聚焦高考真題 提升創(chuàng)新思維

福建 徐祖德

創(chuàng)新是一個民族的靈魂，創(chuàng)新能力是社會經(jīng)濟文化發(fā)展的重要助推力，也是學(xué)生在青少年階段集中體現(xiàn)的特征性能力.高考數(shù)學(xué)試題對創(chuàng)新能力考查主要體現(xiàn)在對創(chuàng)新思維的要求，增強試題的開放性.一方面，要求學(xué)生能夠打破常規(guī)思路，主動思考，積極探索；另一方面，要求學(xué)生能夠?qū)⒍喾N思維融合，創(chuàng)造性地解決問題.

創(chuàng)新思維的基礎(chǔ)是邏輯思維，不同于一般思維的常規(guī)性、單向性和單一性，它體現(xiàn)的是思維的創(chuàng)見性、發(fā)散性和綜合性.創(chuàng)新思維是一種求異的思維活動，以求異而非求同為其價值導(dǎo)向，它要求無論是在思考問題的方式、方法上，還是在思維活動的結(jié)果方面，都要與傳統(tǒng)的思維活動有著不同的新穎之處.

高考試題承載著引導(dǎo)教學(xué)的功能，作為重要的教學(xué)素材，試題的價值一直被教師在教學(xué)中深入思考、充分挖掘，高考真題對引領(lǐng)、把握教學(xué)導(dǎo)向起著重要作用.在教學(xué)中如何用好高考真題進行有效的教學(xué)設(shè)計和組織，提升學(xué)生創(chuàng)新思維，結(jié)合筆者的教學(xué)實踐談?wù)剮c想法.

一、關(guān)注情境，激發(fā)主動

余文森教授認為“情境之于知識，猶如湯之于鹽，鹽要溶于湯中才能被吸收，知識也要融入情境之中，才能顯示活力和美感，才能被學(xué)生理解、消化、吸收”.思維主體的主動性是創(chuàng)新思維的重要驅(qū)動因素，在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生完成某項活動時，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫常ぐl(fā)學(xué)生的主動性，喚醒其創(chuàng)新意識，驅(qū)動其自身的行動，鼓勵其付出努力和實踐，引導(dǎo)其逐漸形成良好的創(chuàng)造能力.

本案例利用優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的民間剪紙藝術(shù)情境，有機滲透數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，鼓勵學(xué)生在主動探索中，體驗從特殊到一般的探索數(shù)學(xué)問題的過程，形式新穎，取材真實情境，解決實際問題，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

二、尊重獨創(chuàng)，鼓勵求異

在新思想、新觀點和新方法的發(fā)現(xiàn)上，創(chuàng)新思維明顯表現(xiàn)出獨創(chuàng)性特征，因其建立在獨立思考的基礎(chǔ)之上，并表現(xiàn)出其中的差異性.因此教學(xué)中要鼓勵學(xué)生不受已經(jīng)形成的思維定式和思維慣性的禁錮，打破思維界限，創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生有機會對相關(guān)知識的理解和應(yīng)用提出自己的見解的條件，引導(dǎo)學(xué)生站在已有知識系統(tǒng)的基礎(chǔ)之上，尊重學(xué)生提出合理的新的突破點，欣賞學(xué)生找到的解決問題的新思路，激發(fā)學(xué)生從多角度認識問題，深化理解水平，展示其創(chuàng)新思維的求異性.

【案例2】(2021·新高考Ⅰ卷· 7)若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則

( )

A.eb

B.ea

C.0

D.0

常規(guī)解法：

在曲線y=ex上任取一點P(t,et)，對函數(shù)y=ex求導(dǎo)得y′=ex，所以y=ex在點P處的切線方程為y-et=et(x-t)，即y=etx+(1-t)et，

由題意可知，點(a,b)在直線y=etx+(1-t)et上，可得b=aet+(1-t)et=(a+1-t)et，

令f(t)=(a+1-t)et，則f′(t)=(a-t)et，

當(dāng)t0，此時函數(shù)f(t)在(-∞,a)上單調(diào)遞增；

當(dāng)t>a時，f′(t)<0，此時函數(shù)f(t)在(a,+∞)上單調(diào)遞減，

所以f(t)max=f(a)=ea，

由題意可知，直線y=b與曲線y=f(t)的圖象有兩個交點，則b

當(dāng)t0，當(dāng)t>a+1時，f(t)<0，作出函數(shù)f(t)的圖象如圖所示，

當(dāng)0

創(chuàng)新解法：

畫出函數(shù)y=ex的圖象如圖所示，根據(jù)直觀圖即可判定點(a,b)在曲線下方和x軸上方時才可以作出兩條切線，由此可知0

題目設(shè)置情境是學(xué)生熟悉的，針對本案例，教師可以讓學(xué)生直接運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出切線方程，再利用點在切線上轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個交點問題，這有利于學(xué)生掌握通性通法.然而，教師能否在教學(xué)中抓住問題的本質(zhì)，幫助學(xué)生尋求簡化的解決思路呢？可以的！本案例的創(chuàng)新解法就是通過發(fā)現(xiàn)并利用圖象的特征，大幅度減少了運算量，達到快速求解的目的.在教學(xué)中應(yīng)該鼓勵學(xué)生尋求創(chuàng)新，對一道題目研究的越充分，學(xué)生從中受到的啟發(fā)就越多，創(chuàng)新思維就越強，學(xué)習(xí)印象就越深刻.

三、拓展思維，注重發(fā)散

發(fā)散性是指在創(chuàng)新思維的形成過程中將思維客體的相關(guān)要素進行聯(lián)系.教師可以在教學(xué)設(shè)計中指導(dǎo)學(xué)生進行發(fā)散性思維訓(xùn)練，讓學(xué)生擴展思考和討論某一問題的條件和結(jié)論，并結(jié)合相關(guān)知識，舉一反三，深入研究其本質(zhì)，從而理解問題.發(fā)散性思維可分為橫向發(fā)散思維和縱向發(fā)散思維.橫向發(fā)散思維主要包含了對一個問題的理解，帶動相似問題的理解和解決，并找出其中的共性，得出其本質(zhì)規(guī)律.縱向發(fā)散思維是指將一個簡單的問題進行深化，在條件進一步深入的情況下，提出新的設(shè)想，分析新出現(xiàn)的問題，并思考其解決辦法，也就是要大膽懷疑，精心求證.總之，發(fā)散性思維就是將一個問題進行靈活多樣的發(fā)散思考，從不同的角度來思考同一個問題，將其融會貫通.

(1)求C的方程；

(2)0

試題解析：

本題主要考查雙曲線的定義及其幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系、韋達定理等內(nèi)容，能力層面突出考查學(xué)生的推理論證能力、運算求解能力以及綜合運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，側(cè)重考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題分兩問，梯度明顯，第(1)問比較簡單，注意自變量的范圍即可；第(2)問，可以先將直線方程與曲線方程聯(lián)立，再結(jié)合韋達定理表示弦長，進而利用|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|轉(zhuǎn)化為兩直線斜率的關(guān)系，求得結(jié)果.

反思第(2)問的解題過程及結(jié)果來看，若點T所在直線換成x=m上，直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和又如何？若將雙曲線一般化，直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和又會是多少？若將雙曲線改為橢圓或拋物線，結(jié)論是否有變化？

通過以上的發(fā)散性思維思考與訓(xùn)練，可以得到如下統(tǒng)一結(jié)論：對于任意圓錐曲線，曲線上四點共圓的充要條件是其中兩點連線的斜率與另外兩點連線的斜率之和為零.

四、關(guān)注綜合，注重整體

關(guān)注綜合性是指要在教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生能夠正確處理整體和個體的關(guān)系.學(xué)生不僅要解決個體問題，更要從整體上思考問題的來龍去脈，即要能夠挖掘表現(xiàn)形式不同但實質(zhì)相同的問題，在解決一個問題的同時能解決一系列問題.教師在教學(xué)中要正確處理模式化和創(chuàng)新之間的關(guān)系，結(jié)合學(xué)生實際的認知水平，從各種信息中提煉出有用的條件，將其歸納、整理，進行深層的挖掘和分析，并總結(jié)反思分析和解決問題的思維過程，使學(xué)科的重點知識、技能方法成為學(xué)生分析、解答問題的有效工具，從而達到提升學(xué)生創(chuàng)新思維發(fā)展的目的.

【案例4】(2021·新高考Ⅰ卷·22)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

試題解析：

導(dǎo)數(shù)教學(xué)中有這樣的一種套路：先求導(dǎo)，再解方程找零點，確定單調(diào)區(qū)間比較大小，實在不行二次求導(dǎo).這樣機械記憶的方法，雖然有對系列問題的思考，但是忽略了問題本質(zhì)，只是在教導(dǎo)學(xué)生片面形式記步驟.

在本案例中，如果還利用這樣的求導(dǎo)方法，學(xué)生是很難完成作為壓軸題的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的.這時候就要學(xué)會整體思考.王雅琪老師曾指出，學(xué)生對導(dǎo)數(shù)問題的解答一般要經(jīng)歷四個環(huán)節(jié)：分析問題、構(gòu)建函數(shù)、研究函數(shù)、解決問題.學(xué)生面對問題，首先是弄明白要干什么，要解決的問題是什么，或更高一點，它能轉(zhuǎn)化成什么問題；接下來是思考為了解決上面的問題，有可能用到的函數(shù)是什么，學(xué)生要根據(jù)問題構(gòu)建恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)意識和基本方法.導(dǎo)數(shù)的考查不只停留在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的層面，要能夠利用剛構(gòu)建的函數(shù)性質(zhì)去解決問題.認清這類問題的本質(zhì)，再回頭看上面的第(2)問，就明白了如何通過構(gòu)建函數(shù)解決問題了.

第(2)問的解法：

因為f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)max=f(1)=1，且f(e)=0，

不妨令x1∈(0,1)，x2∈(1,e)，則2-x1>1，

先證2

即證x2>2-x1，

即證f(x2)=f(x1)

則h′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)]>0，

所以h(x)

因此2

同理，要證x1+x2

即證f(x2)=f(x1)

則φ′(x)=-ln[x(e-x)]，令φ′(x0)=0，

x∈(0,x0)，φ′(x)>0，x∈(x0，1)，φ′(x)<0，

又x>0，f(x)>0，且f(e)=0，故x→0，φ(0)>0，φ(1)=f(1)-f(e-1)>0，

所以φ(x)>0恒成立，x1+x2