基于發(fā)展數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的解題教學(xué)探討

廣東 陳應(yīng)全

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)中指出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，其中數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)作為六大核心素養(yǎng)之一，它主要表現(xiàn)：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結(jié)果.數(shù)學(xué)運算貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，是各個階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須具備的一項基本技能和核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)運算的準(zhǔn)確性、簡潔性直接影響到學(xué)生數(shù)學(xué)成績的高低.因此，如何有效地發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)是作為一線教師非常值得探討的重要課題.

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課堂的重要課型之一，教師通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分析問題和解決問題的過程，達到鞏固數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)思維能力、滲透數(shù)學(xué)思想方法的目的.在此過程中，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)自然也成為解題教學(xué)的潛在收獲.可是，這當(dāng)中收獲有多大呢？事實上，不少老師在解題教學(xué)中仍然習(xí)慣采用“教師示范+學(xué)生模仿”的模式，注重解題模式的識別，淡化對學(xué)生的引導(dǎo)和啟發(fā)等，使得解題教學(xué)未能達到預(yù)期的教學(xué)效果.可見，教師教學(xué)觀念落后，解題教學(xué)策略使用不當(dāng)，對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的收效甚微.下面筆者結(jié)合典型案例探討基于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的解題教學(xué)，以期拋磚引玉.

1 教學(xué)探討

1.1 確認運算對象,奠定運算基礎(chǔ)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》中數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)水平二指出：能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運算對象，提出運算問題.可見，確定運算對象是探究運算思路的前提.在解題教學(xué)中，教師要有針對性地選取在關(guān)聯(lián)情境中如何確定運算對象的例題，并引導(dǎo)學(xué)生分析題意并確認運算對象，為學(xué)生提出數(shù)學(xué)運算問題奠定基礎(chǔ).

【例1】已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0，證明：當(dāng)-10時，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點，求a.

可見，在較復(fù)雜的關(guān)聯(lián)情境中確認合適的運算對象，使得表面看起來非常困難的問題都會迎刃而解.因此，在解題教學(xué)中，教師可以通過結(jié)合運算情境引導(dǎo)學(xué)生理解運算對象所在的知識體系，多角度嘗試，實現(xiàn)運算對象的多元表征，讓學(xué)生領(lǐng)悟選取不同的運算對象使得其解題過程的繁簡程度是迥然不同的，旨在培養(yǎng)學(xué)生在關(guān)聯(lián)情境中確定合適運算對象的意識，掌握確定運算對象的基本策略，這對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的作用是巨大的.

1.2 明辨運算思維，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)水平一指出：在運算過程中，能夠體會運算法則的意義和作用，能夠運算驗證簡單的數(shù)學(xué)結(jié)論.因此，在解題教學(xué)中，教師不能只看運算結(jié)果而忽略數(shù)學(xué)運算過程，必須要讓學(xué)生明辨數(shù)學(xué)運算思維的合理性，旨在把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).

這是2019年人教版A普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊第229頁的一道習(xí)題.在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生有如下的做法:

所以cosC=-cos(A+B)

=-(cosAcosB-sinAsinB)

【例3】已知1≤a+b≤3，-1≤a-b≤2，則z=3a-b的取值范圍是________.

對于本題，很多學(xué)生有如下做法：

所以-2≤3a-b≤7.

以上解法看似無懈可擊，其實忽略了一個重要的隱含條件：a,b之間存在相互制約的關(guān)系，導(dǎo)致求得的范圍過大.事實上，由于a,b間存在制約關(guān)系，可以將a+b,a-b看成一個整體并找出3a-b與a+b，a-b的關(guān)系，從而求得3a-b的范圍為[-1,7].

從以上兩個例子可以看出，學(xué)生運算思維方式存在偏差，往往會出現(xiàn)算不明、理不清的情況導(dǎo)致解答過程有誤.因此，在解題教學(xué)中，我們務(wù)必要將數(shù)學(xué)運算的道理講清楚，讓學(xué)生明辨自己的思維方式是否有不恰當(dāng)之處，幫助學(xué)生養(yǎng)成獨立思考的習(xí)慣，從而達到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

1.3 厘清運算路徑，優(yōu)化運算思路

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平二要求：能夠針對運算問題，合理選擇運算方法、設(shè)計運算程序，解決問題.可見，運算對象的確定與運算方法的選擇是運算素養(yǎng)中的重要環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的高低主要體現(xiàn)不在于運算本身，而是在運算對象的確定與運算路徑的設(shè)計.章建躍教授在《中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題》中提出：“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)是進行新課改有效教學(xué)的三個大基石”.因此，在解題教學(xué)中，教師要對教學(xué)設(shè)計中例題涉及的通性通法了如指掌，更要明確每種運算路徑的思維關(guān)鍵點以及復(fù)雜運算出現(xiàn)的關(guān)鍵節(jié)點，要以此為基礎(chǔ)幫助學(xué)生厘清運算路徑，以期優(yōu)化運算思路.

章建躍博士曾說過，簡單試題更能體現(xiàn)教師的教學(xué)基本功，難度不高的試題更有利于開展教學(xué)，更有利于教學(xué)目標(biāo)的達成.因此筆者在平面數(shù)量積的習(xí)題課選用了一道難度適中的題目作為例題.下面是兩位學(xué)生的解答過程.

學(xué)生2：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

以上兩位同學(xué)做法都是正確的，通過集體討論一致認為學(xué)生2的做法對邏輯推理、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)要求較低，是一種更加優(yōu)越的運算思路.筆者就此做了總結(jié)：求解平面向量數(shù)量積通法有兩種，分別是基底法和坐標(biāo)法.基底法(學(xué)生1)一般要求作為基底的兩個向量模與夾角都要明確，進而把相關(guān)向量表示出來后，再進行數(shù)量積運算.坐標(biāo)法(學(xué)生2)，建系時一般遵循對稱原則與簡單化原則，即讓更多點落在坐標(biāo)軸上以便表示相關(guān)的向量坐標(biāo)，再進行數(shù)量積運算；使用坐標(biāo)法時，合理建系后轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算即可，此法對數(shù)學(xué)運算要求較低；而使用基底法時，用基底表示相關(guān)向量往往需要充分利用平行四邊形法則、三角形法則以及數(shù)乘運算等，對邏輯推理和數(shù)學(xué)運算要求較高，所以一般優(yōu)先考慮坐標(biāo)法.

通過以上例題的講解，幫助學(xué)生厘清了求解向量數(shù)量積的運算路徑，并補充了如下題目檢驗教學(xué)效果.

( )

A.[-1,1] B.[0,2]

C.[-2,2] D.[-2,0]

答案：D

1.4 把控運算細節(jié)，加快素養(yǎng)提升

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平三中指出：能夠在綜合情境中，把問題轉(zhuǎn)化為運算問題，確定運算對象和運算法則，明確運算方向；在交流中能夠用程序思想理解和解釋問題.在解題教學(xué)中，教師不僅要明確每種水平的具體要求，還要站在水平三的高度上指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)運算細節(jié)，幫助學(xué)生的數(shù)學(xué)運算水平往更高的等級邁進.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程.

師：△OPQ的面積變化是由誰影響呢？

生1：直線l的斜率k.

師：△OPQ面積公式是什么?

生2：△OPQ面積公式是底與高乘積除以2.

師：你能分別用k表示出△OPQ的底與高嗎？

生3：可以的，用弦長公式將底|PQ|用k表示，用點到直線距離公式將高用k表示.

至此，學(xué)生已將△OPQ面積用k表示出來，根據(jù)原則，可以認為達到了水平二的要求.那么，如何將學(xué)生的數(shù)學(xué)運算水平再提升一個等級呢？

生4：最大困惑在于上式分子中的根號.

師：可以讓它消失嗎？如何才可以消失？

1.5 交流運算成果，促進素養(yǎng)養(yǎng)成

史寧中教授認為：學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，本質(zhì)上是學(xué)生“悟”出來的，是學(xué)生通過獨立思考，以及和他人的討論、反思逐漸養(yǎng)成的一種習(xí)慣.而課堂作為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的主陣地.因此，在解題教學(xué)中，教師要精心設(shè)計教學(xué)過程并為學(xué)生搭建一個交流運算成果的平臺，在每完成一道題后要有師生間、生生間的交流過程，讓同學(xué)們走過的數(shù)學(xué)運算歷程做好分享并形成良好的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，如運算對象如何確認，運算路徑如何獲取，運算錯誤如何規(guī)避以及每種運算路徑的運算成本等.在交流的過程中，讓他們逐步學(xué)會借助運算探討問題，用程序思想理解和解釋問題.這樣的數(shù)學(xué)課堂對學(xué)生運算核心素養(yǎng)的養(yǎng)成更深刻.

2 結(jié)束語