《財(cái)務(wù)管理》教學(xué)中一種改進(jìn)的插值法

■ 東莞理工學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 謝坤螢 李陽(yáng)陽(yáng) 周潤(rùn)書(shū)

由王化成、荊新、劉俊彥教授主編、中國(guó)人民大學(xué)出版社出版的《財(cái)務(wù)管理學(xué)》(第9版）是一本優(yōu)秀教材。該教材榮獲國(guó)家級(jí)優(yōu)秀教學(xué)成果，并多次入選國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材。但教材中也存在可以改進(jìn)的內(nèi)容，例如，在教材第36～37頁(yè)的例2～例12中的插值法就可以進(jìn)行改進(jìn)。

我們研究原教材中的解題理論，得出該教材中插值法是基于將曲線近似看成線性函數(shù)的假設(shè)來(lái)求解利率的。根據(jù)相似三角形的數(shù)學(xué)原理，提出了下面改進(jìn)的插值法。

1 原教材內(nèi)容

現(xiàn)在向銀行存入5000元，在利率為多少時(shí)，才能保證在今后10年中每年得到750元?

查年金現(xiàn)值系數(shù)表，當(dāng)利率為8%時(shí)，系數(shù)6.710；當(dāng)利率為9%時(shí)，系數(shù)為6.418。所以利率應(yīng)該在8%～9%之間，假設(shè)x為超過(guò)8%的利息率，則用插值法計(jì)算x的值如下:

原教材解法思路為以下五步:

第一步:根據(jù)題意，計(jì)算出所求利率i對(duì)應(yīng)的年金現(xiàn)值系數(shù)為6.667。

第二步:查年金系數(shù)表，得出利率i的年金現(xiàn)值系數(shù)6.667介于利率8%的年金現(xiàn)值系數(shù)6.710和利率9%的年金現(xiàn)值系數(shù)6.148之間，因此確定所求利率i介于8%和9%。

第三步:將9%和8%的年金現(xiàn)值系數(shù)進(jìn)行相減，得出1%利率的變化值。將所求的i和8%的年金現(xiàn)值系數(shù)進(jìn)行相減，得出變化“x%”利率的年金現(xiàn)值系數(shù)變化值。

第四步:根據(jù)利率變化和年金現(xiàn)值系數(shù)變化等比例的關(guān)系，計(jì)算出“x%”。

第五步:將利率8%加上變化利率x%得出所求利率i。

可以看出:教材的插值法涉及多次算差值的計(jì)算，以及最后還需要進(jìn)行加和才能得出結(jié)果，過(guò)程繁瑣，容易出錯(cuò)，初學(xué)者也較難理解各個(gè)過(guò)程的差值變化。

2 插值法的基本原理

插值法是根據(jù)線性函數(shù)設(shè)置的一種計(jì)算方法，雖然貨幣時(shí)間價(jià)值計(jì)算是非線性函數(shù)，但是在求解時(shí)，我們可以把兩個(gè)臨界值之間的曲線近似地看成直線。在坐標(biāo)軸上，x軸表示利率，y軸表示年金現(xiàn)值系數(shù)，這樣就將求解利率的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)值的問(wèn)題。如原教材例題就是將兩對(duì)已知數(shù)據(jù)視為兩點(diǎn)(8%，6.667）(9%，6.418），確定成一條直線。

圖1 原教材插值法原理圖

圖2 改進(jìn)插值法原理圖

改進(jìn)的插值法就是將相似三角形的性質(zhì)融入進(jìn)運(yùn)算之中，極大地簡(jiǎn)化了運(yùn)算，更好地體現(xiàn)了利率與年金現(xiàn)值系數(shù)間的關(guān)系，也使整體思路變得更加清晰。

3 改進(jìn)插值法在原教材例題的應(yīng)用

現(xiàn)在向銀行存入5000元，在利率為多少時(shí)，才能保證在今后10年中每年得到750元?

查年金現(xiàn)值系數(shù)表，當(dāng)利率為8%時(shí)，系數(shù)6.710；當(dāng)利率為9%時(shí)，系數(shù)為6.418。所以利率應(yīng)該在8%～9%之間，假設(shè)x為超過(guò)8%的利息率，則用插值法計(jì)算x的值如下:

通過(guò)對(duì)比不難看出，改進(jìn)的插值法運(yùn)用相似三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例的性質(zhì)，運(yùn)用等比例的關(guān)系，求解出所要求的利率i，不需要像原有插值法一樣，先計(jì)算利率8%變化到利率i的值x和利率8%變化到9%的值的比率等于年金現(xiàn)值系數(shù)6.710變化到6.667的值和6.710變化到6.418的值的比率，然后在利率8%的基礎(chǔ)上加上所求的x，最終求出利率i。

改進(jìn)差值法從未知數(shù)上看，所求即為所設(shè)，更加方便和易于理解，同時(shí)也避免學(xué)生在采用原有插值法計(jì)算時(shí)，算出了變化利率值，卻忽略了最終的加和計(jì)算。從運(yùn)算上看，更方便快捷，易于計(jì)算。所以，該種方法容易被學(xué)生理解和掌握，學(xué)生運(yùn)用這種改進(jìn)方法時(shí)不容易出錯(cuò)。改進(jìn)插值法的思想與學(xué)生已學(xué)的初等數(shù)學(xué)中的相似三角形有著密切的聯(lián)系，能夠讓教學(xué)達(dá)到初學(xué)易接受，學(xué)完印象深的效果，同時(shí)還能做到所學(xué)知識(shí)運(yùn)用在新學(xué)知識(shí)上，讓學(xué)生感受到知識(shí)的樂(lè)趣。