2021年新高考數(shù)學(xué)多選題的解題策略與命題趨勢探析

安徽 張 超 王玉佩

多選題在高考數(shù)學(xué)中是一種創(chuàng)新題型，該題型為不同層次的考生提供了更多的得分空間，同時更加科學(xué)地發(fā)揮了高考的區(qū)分和選拔功能，為高校合理分層培養(yǎng)提供有效支撐，因而深受廣大師生的歡迎和關(guān)注.安徽省即將使用數(shù)學(xué)新高考卷,作為一線的一名數(shù)學(xué)教師，分析、研究多選題這一新題型的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)，與總結(jié)探討多選題解題策略，非常有必要.為此，筆者結(jié)合2021年高考多選題的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)及解題策略等三個方面談一下思考和認(rèn)識，與讀者共同交流探討.

一、2021年新高考數(shù)學(xué)多選題的結(jié)構(gòu)與特點(diǎn)

1.多選題的結(jié)構(gòu)

多選題是高考數(shù)學(xué)三大題型之后在新高考數(shù)學(xué)卷中出現(xiàn)的一種新題型，全卷試題結(jié)構(gòu)按單項選擇題、多項選擇題、填空題和解答題排列.所謂多選題就是圍繞一個主題，設(shè)計多個符合條件的正確選項供考生選擇，這是多選題和單選題的主要區(qū)別.新高考中多選題設(shè)置4 個選擇題，題號順序是第9題至第12題,每個選擇題設(shè)置4個選項，分別為A，B，C，D，每題滿分為5 分，共 20分.得分規(guī)則是“全部選對的得5分 ，有選錯的得0分，部分選對的得2分”.

2.多選題的特點(diǎn)

多選題具有分值小、解題思路廣的特點(diǎn)，和傳統(tǒng)單選題相比，多選題的設(shè)置給多數(shù)考生增加了得分機(jī)會，但是不容易得全分；考試中不免有考生因選出不正確選項而得0分；多數(shù)考生能夠選對部分正確選項得2分，因此多選題有較強(qiáng)的區(qū)分度，提升了考試的信度和效度.

下面結(jié)合2021年新高考Ⅰ卷試題加以剖析，旨在探索題型特點(diǎn)、規(guī)律，揭示解題策略.

二、多選題解題策略分析

1.直接法

從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等，通過正確的運(yùn)算、推理或判斷，直接得出結(jié)論，從而得出正確答案的一種方法.運(yùn)用此種方法解題需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

【例1】(2021·新高考Ⅰ卷·9)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,…，yn，其中yi=xi+c(i=1,2，…，n)，c為非零常數(shù)，則

( )

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

B，若第一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，則第二組的中位數(shù)為x+c，顯然不相同，錯誤；

C，若第一組數(shù)據(jù)的方差為S2，則第二組數(shù)據(jù)的方差也是S2，故方差相同，正確；

D，由極差的定義知，若第一組的極差為xmax-xmin，則第二組的極差為ymax=(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin，故極差相同，正確，故選CD.

評注：該題是以統(tǒng)計知識為考查素材，只要統(tǒng)計概念清晰即可正確判斷.

通過該題說明老師在教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生對平均值、方差概念的理解.因為在新高考中，越來越重視概念的考查.這也體現(xiàn)新高考注重基礎(chǔ)知識、基本技能及生活的考查理念.

2.綜合法

綜合法通常就是指應(yīng)用直接法、特殊值法、排除法等,從而得出正確結(jié)論的方法.綜合法是解答數(shù)學(xué)多選題的常用方法.

【例2】(2021·新高考Ⅰ卷·10)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，則

( )

另外該題也可以采用數(shù)形結(jié)合法快速選出正確選項，通過該題需要注意解答多選題和單選題解法上有很大區(qū)別，比如解單選題時我們經(jīng)常會采用所謂“投機(jī)取巧”的方法，例如,特殊值法、排除法、極端性原則等，這些方法解多選題就要慎用，多選題更加注重基本功和通性通法的考查.

3.數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題當(dāng)中最常用的方法之一.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以使抽象的數(shù)學(xué)問題變得更加生動、直觀，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，這樣便使很多抽象的數(shù)學(xué)問題迎刃而解，讓“難懂”的解法變得容易理解和消化.

【例3】(2021·新高考Ⅰ卷·11)已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點(diǎn)A(4,0),B(0,2)，則

( )

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

詳解：圓(x-5)2+(y-5)2=16的圓心為M(5,5)，半徑為4，

評注：本題是以直線與圓有關(guān)的最值相關(guān)知識點(diǎn)作為背景.由于圓既能與圓錐曲線相聯(lián)系,又能與平面幾何相結(jié)合,命題方式比較靈活,故與圓相關(guān)的最值問題備受命題者的青睞.在運(yùn)動變化中,動點(diǎn)到直線、圓的距離會發(fā)生變化,在變化過程中,就會出現(xiàn)一些最值問題,如距離、角最小、最大等.這些問題常常聯(lián)系到平面幾何知識,利用數(shù)形結(jié)合思想可直接得到相關(guān)結(jié)論,解題時便可利用這些結(jié)論直接確定最值問題,故在此提醒考生解題時千萬不要得“意”忘“形”.

4.保底法

對于多選題中的壓軸題,難度一般較大,宜采用保底法，即當(dāng)有些選項在一定時間無法確定是否正確時，可選定其他正確的一個保住基本分，因為部分選對也可得2分(這比單選題的得分概率要高)，我們把這種解題策略稱為保底法.當(dāng)然,如果學(xué)生整體素質(zhì)較高,或者對題目十分熟悉,則另當(dāng)別論．

( )

A.當(dāng)λ=1時，△AB1P的周長為定值

B.當(dāng)μ=1時，三棱錐P-A1BC的體積為定值

詳解：易知，點(diǎn)P在矩形BCC1B1內(nèi)部(含邊界)．

評注：本題是以立體幾何知識為素材，屬于選擇題中的壓軸題.多選題中的立體幾何試題，常把多個知識點(diǎn)交匯考查，如把幾何體長度、角度、面積、體積的計算與線面位置關(guān)系結(jié)合在一起考查，也可與函數(shù)、不等式及空間向量結(jié)合在一起考查，此類問題對學(xué)生直觀想象及邏輯推理的核心素養(yǎng)要求較高，難度也比較大.

三、多選題命題趨勢和教學(xué)啟示

通過2021年新高考Ⅰ卷試題分析，筆者得到如下教學(xué)啟示：

1.從命題角度看，該試題是以統(tǒng)計、三角函數(shù)、向量、圓錐曲線(直線和圓)、立體幾何綜合問題等為背景進(jìn)行試題設(shè)計，其主要原因是三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等特點(diǎn)多樣，命題入手點(diǎn)相對較寬,直線和圓試題中數(shù)形結(jié)合動態(tài)分析能夠較好地體現(xiàn)區(qū)分度.但是從命題的著手點(diǎn)來看新高考相對于舊高考有了較大的變化，命題的載體向生活化、靈活化傾斜等，所以還是不能偏頗的認(rèn)為只有這些載體，例如考查以初等基本函數(shù)為載體，加絕對值等手段考查函數(shù)性質(zhì)等等，但是不論新高考如何變化老師在教學(xué)中還是要強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)的穩(wěn)固，適當(dāng)?shù)难由欤P(guān)注情境和生活化的試題，注重重大考試的變式演練.

2.從解題策略角度看，2021年新高考多選題分別用到了常用的直接法、綜合法、數(shù)形結(jié)合法、保底法等.在解題策略上更加注重通性通法，對學(xué)生基礎(chǔ)知識和解題技巧要求更高.

3.從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)角度看，2021年新高考試題對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查比較全面，其中數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)的考查力度很大，所以在以后新高考中對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查會更加全面，這就要求一線老師在教學(xué)中注重數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透.

四、結(jié)語