平面解析幾何中代數(shù)運(yùn)算的基本原則

重慶 秦文波 劉志成

平面解析幾何是通過平面直角坐標(biāo)系運(yùn)用代數(shù)的方法解決平面幾何問題的一門學(xué)問.平面解析幾何是方法論，其本真是幾何，核心是代數(shù)運(yùn)算.我們?cè)诿鎸?duì)具體問題時(shí)，既要關(guān)注幾何本真，落實(shí)直觀想象核心素養(yǎng)；又要以代數(shù)運(yùn)算為核心，落實(shí)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).大量實(shí)踐表明，由于在運(yùn)算過程中不僅需要引入多個(gè)未知數(shù)、牽涉多個(gè)較復(fù)雜的方程，而且由條件到結(jié)論的路徑也不唯一，再加上人們對(duì)復(fù)雜運(yùn)算的畏懼，使得代數(shù)運(yùn)算成為了解析幾何最大的難點(diǎn).因此，要教好解析幾何，必須要解決“代數(shù)運(yùn)算”這個(gè)痛點(diǎn).在經(jīng)過大量的解題實(shí)踐和開展一系列主題教研活動(dòng)后筆者發(fā)現(xiàn)，在面對(duì)具體問題時(shí)，只要我們遵循代數(shù)運(yùn)算的五個(gè)基本原則，并在運(yùn)算過程中一以貫之，是能很好地推進(jìn)代數(shù)運(yùn)算獲得理想結(jié)果的.筆者將它們整理出來，以期拋磚引玉.

1.借力幾何分析

解析幾何是研究幾何問題的方法論，解析是方法，幾何才是本真.面對(duì)一個(gè)具體的幾何問題，在代數(shù)運(yùn)算之前，我們應(yīng)該先畫出圖形，從幾何的角度直觀感知、理性分析，而后再選擇用幾何或者解析的方法解決問題.這不僅是解析幾何方法論的基本要求，也直接關(guān)系到接下來用“解析法”求解時(shí)的代數(shù)運(yùn)算是否切實(shí)可行.

【案例1】設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

對(duì)于本題中的(1)，畫出圖形后，對(duì)幾何圖形適當(dāng)分析，就可以由平行得到∠EBD=∠ACD相等，發(fā)現(xiàn)等腰三角形，基本不用代數(shù)運(yùn)算就可獲得|EA|+|EB|=4，在此基礎(chǔ)上，借助橢圓定義就可求得點(diǎn)E的軌跡方程.如果我們不對(duì)其作基本的幾何分析，直接對(duì)這個(gè)幾何問題代數(shù)化，遇點(diǎn)設(shè)點(diǎn)、遇線設(shè)線，用代數(shù)的方法運(yùn)算解決問題，不但難度很大，而且也不符合解析法基本要求.

事實(shí)上，除代數(shù)運(yùn)算之前應(yīng)該幾何分析以外，在代數(shù)運(yùn)算的過程中，也要適當(dāng)借力幾何分析，以形助數(shù)，這樣才能快速、精準(zhǔn)獲得運(yùn)算結(jié)果.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過橢圓C的下頂點(diǎn)作兩條斜率之和為2的直線l1，l2與橢圓C的另一交點(diǎn)分別為M，N兩點(diǎn)，求點(diǎn)A(-1,0)到直線MN距離的最大值.

對(duì)于本題(2)，在設(shè)直線MN的方程為y=kx+m(m≠±1)(斜率存在時(shí))后，可以經(jīng)過一系列的代數(shù)運(yùn)算得到k+m=1.這時(shí)，如果我們將k+m=1代入y=kx+m(m≠±1)，再結(jié)合斜率不存在時(shí)的情形，不難發(fā)現(xiàn)直線MN經(jīng)過定點(diǎn)T(1,1).如果此時(shí)我們能借助圖形進(jìn)行適當(dāng)幾何分析，很容易得到點(diǎn)A(-1,0)到直線MN距離的最大值就是線段AT的長(zhǎng)度，則不需要后續(xù)再做消元、變形等復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算.

一般地，無論是在用解析法進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算之前還是在代數(shù)運(yùn)算的過程中，借力幾何圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)膸缀畏治觯瑢?duì)我們減少運(yùn)算量、快速獲得正確結(jié)果都是十分有益的.因此，借助幾何分析助力代數(shù)運(yùn)算應(yīng)該是、也一定是代數(shù)運(yùn)算的基本原則.

2.注重系統(tǒng)分析

分析幾何問題是代數(shù)運(yùn)算的前提，以系統(tǒng)觀為指導(dǎo)，對(duì)解析幾何問題進(jìn)行系統(tǒng)分析是代數(shù)運(yùn)算必須堅(jiān)持的基本原則.將幾何問題看成一個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，找到引發(fā)運(yùn)動(dòng)的源頭，從源頭出發(fā)厘清幾何關(guān)系，明確到達(dá)目標(biāo)的路徑，是系統(tǒng)分析幾何問題的基本思路.根據(jù)幾何運(yùn)動(dòng)路徑設(shè)計(jì)運(yùn)算方案，按照擬訂方案展開運(yùn)算、獲得結(jié)果，是在系統(tǒng)觀指導(dǎo)下對(duì)代數(shù)運(yùn)算的基本要求.

【案例3】見本文案例1(2)，案例2(2)

對(duì)于案例1(2)，在系統(tǒng)觀的指導(dǎo)下，可以按照如下方式分析幾何系統(tǒng)、設(shè)置運(yùn)算方案：

①這是一個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，它是由直線l繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)引起，當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于直線MN⊥l，所以直線MN也會(huì)跟著運(yùn)動(dòng)，最終導(dǎo)致四邊形MPNQ的形狀發(fā)生改變，題目要求在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中四邊形MPNQ面積的取值范圍.

②由于整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)是由直線l的旋轉(zhuǎn)引起，因此可以考慮用直線l的斜率k來表達(dá)四邊形MPNQ的面積，將它表示為k的函數(shù)，通過研究該函數(shù)的值域獲得四邊形MPNQ面積的取值范圍，按照這種運(yùn)算方案可以選擇“設(shè)線法”來求解此題.

③對(duì)于案例2(2)，在系統(tǒng)觀的指導(dǎo)下，也可以按照相同的方式分析幾何系統(tǒng)、設(shè)置運(yùn)算方案，選擇“設(shè)線法”來求解此題.

實(shí)踐表明，在用解析法解決幾何問題的過程中，不管是分析幾何問題還是設(shè)計(jì)代數(shù)運(yùn)算方案，都應(yīng)該在系統(tǒng)觀的指導(dǎo)下進(jìn)行前后聯(lián)動(dòng)地系統(tǒng)分析，這是代數(shù)運(yùn)算得以順利開展、獲得正確結(jié)果的重要保證.

3.重視比較優(yōu)化

一般地，面對(duì)同一個(gè)幾何問題，分析的視角是多樣的，每一種視角至少對(duì)應(yīng)著一種分析、刻畫幾何問題的方式，每一種方式都可以設(shè)計(jì)一個(gè)或者多個(gè)運(yùn)算方案.在眾多運(yùn)算方案面前，比較、分析、選擇一種適合解題者的最優(yōu)方案是代數(shù)運(yùn)算最重要的事情.筆者發(fā)現(xiàn)，許多解題者不重視多角度分析，不重視比較優(yōu)化，獲得一種思路后就盲目運(yùn)算，或者在多種思路面前隨意選擇一種展開運(yùn)算，這都是有違解析法基本要求的.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

對(duì)于本題中(2)，站在不同的角度分析可以獲得至少如下3種運(yùn)算方案：

①把整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)看作是由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引起的，用點(diǎn)P的坐標(biāo)來表達(dá)直線CD的方程，最后通過對(duì)直線CD方程的研究來證明結(jié)論，用“設(shè)點(diǎn)法”來設(shè)計(jì)運(yùn)算方案求解此題.

②把整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)看作是由直線PA的運(yùn)動(dòng)引起的，用直線PA的斜率來表達(dá)直線CD的方程，選擇“設(shè)線法”來設(shè)計(jì)運(yùn)算方案求解此題.

③把整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)看作是由直線CD的運(yùn)動(dòng)引起，用“既設(shè)點(diǎn)又設(shè)線法”來設(shè)計(jì)運(yùn)算方案求解該問題.

面對(duì)這至少三種方案，解題者應(yīng)該結(jié)合自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較，選擇一種最優(yōu)方案實(shí)施，也就是要在具體運(yùn)算之前做好前置思考.

值得注意的是，如果限于解題者自己的能力水平，對(duì)于某個(gè)問題只有一種分析方式，即只能設(shè)計(jì)一種運(yùn)算方案，此時(shí)也需要對(duì)該方案做優(yōu)化處理，待反復(fù)考量后再實(shí)施運(yùn)算.

簡(jiǎn)言之，面對(duì)一個(gè)具體的解析幾何問題，解題者應(yīng)從多角度思考、展開分析，在獲得多個(gè)運(yùn)算方案后要進(jìn)行比較優(yōu)化，這是代數(shù)運(yùn)算得以順利實(shí)施的重要基礎(chǔ).

4.扎根方程思想

所謂方程思想，就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，通過引入未知數(shù)，把問題中的已知量與未知量的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或方程組，然后利用方程的理論或方法解決問題的數(shù)學(xué)思想.其中“構(gòu)造方程，溝通已知與未知的聯(lián)系”是核心；“列n個(gè)獨(dú)立方程,解n個(gè)未知數(shù)”是最基本的觀點(diǎn).

方程思想是代數(shù)運(yùn)算非常重要的思想，在幾何關(guān)系代數(shù)化、設(shè)計(jì)運(yùn)算方案和實(shí)施代數(shù)運(yùn)算等整個(gè)過程中必須扎根滲透、一以貫之.例如，在幾何關(guān)系代數(shù)化時(shí)，要以“列n個(gè)獨(dú)立方程,解n個(gè)未知數(shù)”這個(gè)基本觀點(diǎn)為指導(dǎo)，恰當(dāng)引入未知數(shù)、構(gòu)建方程(組)，在未知數(shù)個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)問題上多加思考；在設(shè)計(jì)運(yùn)算方案時(shí)，要以“好解方程、易消元”為出發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)運(yùn)算路徑；在實(shí)施代數(shù)運(yùn)算時(shí)，要以“n個(gè)獨(dú)立方程消n個(gè)未知數(shù)”為指引，尋找消元策略，構(gòu)建運(yùn)算思路等.

【案例5】見本文案例1(2)

在方程思想指導(dǎo)下，可以像下面這樣分析、解決問題：

解析幾何的核心思想告訴我們，在代數(shù)運(yùn)算時(shí)，要以“好解方程、易消元”為出發(fā)點(diǎn)，以“n個(gè)獨(dú)立方程消n個(gè)未知數(shù)”為引導(dǎo)，在方程思想的指導(dǎo)下，恰當(dāng)引入未知數(shù)、構(gòu)建方程，只有這樣，才能尋找到合適的“消元”方案、設(shè)計(jì)出高效的運(yùn)算路徑，獲得準(zhǔn)確的結(jié)論.

5.保證等價(jià)轉(zhuǎn)化

幾何關(guān)系代數(shù)化是代數(shù)運(yùn)算得以正確開展的前提.在代數(shù)化時(shí)一定要保證代數(shù)化后得到的坐標(biāo)關(guān)系式與原幾何關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，也就是在代數(shù)化的過程中務(wù)必做到等價(jià)轉(zhuǎn)化.比如，將幾何條件“兩直線垂直”代數(shù)化為“兩直線斜率之積為-1”就有可能不是等價(jià)轉(zhuǎn)化，因?yàn)檫@里或許忽略了直線斜率不存在的情況；將其代數(shù)化為“兩直線的方向向量數(shù)量積為0”則是等價(jià)轉(zhuǎn)化.

值得注意的是，驗(yàn)證代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果是對(duì)整個(gè)過程是否等價(jià)轉(zhuǎn)化的檢驗(yàn)，這關(guān)系到用代數(shù)方法獲得的結(jié)論是否與原幾何問題的結(jié)論等價(jià)、是否可信.在很多情況下，由于運(yùn)算方案的復(fù)雜性或解題者自身的原因會(huì)使得運(yùn)算結(jié)果失真，如果我們不對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，所以對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證是非常重要且必須要做的事情.