學選擇 會思考
——以不同解題出發(fā)點為例

江蘇 張朋舉

在平時的作業(yè)、單元測驗中，不少學生對于一些題目總?cè)狈μ綄び行悸返穆窂剑瑢е略谟龅絾栴}時，解題思路方向不明確；解題時如何選擇？是學生必須思考和面對的問題；有研究表明，在數(shù)學解題學習中，學生的數(shù)學學習選擇能力是影響數(shù)學解題成敗的重要因素，二者有著較高的正相關(guān)，且相關(guān)性顯著；然而，學生的數(shù)學學習選擇能力的獲得需要教師的引導.那么，高三的解題教學中如何發(fā)展學生的選擇能力？筆者結(jié)合平時教學中的一些思考，以2021年高考試題為例，談談想法與同仁交流，如有不妥，還請斧正.

1.從已知條件出發(fā)，利用已有知識轉(zhuǎn)化問題

G.波利亞《怎樣解題》指出：尋求有用的思路，首先是應該知道從哪開始，然后能做什么，即尋找已知與過去所獲基本知識間的聯(lián)系；解題就是以“所有”去探尋“所無”.在“所有”之中，題目已知條件應是第一“所有”；將題目中的已知條件、潛在條件厘清，找出它們的來龍去脈，利用已有知識恰當轉(zhuǎn)化條件，探索出已知或可知與結(jié)論之間的橋梁，是解題的第一環(huán)節(jié).通常情況下，一道題目會存在多個已知條件，而且表征形式也不唯一，所以解題時，應先選擇目標明確的已知條件入手，把它轉(zhuǎn)化到某個既定方向，再使用其他已知條件，將其轉(zhuǎn)化為離目標最接近的形式.

(1)求C的方程；

解：(1)省略；

評注：已知條件“|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|”，是目標明確的已知條件，有多種表征方式；但不同的表征，繁簡程度又不同，需學生再度選擇；從對學生的訪談中得知，選擇方法1的大部分同學都因計算量大而無功而返；實際上，若學生平時能養(yǎng)成多角度思考問題，不受題面的影響，想到引入直線參數(shù)方程(方法2)或利用曲線系(方法3)，可以很好的回避煩瑣運算，而且利用曲線系方程，也很好的揭示了A，B，P，Q四點共圓這一隱藏背景.

2.從目標問題出發(fā)，將目標問題進行變更、轉(zhuǎn)化

解題正是在問題的初始狀態(tài)和目標狀態(tài)之間進行比較、分析、消除差異，最終找到達到目標的最佳路徑.有時題目已知條件信息較少，或僅有已知條件，抓不住解決問題的方向時，要善于從目標問題入手；基于目標意識解題，就是首先根據(jù)目標任務弄清“要什么”，清楚問題的特點，以此為起點逐步向后推，得到達到目標需要的條件，然后厘清“有什么” ，進而嘗試縮小“有什么”和“要什么”之間的距離．“目標意識”和“正難則反”的思想也是解題者應該具備的基本數(shù)學素養(yǎng).教師應多關(guān)注、培養(yǎng)學生目標解題意識；當學生遇到復雜問題，由條件到結(jié)論的常規(guī)解題思路受阻時，要主動引導學生選擇從結(jié)論目標出發(fā)，進行變更、轉(zhuǎn)化目標問題.

(1)當a=2時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．

解:(1)省略；

若a∈(0，1),h(x)>0，此時h(x)不可能有兩個零點；

3.從思維方法聯(lián)想出發(fā)，探尋基本問題的基本方法

基于已有的認知結(jié)構(gòu)進行思維方法聯(lián)想是尋求數(shù)學解題思路的有效策略之一. 正如數(shù)學家G.波利亞所說“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本．”數(shù)學解題很多時候是在新情境下去尋求未知的東西.有些題目綜合性較強，梳理過已知條件和目標問題后，需要將新問題表征為自己所熟悉的老問題，聯(lián)想基本方法，獲得解決新問題的方法；不過，有時為了達到目的，不得不暫時擴大目標問題和初始狀態(tài)的差異，所以為了更準確的解決新問題，還要對聯(lián)想的方法進行比較、優(yōu)化、選擇.

【例3】(2021·新高考Ⅰ卷·22)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

解：(1)省略；

即證21時，f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，則0

方法1：構(gòu)造對稱函數(shù)，先證明2

設h(x)=f(x)-f(2-x)(00，

所以h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，所以h(x1)1，且2-x1>1，f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，所以x2>2-x1，即2

因為x2>1，且e-x1>1，f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，所以x2

又由f(x1)=f(x2)，即x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)>x1,所以x1+x2

令h(x)=f(x)+x(00，所以h(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，所以h(x2)

視角知識與方法優(yōu)點缺點構(gòu)造對稱函數(shù)構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-f(-2x0-x),利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性對稱消元,通性通法對稱化構(gòu)造,思維量大比值換元利用x2x1=t,直接構(gòu)造函數(shù)h(t)=ln(1+t)-tlntt-1,研究函數(shù)h(t)最值利用x2x1=t,構(gòu)造函數(shù)m(x)=ln(x+1)-x(x>-1),研究m(x)的單調(diào)性,結(jié)合不等式基本性質(zhì)齊次消元構(gòu)造,易于入手,思維難度小計算煩瑣,難處理不等式變形要求高對數(shù)平均不等式利用對數(shù)平均不等式計算量小不等式證明要求高直接構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-12x-1x(),h(x)=lnx+1x,利用函數(shù)g(x),h(x)的單調(diào)性構(gòu)造的函數(shù)簡單,減少了計算不易想到,技巧性強,思維難度大

4.結(jié)束語