永磁球形電機Stribeck摩擦模型參數辨識

李國麗， 李浩霖， 王群京， 琚斌， 文彥

(1.安徽大學 電氣工程與自動化學院， 安徽 合肥 230601； 2.安徽大學 高節能電機及控制技術國家地方聯合實驗室，安徽 合肥 230601； 3.安徽大學 工業節電與用電安全安徽省重點實驗室，安徽 合肥 230601； 4.安徽大學 工業節電與電能質量控制安徽省級協同創新中心，安徽 合肥 230601； 5.安徽大學 互聯網學院，安徽 合肥 230601)

0 引 言

隨著現代工業技術的不斷發展，執行多自由度高精度運動的裝置在機器人、工業制造、航空航天等領域得到了廣泛應用[1-2]。現有多自由度運動裝置多由傳統單自由度運動裝置通過復雜的傳動機構組合而成，存在機械結構復雜、轉動慣量大、定位精度低等問題[3]。因此，能完成多自由度運動的球形電機受到國內外學者的廣泛關注。在研究過程中產生了感應式、永磁式、超聲波式等多種原理的球形電機。

本文針對永磁式球形電機開展研究。在對球形電機進行高精度軌跡跟蹤控制時，轉子會出現爬坡或抖動現象，造成電機動態性能下降。考慮電機本體設計和結構特點，非線性摩擦轉矩是造成以上現象的主要原因。當電機進行高速跟蹤時，摩擦轉矩與轉速間表現出線性關系；當電機進行低速跟蹤時，摩擦轉矩與轉速間表現出較強的非線性關系。因此，開展球形電機摩擦轉矩建模對電機的跟蹤控制、摩擦補償和結構設計有重要意義[4]。

利用摩擦模型對摩擦擾動進行前饋補償是提高系統跟蹤控制精度的常用方法之一[5]。現有靜態摩擦轉矩模型有庫倫模型[6]、Stribeck模型[7-8]、Armstrong模型[9]等，在Stribeck模型中摩擦轉矩被表示為速度的函數，可以進行離線參數辨識，模型結構簡單；動態摩擦轉矩模型有LuGre模型[10-11]、Bristle模型、Dahl模型等，模型中參數動態變化，能適應更加復雜的擾動環境。針對單自由度運動裝置，文獻[7,12]在實驗的基礎上對模型參數進行逐個辨識，建立起機器人和伺服系統的Stribeck摩擦轉矩模型；文獻[5,13-14]在建立Stribeck模型的基礎上，提出滑模變結構控制、模糊滑模控制和自適應控制實現對系統摩擦轉矩的補償。為實現單自由度運動裝置在復雜工況下的摩擦轉矩建模，兼顧摩擦轉矩的靜態和動態特性，文獻[11,15]提出了機電系統的LuGre摩擦轉矩模型并完成了參數的在線辨識；文獻[1,16-17] 基于狀態觀測器，在LuGre模型的基礎上采用名義模型和模糊逼近的控制方案實現了系統的摩擦補償；為實現復雜外部環境下的高精度摩擦力矩補償，文獻[18-19]對LuGre模型進行改進，模型中加入溫度和負載項，通過實驗驗證了改進效果。

以上針對單自由度運動裝置的摩擦模型研究中，Stribeck摩擦模型簡潔且低速性能良好，LuGre模型具有良好的適應性，兩者均可應用于多自由度運動裝置。目前針對多自由度永磁式球形電機的摩擦轉矩模型研究尚處在初期階段。研究人員針對球形電機，開展了基于庫倫摩擦模型[20]、Stribeck摩擦模型[21]、LuGre摩擦模型[22]的摩擦補償，尚未對模型中的參數進行辨識。其中Stribeck摩擦模型包含庫倫摩擦模型，同時是LuGre模型的研究基礎。

因此，本文分析永磁式球形電機低速軌跡跟蹤控制的特性，選擇參數精簡且低速性能好的Stribeck摩擦模型在多個自由度上進行建模。Stribeck摩擦模型中包含了最大靜摩擦、庫倫摩擦和粘滯摩擦階段，能真實反映系統低速運動控制過程中的摩擦轉矩變化。將球形電機的Stribeck摩擦模型分解至各自由度方向完成參數辨識。首先，通過恒速摩擦轉矩檢測實驗，獲取電機的轉速-摩擦轉矩數據；其次，采用粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)對數據進行參數辨識得到電機的Stribeck模型；最后，將辨識得到的模型與再次恒速摩擦轉矩檢測實驗結果進行比較，驗證參數辨識方法的準確性和有效性。

1 轉子動力學方程

永磁式球形電機的結構如圖1所示。轉子上平行于赤道面對稱嵌入4層釹鐵硼(NdFeB)永磁體。圓柱狀永磁體每層10個，層間夾角30°，列間夾角36°，相鄰永磁體極性交叉放置；定子上平行于赤道面對稱嵌入2層線圈，每層12個，層間夾角44°，列間夾角30°；定子下半部分嵌入2層共13個支撐桿。

圖1 永磁球形電機Fig.1 Permanent-magnet spherical motor

為描述轉子與定子間的相對運動，分別定義固定的定子坐標系O-XYZ和隨動的轉子坐標系o-uvw如圖2所示。轉子的每次運動可以分解為相對于定子坐標系的三次坐標旋轉。首先，O-XYZ繞u1軸旋轉α角度得到o-u1v1w1坐標系；其次，繞v1軸旋轉β角度得到o-u2v2w2坐標系；最后，繞w2軸旋轉γ角度得到轉子坐標系o-uvw。轉子在三次坐標旋轉中的角位移向量為θi=[αβγ]T，其中θu=α、θv=β、θw=γ。

圖2 定子坐標系O-XYZ和轉子坐標系o-uvwFig.2 Stator coordinate system O-XYZ and rotor coordinate system o-uvw

將上述三次坐標旋轉表示為矩陣形式，定子坐標系下任意一點變換至轉子坐標系時的變換矩陣為：

(1)

將轉子視為旋轉中心不變且形心與質心重合的剛體系統，拉格朗日能量法的動力學方程為

(2)

(3)

(4)

根據式(4)和動量矩定理，轉子相對定子坐標系O-XYZ的總動能為

(5)

根據式(1)～式(5)，可以將考慮摩擦轉矩的轉子動力學模型表示為

(6)

永磁式球形電機在空間內完成三自由度運動，將Stribeck摩擦模型應用于u、v、w三個軸向方向。摩擦力矩與轉速之間的穩態對應關系[24]表示為

(7)

式中：Tc是庫倫摩擦轉矩；Tb是最大靜摩擦轉矩；ωs是Stribeck切換速度；B是粘滯摩擦系數。以上參數在3個自由度上構成R3向量；δ是經驗參數，一般取0.5～2[25]；符號函數sgn表達式為：

(8)

單自由度下的Stribeck模型曲線如圖3所示。聯立式(6)和式(7)，得到基于Stribeck摩擦模型的電機動力學模型為

(9)

圖3 Stribeck摩擦轉矩模型曲線Fig.3 Stribeck friction torque model curve

2 Stribeck摩擦轉矩實驗

2.1 實驗原理

永磁式球形電機在空間內完成三自由度運動。轉子運動的角位移向量可以按式(4)所示矩陣變換至定子坐標系O-XYZ中，所以Stribeck摩擦轉矩實驗在O-XYZ坐標系中完成，僅需建立O-XYZ坐標系中3個軸向方向的Stribeck模型。

(10)

由上式可知，當轉子完成恒定轉速的定軸轉動時，轉子所受摩擦轉矩和控制轉矩是一對相等的轉矩。步進電機提供控制轉矩，拖動轉子完成恒定轉速運動；通過動態轉矩傳感器檢測控制轉矩，即獲得摩擦轉矩。實驗原理如圖4所示，設計圖5所示臺架。

圖4 恒速摩擦轉矩檢測實驗原理Fig.4 Principle of constant speed tracking experiment

圖5 實驗臺架Fig.5 Experimental platform

2.2 實驗臺架設計

由于圖1所示球形電機結構在X和Y軸方向上具有對稱性，所以用水平方向設備完成X和Y軸方向的實驗，用豎直方向設備完成Z軸方向的實驗。

實驗臺架如圖5所示，動力電機為57型步進電機。為實現低速輸出，套用100減速比的行星減速機，可以實現0.01～300 r/min范圍內的恒轉速輸出；轉矩檢測使用DYN-200型動態轉矩傳感器，可以實現0～5 N·m范圍內的轉矩檢測。相關參數如表1所示。

表1 步進電機與動態轉矩傳感器參數

在水平方向，通過旋轉支架連接球形電機轉子輸出軸，拖動轉子完成恒速摩擦轉矩檢測實驗。步進電機、轉矩傳感器、旋轉支架的旋轉軸同軸且延長線過轉子球心。旋轉支架是一個不完整的圓環，需要對其進行配重，實現旋轉支架轉動時的動平衡。在豎直方向，用聯軸器連接轉矩傳感器與球形電機輸出軸，步進電機、轉矩傳感器的旋轉軸與球形電機輸出軸同軸。基于以上標準設計實驗臺架，在水平方向和豎直方向分別完成X、Y、Z軸3個自由度方向的恒速摩擦轉矩檢測實驗，分別檢測多個恒定速度下的摩擦轉矩。

2.3 實驗研究

表2 預實驗轉速序列

圖6 Z軸方向轉速-摩擦轉矩預實驗曲線Fig.6 Z-axis speed-friction torque preliminary test curve

表3 轉速序列Ⅰ

在Z軸方向進行恒速摩擦轉矩檢測實驗時，動態轉矩傳感器檢測端連接球形電機輸出軸，無需考慮旋轉支架摩擦項；在X和Y軸方向，動態轉矩傳感器檢測端通過旋轉支架連接至球形電機輸出軸，需要考慮旋轉支架的摩擦項。在X和Y軸方向僅拖動旋轉支架分別在轉速序列Ⅰ中的轉速下恒速運轉，得到如圖7(a)和(b)所示設備摩擦轉矩序列。

圖7 X、Y、Z軸方向速度-摩擦轉矩實驗數據與參數辨識曲線Fig.7 X,Y,Z axis speed-friction torque experimental data and parameter identification curve

3 參數辨識與實驗驗證

采用PSO算法對圖7所示Stribeck摩擦實驗數據進行參數辨識，可以得到Stribeck摩擦模型的參數辨識曲線。再次實驗，分析實驗數據與參數辨識曲線間的誤差，驗證參數辨識效果。參數辨識與實驗驗證流程如圖8所示。

圖8 基于粒子群算法的參數辨識與驗證流程Fig.8 Parameter identification and experimental verification based on particle swarm optimization

3.1 參數辨識方法

PSO算法是進化計算方法的分支，以群集為單位通過迭代的方式尋取最優解[27]。在PSO算法中，由M個粒子組成的群集在D維目標搜索空間內搜索最優解，每個粒子代表潛在最優解。隨機初始化得到初始群集；定義適應度函數fm計算每個粒子的適應度值，以此確定粒子的優劣；粒子根據適應度值與自身飛行經驗比較，得到第i個粒子的位置最優解，保存為個體極值Pib；根據適應度值與群集飛行經驗比較，得到群集的位置最優解，保存為全局極值Pgb；群集中的每個粒子根據Pib和Pgb更新自身位置和速度，更新方法如下：

xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)；

(11)

vi(t+1)=ρvi(t)+c1r1[Pib(t)-xi(t)]+

c2r2[Pgb(t)-xi(t)]。

(12)

式中：學習因子c1=c2=1.5，分別表示粒子的自我學習能力和社會共享能力；r1和r2是[0,1]隨機數；xi(t)和vi(t)是當前第i個粒子的位置與速度；xi(t+1)和vi(t+1)是下一時刻的位置與速度；慣性權值ρ體現粒子的自信程度，取值較大時全局搜索能力強，局部搜索能力弱。為了兼顧全局搜索與局部搜索，在ρ∈[0,1.4]區間內采用更為合理的線性遞減權值策略[28-29]，G表示最大進化代數，慣性權值表示為

(13)

在式(9)的電機動力學模型中，單個自由度上需要辨識的參數有Tc、Tb、ωs、B。在正負兩個旋轉方向可以得到參數辨識的粒子位置為

(14)

(15)

辨識誤差定義為

(16)

個體適應度函數定義為

(17)

步驟1：在動力學參數范圍內隨機初始化粒子種群初始位置和速度，種群規模M=100；規定參數辨識搜索空間維度D=8；最大辨識次數G=20 000。

步驟2：根據式(17)評價種群中粒子的適應度值fm，辨識誤差越小則適應度越強。

步驟3：根據適應度值更新個體極值Pib和全局極值Pgb，保留相對較好的參數辨識結果。

步驟4：根據式(11)和式(12)更新粒子的位置和速度，形成新的待辨識參數。

步驟5：達到最大辨識次數，提取全局極值Pgb對應的粒子作為最佳辨識值。

3.2 參數辨識結果

基于Stribeck模型，通過PSO算法對X、Y、Z軸方向的實驗數據進行參數辨識，可以得到三組參數如表4所示。

表4 辨識得到的Stribeck模型參數

圖9 X、Y、Z軸方向速度-摩擦轉矩驗證實驗數據與參數辨識曲線Fig.9 X,Y,Z axis speed-friction torque verification experimental data and parameter identification curve

3.3 參數辨識結果驗證實驗

表5 轉速序列Ⅱ

在驗證實驗中，摩擦轉矩實驗數據分布在參數辨識曲線附近。計算參數辨識曲線與摩擦轉矩實驗數據間的誤差序列如圖10所示。產生的誤差多集中在Stribeck曲線的負斜率階段，誤差分布在0～6%之間。對誤差求平均值，得到X、Y、Z軸方向的平均誤差分別是2.07%、1.62%、1.57%，誤差分布在合理區間內，可以驗證參數辨識結果的準確性。

圖10 X、Y、Z軸方向驗證參數辨識曲線與實驗數據間誤差序列Fig.10 Error sequence between X,Y,Z axis direction verification parameter identification curve and experimental data

4 結 論

本文針對永磁式球形電機，提出一種用粒子群算法進行尋優的Stribeck摩擦模型的參數辨識方法，設計并搭建了恒速摩擦轉矩檢測實驗臺架。通過在3個自由度方向上對球形電機進行恒速摩擦轉矩檢測實驗，獲取了三組摩擦轉矩數據并完成參數辨識，最終得到球形電機Stribeck摩擦模型參數，并通過再次恒速摩擦轉矩檢測實驗驗證了參數辨識結果的有效性。結果表明，參數辨識曲線與實驗數據間平均誤差保持在2.5%以內。造成誤差的主要原因包括3個方面：球形電機結構、實驗設備精度、裝配工藝：

1)在球形電機結構方面，電機的轉子與支撐桿之間為滾動接觸，接觸過程中支撐桿上PTFE(特氟龍)材質的滾珠存在微量的非線性彈塑性變形，是誤差的成因之一。此外，獲取實驗數據時需要對表3中轉速序列Ⅰ的轉速逐個進行恒速摩擦轉矩檢測實驗，實驗會持續一段時間。在此期間內，由于電機連續運轉導致PTFE(特氟龍)滾珠輕微發熱而產生熱膨脹，以及環境溫度和濕度的變化，均可能導致電機轉子與支撐桿間的接觸狀態發生變化，造成實驗條件變化，從而導致誤差；

2)在實驗設備精度方面：57型步進電機的步距角為1.8°，經過NPF-60型精密行星減速機減速后，行星減速機輸出軸上的步距角為0.018°。雖然最終實際步距角得以減小，但是在低速狀態下依然會導致恒速摩擦轉矩檢測實驗中存在不可觀測的爬坡現象，影響恒速運行，是誤差的成因之一。所以圖10中低速階段的誤差明顯大于高速階段；行星減速機的齒輪采用碳氮共滲工藝后二次精刮，但是裝配后依然存在0～7弧分的行程間隙，造成實驗過程中的誤差；DYN-200型轉矩傳感器自身存在測量精度方面的誤差，根據出廠前的加載與卸載實驗數據，誤差范圍是0～1 mN·m，最終造成實驗數據誤差；

3)在裝配工藝方面：在如圖5所示實驗臺架中，在豎直方向，轉矩傳感器的檢測端通過聯軸器直接與電機輸出軸連接，因此不存在傳動誤差。在水平方向，轉矩傳感器的檢測端需要通過旋轉支架與電機輸出軸連接，旋轉支架裝配時的同軸度公差會導致轉矩傳感器檢測到來自旋轉支架的徑向轉矩，導致誤差產生。所以從3.3節的誤差平均值可以得到，X和Y軸方向的參數辨識誤差大于Z軸方向；在裝配過程中，步進電機、行星減速機、轉矩傳感器需要同軸安裝，裝配工藝導致的同軸度公差會導致設備間存在徑向相對位移，導致誤差產生。

未來的研究中，針對誤差的成因，在電機設計、材料選型、設備選型、實驗臺架加工與裝配工藝方面進行改進，進一步減小誤差。

最終辨識得到的永磁球形電機摩擦轉矩模型參數可以應用于電機高精度軌跡跟蹤控制中，實現對摩擦轉矩的前饋補償。