍響應曲線大致相同，以x通道為例)。

圖4 動態性能比較

其性能指標如表1所示。

表1 動態性能指標

根據圖4與表1可知，三個控制器的上升時間tr基本相同；P-BDC與M-BDC的調節時間ts與超調量σ%也是幾乎相同，且均比PID的要小。因此可以得出：P-BDC與M-BDC的動態性能基本相同且優于PID。

5.2 跟蹤性能

四旋翼無人機最常見的飛行任務就是按照預定航跡飛行，故控制器的跟蹤性能也是核心性能。測試控制器的跟蹤性能可采用典型的雙螺線航跡作為參考輸入，

(32)

四旋翼起點坐標為(0，0，0)，期望航向角ψd=0。控制器的跟蹤性能如圖5所示。

圖5 跟蹤性能比較

根據圖5中的(a)～(c)可以看出，PID與P-BDC跟蹤期望軌跡時會存在時延td，PID時延td=1.37s，P-BDC時延td=1.43s，而M-BDC則具不存在時延。根據圖5中的(a)(d)，PID與P-BDC具有±2.3m的跟蹤誤差，但其跟蹤軌跡與參考軌跡相近， 誤差應該是由時延引起；將期望軌跡按時延平移后得到圖(e)，PID、P-BDC和M-BDC的穩態跟蹤誤差相差不大且均在±0.1m以內，精度較高。綜上所述，三種控制器跟蹤精度相近且均較高，但是PID與P-BDC存在時延，故M-BDC的跟蹤性能更優。

5.3 抗干擾性

測試完塊對角控制器核心的兩個標稱性能后，接來下測試搭載干擾觀測器的塊對角控制器的抗干擾性。為更好地測試控制器的抗干擾性，計劃在懸停狀態下加入干擾。干擾函數為

(33)

干擾觀測器中取l(x)=diag(10，10，10)，p(x)=(10ωx，10ωy，10ωz)。控制器的抗干擾性比較如圖6所示(以x通道為例)。

圖6 抗干擾性比較

根據圖6(a)可知，當未加入干擾觀測器(NDOB)時，PID、P-BDC、M-BDC受干擾所產生的誤差幅值分別為0.34m，0.24m，0.07m，可以看出三個控制器均受一定程度影響，其中M-BDC抗干擾性最好。給P-BDC和M-BDC加入干擾觀測器，根據圖6(b) (c)可知，干擾觀測器本身的觀測效果很好，4s之后基本可以完全觀測干擾(4s左右到達懸停狀態)；搭載干擾觀測器的P-BDC和M-BDC受干擾后的誤差幅值變為0.024m和0.007m，為原控制器的10%，控制器的抗干擾性得到顯著提升，其中搭載干擾觀測器的M-BDC抗干擾性更好。

5.4 魯棒性

在實際環境中，要保證無人機的安全，還應該考慮控制器的魯棒性。選擇最為常見的重心偏移作為參數攝動的代表，控制器的魯棒性如圖7所示。

圖7 魯棒性比較

根據圖7(a)(b)可知，當重心前后偏移時，控制器x通道的階躍響應曲線變化為：P-BDC的上升時間tr上下浮動0.88s，并產生±0.75m的穩態誤差；M-BDC的上升時間tr上下浮動0.43s，并產生±0.25m的穩態誤差。二者都受影響，但后者魯棒性更強。根據圖7(c)(d)可以看出，在加入干擾觀測器之后，P-BDC受攝動影響程度明顯下降， M-BDC甚至幾乎不受攝動影響。綜上，M-BDC比P-BDC魯棒性更好；干擾觀測器對參數攝動也有很好的抵抗作用；加入了干擾觀測器的M-BDC魯棒性很好。

6 結論

本文主要工作：①針對四旋翼的特點，將模型處理為標準的塊對角結構，并采用塊對角理論對四旋翼飛行控制器進行了設計。②為提升控制器綜合性能，將滑模控制、P增益法、Lyapunov函數法和PID控制分別應用到了位置層、速度層、姿態層和角速度層的線性設計部分，得到了采用混合線性設計的塊對角控制器(M-BDC)。③考慮到四旋翼在實際環境中易受干擾影響，設計了干擾觀測器進行干擾的估計和補償。仿真表明，所設計的M-BDC本身具有很好的動態性能和跟蹤性能以及較好的抗干擾性和魯棒性；所設計干擾觀測器對外部干擾和內部參數攝動有很好地抑制和抵消作用；搭載了干擾觀測器的M-BDC兼具了很好的抗干擾性和魯棒性。