例談“不等式”中“結(jié)構(gòu)模式”的建構(gòu)和應(yīng)用

廣東 周佳鑫

2021年舉行的深圳市調(diào)研考中，大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為試卷總體難度適中.不過(guò)有些題目給人一種似曾相識(shí)，卻又無(wú)從下手的感覺(jué)，比如試卷中第11題.相比之下，學(xué)生對(duì)考查同樣知識(shí)點(diǎn)的第8題顯得更加有把握.這種情況反映出了對(duì)于相同的知識(shí)點(diǎn)，不同的考查方式，學(xué)生的表現(xiàn)會(huì)呈現(xiàn)較大差異.那么在日常教學(xué)中，廣大教師應(yīng)該從哪些渠道入手，縮小這種差異呢？對(duì)此，筆者對(duì)比研究了上述兩道試題，并與備課組的老師們進(jìn)行溝通交流，反思日常教學(xué)中需要注意的問(wèn)題.

【例1】(2021·深圳調(diào)研考·8)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a>b>0>c，則下列不等式中成立的是

( )

答案:B

( )

A.y=z>xB.z=x>y

C.y>z>xD.z>y>x

答案:ACD

我們?cè)诮虒W(xué)中更多強(qiáng)調(diào)的是對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，對(duì)定理、公式的推導(dǎo)，對(duì)經(jīng)典題型的訓(xùn)練，而忽視如何從問(wèn)題出發(fā)抽象概括建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)模型的分析研究去認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題.筆者試圖以此為起點(diǎn)，研究和探索高中階段人教版《2019版高中數(shù)學(xué)教材必修一(A)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《新教材》)中二次函數(shù)與一元二次方程、不等式教學(xué)中的“結(jié)構(gòu)模式”.

1.問(wèn)題的分析與解決

高中階段的不等式教學(xué)著重于大小的比較，考查形式大致可以分為兩類(lèi)，即恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題.從這個(gè)分類(lèi)的層面出發(fā)，不難看出例1屬于恒成立問(wèn)題，而例2屬于存在性問(wèn)題.對(duì)于不等式的相關(guān)試題，絕大多數(shù)學(xué)生在考場(chǎng)上首選的解題思路是利用特殊值進(jìn)行檢驗(yàn).由于反例只能進(jìn)行否定，而無(wú)法作為證明，所以特殊值法在使用上具有較大的不穩(wěn)定性，在一定程度提高了不等式問(wèn)題的難度.此外，不等式將實(shí)數(shù)的比較大小抽象成符號(hào)間的比較，也讓不少學(xué)生望而卻步.

1.1 回歸教材，夯實(shí)“不等式”教與學(xué)的基礎(chǔ)

不等式作為數(shù)學(xué)的重要組成部分，學(xué)習(xí)不等式相關(guān)結(jié)論的最好方法是經(jīng)歷數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程，從過(guò)程中總結(jié)方法、經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.《新教材》在內(nèi)容安排上按照“現(xiàn)實(shí)情境→總結(jié)歸納→研究性質(zhì)→應(yīng)用性質(zhì)”的順序開(kāi)展.這種順序有助于學(xué)生了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性和整體性的認(rèn)識(shí)，體會(huì)不等關(guān)系和不等式的意義和價(jià)值.基于此，筆者認(rèn)為在教學(xué)中應(yīng)該重視在解決具體問(wèn)題的教學(xué)活動(dòng)中突出數(shù)學(xué)的一般方法，以活動(dòng)為載體，以核心問(wèn)題和關(guān)鍵知識(shí)為主線，以章節(jié)知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)為藍(lán)圖，為學(xué)生構(gòu)建完善的知識(shí)方法體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，搭建起切實(shí)可用的“腳手架”.通過(guò)教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)和理解相關(guān)知識(shí)和結(jié)構(gòu)，進(jìn)而達(dá)成知識(shí)方法和結(jié)構(gòu)的協(xié)調(diào)統(tǒng)一，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式章節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

在教學(xué)過(guò)程中，教師可以合理地使用化歸與轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生將陌生的問(wèn)題情境轉(zhuǎn)化為熟悉的結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

“不等式”這章要求學(xué)生掌握用不等式刻畫(huà)不等關(guān)系，學(xué)會(huì)利用不等式的性質(zhì)解決不等式問(wèn)題.在此基礎(chǔ)上，借助不等式的性質(zhì)研究基本不等式，利用基本不等式解決相應(yīng)的最值問(wèn)題.每條不等式性質(zhì)都可以從不同的角度來(lái)認(rèn)識(shí)，教師在教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)該加以選擇，使相關(guān)結(jié)論和性質(zhì)構(gòu)建聯(lián)系.

通過(guò)上述認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建和“復(fù)習(xí)”后，學(xué)生就可以較為輕松地解決例2了.

1.2 以不等式性質(zhì)為抓手，選擇合適的求解模式

對(duì)于同一道題來(lái)說(shuō)，往往有不同的切入點(diǎn)，從而引申出不同的解法.一題多解可以有效地梳理知識(shí)間的脈絡(luò)，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，夯實(shí)基礎(chǔ)，提升解題能力.

1.2.1 從函數(shù)思想的觀點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題

對(duì)于例2，多數(shù)學(xué)生的第一個(gè)想法是將實(shí)數(shù)x,y,z具體計(jì)算出來(lái).然而，題干中給出的方程屬于超越方程，這導(dǎo)致了該想法的夭折.如果學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中有從代數(shù)、幾何、函數(shù)等不同角度研究不等式的經(jīng)驗(yàn)，那么就可以自然地聯(lián)想到數(shù)形結(jié)合法，將不等式的問(wèn)題和函數(shù)圖象聯(lián)系起來(lái)，從而將問(wèn)題解決.

數(shù)形結(jié)合是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用解題模式，對(duì)于不等式問(wèn)題也具有較好的效果.

1.2.2 從求解的方法出發(fā)，采用適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題

分析法、綜合法、倒推法、特殊值法都是適用于解答不等式問(wèn)題的一般方法，例2作為一道客觀題，可以從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合倒推法和特殊值法將其解決.

倒推法和特殊值法在本題中的作用其實(shí)是排除，排除法是求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種常用解題模式，適用于選擇題.

1.2.3 從類(lèi)題的基礎(chǔ)解法出發(fā)，利用比較法解決問(wèn)題

本題的選項(xiàng)本質(zhì)是比較大小，而比較法是此類(lèi)問(wèn)題的常用解法.結(jié)合題干的條件，可以采取作差法求解.

比較法是研究不等關(guān)系的重要基礎(chǔ)手段，脫胎于實(shí)數(shù)大小的比較，是一種常見(jiàn)的解題模式.解法4在使用時(shí)對(duì)比較法做了一定程度的調(diào)整，使其應(yīng)用更加靈活，不僅適用于恒成立問(wèn)題，也可以解決存在性問(wèn)題.

值得注意的是，例2如果將題干中的每?jī)身?xiàng)進(jìn)行對(duì)比的話，容易得出必有y>x，且x與z、y與z之間沒(méi)有確定的大小關(guān)系，因而除了選項(xiàng)B之外，其余三個(gè)選項(xiàng)都可能成立，從而實(shí)現(xiàn)快速解決本題的目標(biāo).

2.結(jié)束語(yǔ)