群的概念教學中幾個有限生成群的例子

摘 要：群的概念是抽象代數中的最基本的概念之一，在抽象代數課程的教學環節中融入一些有趣的群例，借助于這些較為具體的群例來解釋抽象的群理論，對于激發學生的學習興趣以及鍛煉學生的數學思維能力等方面都會起到一定的積極作用。該文介紹了一種利用英文字母表在一定的規則下構造的有限生成自由群的例子，即該自由群的同音商，稱為英語同音群。此外，該文結合線性代數中的矩陣相關知識，給出了有限生成群SL_2 （Z）以及同構于二面體群D_3和三次對稱群S_3的若干有限生成群。

關鍵詞：群英語同音群矩陣群對稱群二面體群

中圖分類號：O151.2? 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2022）03（a）-0000-00

Several Examples of Finitely Generated Groups

HUO Lijun

（School of Science， Chongqing University of Technology， Chongqing， 400054 China）

Abstract： The concept of group is one of the most basic concepts in abstract algebra. If we integrate some interesting examples of group into the teaching process of abstract algebra and use somespecific group examples to explain the abstract group theory， then it will have a positive effect on stimulating students' interest in learning and improving the students' mathematical thinking ability.In this paper， we introduce an example of finitely generated free group by using the English alphabet under some certain rules， which is called homophonic quotients of free groups， or briefly called English homophonic group. In addition， combined with the theory of matrix in linear algebra， we give a finitely generated groupSL_2 （Z）andseveralfinitely generated groups which isomorphic to the dihedral groupD_（3 ）andthesymmetric groupon 3 lettersS_3.

Key Words： Group; English homophonic group; Matrix group; Symmetric group; Dihedral group

1 引言及準備知識

群是代數學中一個最基本的代數結構，群的概念已有悠久的歷史，最早起源于19世紀初葉人們對代數方程的研究，它是阿貝爾、伽羅瓦等著名數學家對高次代數方程有無公式解問題進行探索的結果，有關群的理論被公認為是19世紀最杰出的數學成就之一[1-2]。群是一個較為抽象的概念，然而這里所謂的“抽象”并非“具體”的反義詞，它實質上是將研究對象的本質提煉出來，加以高度概括進而描述其特點。在概念教學中經常舉一些群的例子使概念具象化，在這一重要的教學環節中列舉一些較為有趣的例子會使得課堂教學更為形象而生動。該文將結合相關英語知識的學習以及線性代數中矩陣理論來給出若干有限生成群，它們都是有限生成群的基本群例。

下面給出有限生成（自由）群、等價關系以及商群等基本概念。

定義1[3]：設G是群，M是G的任一子集，則稱G的所有包含M的子群的交為由M生成的子群，記為?M?，由有限多個元素生成的群叫做有限生成群。

定義2[4]：設S為任意集合，S^（-1）=＼{x^（-1） | x∈S＼}，集合S∪S^（-1）中有限個元素x_1，x_2，…，x_n連在一起即x_1 x_2…x_n叫做一個字，用F（S）表示所有這樣的字（包括空字1）組成的集合，即

這里當n=0時，規定a_1 a_2…a_n=1。在F（S）中字x_1 x_2…x_n和y_1 y_2…y_m相等，如果n=m，且x_i=y_i，1≤?≤n，同時定義兩個字的運算為

約定對任意a∈F（S），aa^（-1）=a^（-1） a=1，且1a=a1=a。此時F（S）中每個元素均有逆元，如a的逆元為a^（-1），從而F（S）對于上述運算和約定成群，叫做集合S上的自由群，S叫做此自由群的基。如果S是有限集，則F（S）叫做有限生成自由群。

自由群有著重要的作用，每個群都是自由群的商群，每個有限生成群都是有限生成自由群的商群[4]。

定義3[4]：設A是集合，集合A×A的每個子集R叫做集合A上的一個關系，如果（a，b）∈R，便稱a和b有關系R，集合上的關系叫做等價關系如果它滿足自反性，對稱性和傳遞性。

特別地，如果A是一個乘法群，對A∕～中的元素a ?，b ?定義a ?b ?：=（ab） ?，則A關于等價關系～的商集A∕～也是一個群，稱為商群。

2 有限生成群的構造舉例

2.1 同音群的構造

在群的研究中，有限生成群是群論研究的重要對象之一。不同于以往常見的直接給出群例的方法，下面該文結合英語單詞介紹一個由英文字母表生成的群。設S是26個英文字母構成的集合，F（S）是S上的有限生成自由群。如果兩個不同的英語單詞的音標在字典里是相同的，那么就說它們是同音的。在F（S）上如下定義一個關系：單詞A和B是等價的，如果它們是同音的。例如：bee和be的發音相同，則bee=be，再由消去律，等式兩邊消去be得到e=1，這里1表示同音群F（S）的單位元。顯然英文單詞之間的同音關系滿足自反性、對稱性和傳遞性，進而是一種等價關系。令G是自由群F（S）在此等價關系下的商，稱為英文同音群[5-6]，下面考察G的結構。

眾所周知，即便是2生成元群在滿足一定的有限性條件時都可能有非常復雜的結構，那么在這樣的規定則下，在26個英文字母中有多少個等價的字母直接決定了該群的復雜程度。通過考察音標相同的詞匯[7-9]，易得以下結論：

（1）plum=plumb[pl?m] ?b=1;

（2）four=for[f??r] ?u=1;

（3）son=sun [s?n] ?o=u=1;

（4）bee=be [bi?] ?e=1;

（5）wring=ring [r??] ?w=1;

（6）hour=our[a?r] ?h=1;

（7）knew=new[nu：] ?k=1;

（8）scent=sent [sent] ?c=1;

（9）yap=yapp [j?p] ?p=1;

（10）farther=father[?fɑ?e?r] ?r=1;

（11）primmer=primer[?pr?m?] ?m=1;

（12）would=wood[w?d] ?ul=o，再由o=u=1得l=1;

（13）threw=through[θru?] ?ew=ough，再由e=o=u=w=h=1可得g=1;

（14）jeans=genes[d?i：nz] ?j=g=1;

（15）hair=hare[her] ?ir=re?i=1;

（16）dye=die[da?] ?y=i=1;

（17）band=banned[b?nd]?ne=1， 再由e=1得n=1;

（18）sea=see[si?]?a=e=1;

（19）pique=peak [pi?k] ?ique=eak， 再由i=q=e=a=k=1可得q=1;

（20）sent=cent[sent] ?s=c=1;

（21）which=witch[w?t?] ?hi=it，再由i=1可得t=1;

（22）guessed=guest [ɡest]?sed=t，再由 s=e=1可得d=t=1;

（23）pries=prize[pra?z] ?es=ze?z=s=1;

（24）profit=prophet [?prɑ?f?t]?f=phe，進一步由p=h=e =1可得f=1;

（25）由wax=whacks[w?ks]， 以及a=h=c=k=s=1得x=1;

（26）chivvy =chivy[?t??vi] ? v=1。

由上面的推理可知同音群G事實上就是以單位元為元素的群，即單位元群。

2.2 由矩陣構造的有限生成群

在學習群的例子時，一般都會提到在數域F上的全體n階可逆矩陣在矩陣乘法下構成一個矩陣群GL_n （F），稱為一般線性群，其中所有行列式為1的可逆陣組成的群SL_n （F）稱為特殊線性群。下面考察由兩個二階矩陣生成的群。

例：設Z為整數環，定義

S=（（0&1@-1&0）），T=（（1&1@0&1））

則S和T生成Z上的一個無限群，即特殊線性群SL_2 （Z）。事實上，易知T^k=（（1&k@0&amp;1）），任取SL_2 （Z）中的元素A=（（a&b@c&d）），如果cd≠0，由于矩陣A的行列式等于1，有（c，d）=1，由整數的帶余除法d=cq_1+r_1其中0≤r_1<|c|，則可對A進行如下列變換：

其中b_1=b-aq_1，進一步上式兩端右乘S得，（（a&b@c&d）） T^（〖-q〗_1 ） S=（（〖-b〗_1&a@〖-r〗_1&c））， 如果r_1≠0，則可以重復上面的步驟，因為（c，d）=1，（（a&b@c&d））總可以經過以類似上面的初等變換化為（（1&b'@0&1）），又注意到（（1&b'@0&1））=T^b'，從而任意A∈SL_2 （Z）都可以寫成有限多個S，S^（-1）和T的乘積，即SL_2 （Z）由S和T生成。

下面該文利用GL_2 （F）中的元素去構造一個群，給出一個簡單易懂的由兩個二階可逆矩陣生成的有限群。

例：令矩陣A=（（0&-1@1&-1）），B=（（1&-1@0&-1））∈GL_2 （F），現考察由A，B這兩個元素生成的群會是什么結構。

定義該群的運算為通常意義下矩陣的乘法運算，單位元為GL_2 （F）中的單位矩陣I_2。通過計算容易得到：

即A，B的階分別是3和2，且A，B滿足關系：ABA=B，即B^（-1） AB=A^（-1）。從而該文得到由A，B生成的群是這樣一個6階群?A，B?={I_2 〖，A，A〗^2，B，AB，A^2 B=BA}。通過考察二面體群的結構容易知道該群同構于二面體群D_3。此外，較為熟知的三次對稱群S_3的生成元a=（123），b=（12）也滿足a^3=1，b^2=1，且b^（-1） ab=a^（-1），因此?A，B?和S_3也是同構的，在同構的意義下它們是相同的。

事實上，三次對稱群S_3的矩陣表示形式是多樣的，如根據二面體群D_3的幾何意義，S_3可以同構于二階矩陣M，N生成的群?M，N?，其中

3 結語

在教學過程中，結合數學內外的知識，將一些有趣味的數學活動滲透到抽象代數的教學過程中，可以讓學生在潛移默化中體會抽象的數學思維方式，同時對于激發學生的學習興趣以及提升課堂有效性方面都要重要的意義。

參考文獻

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[7]劉明旋.英文同音字手冊[M].北京：外文出版社，2000.

[8]約翰·辛克萊.同音異義詞[M].張少伯，譯.北京：商務印書館，2020.

[9]胡俊美，胡作玄.美國代數學的崛起——以群論的萌起與發展為視角[J].自然辯證法通訊，2016，38（6）：68-74.

基金項目：重慶理工大學本科教育教學改革研究項目（項目編號：2018QN06）。

作者簡介：霍麗君（1983—），女，博士，講師，主要從事代數學研究。