小波變換在混合系統(tǒng)時(shí)間序列離散事件檢測(cè)中的應(yīng)用

胡珍妮，代雪珍，周步芳

（西安交通工程學(xué)院，陜西西安 710300）

大多數(shù)技術(shù)的過(guò)程融合是由離散子系統(tǒng)和連續(xù)子系統(tǒng)的交互產(chǎn)生的。在狀態(tài)空間的某些區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)不斷地演化，當(dāng)達(dá)到這些區(qū)域的邊界時(shí)，由于離散控制行為或物理現(xiàn)象[1-2]，連續(xù)動(dòng)態(tài)不連續(xù)地發(fā)生變化，這使得連續(xù)狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)發(fā)生跳變。在過(guò)去的幾年中，研究人員花費(fèi)了大量的精力來(lái)開(kāi)發(fā)這種混合系統(tǒng)的理論模型，用于離散控制器的仿真或驗(yàn)證[3-4]。另一方面，小波理論已成為在不同時(shí)間尺度上分析信號(hào)的強(qiáng)大框架[5]。通過(guò)信號(hào)在小波空間上的投影，得到了一種多分辨率表示方法，該方法提供了不同時(shí)間幀中不同頻率的貢獻(xiàn)信息。這一貢獻(xiàn)說(shuō)明，小波理論是分析混合系統(tǒng)產(chǎn)生時(shí)間序列的一個(gè)方便框架。

文中利用小波變換的系數(shù)來(lái)描述混合系統(tǒng)時(shí)間序列所獲得的性能提升，并指出了用理論結(jié)果來(lái)檢測(cè)實(shí)時(shí)序列中的離散事件時(shí)所遇到的問(wèn)題。

1 小波理論與應(yīng)用

小波變換的基本思想是將信號(hào)x分解成一組基本的構(gòu)造塊[6-7]，如下式所示：

這些基本函數(shù)是從一個(gè)在時(shí)間和頻率上局部化的母子波中通過(guò)縮放和平移操作得到的。

因此，連續(xù)小波變換不僅指示信號(hào)中包含的頻率，而且表明頻率內(nèi)容是如何隨時(shí)間變化的[8]。因?yàn)楫?dāng)尺度參數(shù)a減小時(shí)，小波在越來(lái)越短的時(shí)間間隔內(nèi)被局部放大，所以對(duì)于更高的頻率，時(shí)間局部化變得更精細(xì):

小波的縮放和平移如圖1 所示，對(duì)于較小的a值，小波在較短的時(shí)間間隔內(nèi)局部化，而頻率內(nèi)容被放大并移到較高的頻率。在實(shí)踐中，尺度參數(shù)通常僅限于離散值a=2j,j∈?。

圖1 小波的縮放和平移

如果信號(hào)由離散時(shí)間實(shí)例x={x(k)}k∈?的值給出，假設(shè)采樣間隔Ts=1，則在每個(gè)離散尺度上的轉(zhuǎn)換參數(shù)b被限制為離散采樣時(shí)間b=k。在這種情況下,平移步長(zhǎng)保持不變，而ψj,k的時(shí)間支持度隨著離散尺度j的增大而增大。為了避免基函數(shù)的冗余和產(chǎn)生由少數(shù)系數(shù)構(gòu)成的稀疏表示，通常選擇b隨著每個(gè)離散尺度的增大而增大[9-10]，b=l?2j,l∈?(矢離散化)。x在基函數(shù)的離散集合上的投影如下：

由此得到了平移不變小波變換的系數(shù)(Tψx)(2j,k)。對(duì)于分析小波的某些選擇，可以通過(guò)濾波操作進(jìn)行有效計(jì)算：從離散樣本{x(k)}k=1,...,n開(kāi)始，作為尺度j=0處信號(hào)的最佳近似，尺度j=1 系數(shù)(Tψx)(2j,k)的計(jì)算需要使用O(n?logn)操作。

信號(hào)可通過(guò)其連續(xù)小波變換重構(gòu)：

由于最細(xì)的尺度對(duì)應(yīng)于較高的頻率分量，因此在重構(gòu)時(shí)忽略這些尺度可以獲得原始信號(hào)的粗略近似。一個(gè)重要的特征是分析小波消失矩的個(gè)數(shù)，其中第k個(gè)矩被定義為∫?tkψ(t)dt，這個(gè)特征表征了是否可以通過(guò)這種方式獲得接近原始信號(hào)的近似值(即具有較小的均方誤差)。使用具有N個(gè)消失矩(即∫?tkψ(t)dt=0,0 ≤k≤N-1)的小波可以過(guò)濾多項(xiàng)式Pm(t)，直到m≤N-1，即小波變換(TψPm)(a,b)取零值。

此估計(jì)僅對(duì)信號(hào)平滑的區(qū)域有效，即至少N次連續(xù)可微的區(qū)域。否則，信號(hào)或其導(dǎo)數(shù)的奇異性會(huì)限制多項(xiàng)式逼近的階數(shù)，從而導(dǎo)致小波變換的幅值會(huì)局部減小，這就是小波變換在尺度上的演化可以用來(lái)表征信號(hào)局部規(guī)律性的原因。此外，高頻分量對(duì)系數(shù)減小的影響是局部的，這使得具有稀疏奇異性的信號(hào)能夠進(jìn)行稀疏表示。

1.1 小波閾值收縮

如果對(duì)噪聲信號(hào)xN={xN(k)=x(k)+ε(k)}k=1…n(其中，假設(shè)ε(k)獨(dú)立地分布為N(0,σ2))進(jìn)行變換，則噪聲對(duì)所有系數(shù)(TψxN)(2j,k)的影響是類(lèi)似的。相反，如果原始信號(hào)x只有稀疏奇異點(diǎn)，則可以將其壓縮為其小波變換的幾個(gè)系數(shù)。通過(guò)將大多數(shù)(TψxN)(2j,k)設(shè)置為零，部分噪聲就可以被消除。

通常的去噪方法是忽略傅里葉系數(shù)，即切斷了大部分系數(shù)受噪聲支配的最高頻帶[11-12]。然而，小波系數(shù)的多分辨率表示使得能夠在每個(gè)頻帶內(nèi)選擇對(duì)信號(hào)有顯著貢獻(xiàn)的系數(shù)。僅使用這些信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，既能降低噪聲，又能保留局部高頻現(xiàn)象。有效系數(shù)的選取通常采用閾值化的方法,即只選取超過(guò)閾值λ的系數(shù)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)：

式中，n是待去噪信號(hào)的長(zhǎng)度。如果使用正交小波，則可以通過(guò)變換的最小尺度j=1 的系數(shù)(TψxN)(2j,k)的方差來(lái)估計(jì)疊加噪聲的方差σ2。

1.2 奇異點(diǎn)的檢測(cè)和表征

文獻(xiàn)[13]中利用小波變換絕對(duì)值的演化與被分析信號(hào)的局部規(guī)律性之間的關(guān)系來(lái)檢測(cè)和表征奇異點(diǎn)，該文獻(xiàn)表明，t?處的奇異點(diǎn)在小波變換絕對(duì)值中產(chǎn)生一系列極大值向t?收斂，標(biāo)度a→0。因此，可以通過(guò)跟蹤從粗尺度到細(xì)尺度的最大值來(lái)定位奇異點(diǎn)。同樣，只要分析小波至少有N+1 的消失矩，就可以檢測(cè)出N階導(dǎo)數(shù)的奇異性。通過(guò)信號(hào)與平滑函數(shù)θ的卷積，信號(hào)中的不連續(xù)性被轉(zhuǎn)換成拐點(diǎn)，由此可以在平滑信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值中檢測(cè)出最大值,如圖2 所示。由于具有N個(gè)消失矩的小波是平滑函數(shù)的N階導(dǎo)數(shù)(見(jiàn)圖3)，因此固定尺度上的連續(xù)小波變換可以解釋為平滑信號(hào)的N階導(dǎo)數(shù)。因此，階數(shù)小于N的導(dǎo)數(shù)的跳變表現(xiàn)為極大值。此外，通過(guò)考慮不同尺度，即不同的平滑度，可以根據(jù)小波變換幅度沿相應(yīng)極大值的演化來(lái)估計(jì)t?處的規(guī)律性。

圖2 計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的邊緣檢測(cè)

圖3 樣條小波的平滑函數(shù)及其三階導(dǎo)數(shù)

2 離散事件的小波檢測(cè)

結(jié)合混合系統(tǒng)的特點(diǎn)和小波變換，可以通過(guò)以下方式利用混合系統(tǒng)的小波系數(shù)表示時(shí)間序列[14]：在系統(tǒng)連續(xù)演化的區(qū)域，小波變換的振幅在尺度上迅速減小，其減小僅取決于分析小波ψ的消失矩?cái)?shù)N。在該文中，時(shí)間序列可以用粗尺度上的系數(shù)來(lái)表征。然而，離散事件將局部正則性限制在導(dǎo)數(shù)的m階，其中離散事件導(dǎo)致在這個(gè)階上出現(xiàn)了不連續(xù)。根據(jù)文獻(xiàn)[13]的結(jié)果，如果分析的小波具有N>m個(gè)消失矩，則這些變換會(huì)在小波變換的絕對(duì)值中產(chǎn)生一系列的極大值，這些極大值以減小的尺度a→0 向變換點(diǎn)t?收斂。因此，離散事件可以通過(guò)從粗到細(xì)的尺度跟蹤最大值來(lái)定位。此外，小波變換振幅在尺度上的減小可以用來(lái)表征模態(tài)變化(即發(fā)生跳變的導(dǎo)數(shù))，并將離散事件引起的跳變與拐點(diǎn)區(qū)分開(kāi)來(lái)。

在實(shí)際應(yīng)用中，由于計(jì)算費(fèi)用的原因，檢測(cè)過(guò)程的第一步只計(jì)算離散尺度上的系數(shù)a=2j。如前所述，所考慮的尺度范圍受到信號(hào)到j(luò)∈? 的分辨率的限制。根據(jù)平移不變小波變換的系數(shù)(TψxN)(2j,k)的結(jié)果表示，執(zhí)行以下步驟：

1）通過(guò)評(píng)估相鄰極值之間的距離，確定系數(shù)絕對(duì)值中最大值的線(xiàn)(在后面的圖中表示為極值線(xiàn))。

2）通過(guò)相鄰離散尺度之間的減少來(lái)表征最大值線(xiàn)，如下式所示：

其中，kmax(j)表示離散尺度j上絕對(duì)值中最大值的位置。

3）同一事件會(huì)引起最大值線(xiàn)的融合，即值相同且彼此接近，切換點(diǎn)k?由最細(xì)尺度j=1 上相應(yīng)極大值的位置kmax(j)的平均值確定。

圖4 所示為使用3 個(gè)消失矩樣條的小波進(jìn)行分解時(shí)的時(shí)間序列系數(shù)。在這種表示中，由于耦合或解耦(k?=848 和k?=994)以及流入流量的切換(k?=939)而產(chǎn)生的離散事件，顯示為系數(shù)絕對(duì)值的最大值。考慮到最細(xì)尺度j=1 的值，顯然，由于離散事件，二階導(dǎo)數(shù)(α=2)中的連續(xù)性只強(qiáng)制執(zhí)行每個(gè)極值對(duì)中的第一個(gè)。相反，剩余極小值的減少表明，局部正則性受到小波消失矩?cái)?shù)(=3)的限制。這些極值對(duì)應(yīng)于時(shí)間序列二階導(dǎo)數(shù)中的拐點(diǎn)，這是由于在相反方向跳躍之后指數(shù)的增加，如圖5 所示。考慮到系數(shù)振幅沿相鄰最大值線(xiàn)的演化，即使極值彼此接近，也可以區(qū)分兩個(gè)特征，這意味著它們的距離保持在小波分析影響內(nèi)的每個(gè)離散尺度上。

圖4 離散事件的時(shí)間序列系數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值的極大值

圖5 k?=938附近的時(shí)間序列及其二階導(dǎo)數(shù)

因此，當(dāng)考慮到最細(xì)的兩個(gè)尺寸時(shí)，這3個(gè)離散事件可以被適當(dāng)?shù)鼐植炕捅碚鳌４送猓ㄟ^(guò)評(píng)估沿剩余最大值線(xiàn)的系數(shù)振幅的演變，可以排除在考慮的時(shí)間間隔內(nèi)進(jìn)一步發(fā)生階數(shù)小于m=3 的模態(tài)變化。

隨著標(biāo)度j的增加，mj,j+1的值與α=2(離散事件產(chǎn)生的最大值)或α≥3(對(duì)應(yīng)于連續(xù)演化的最大值)的差異越來(lái)越大。對(duì)于某些離散尺度j，即使對(duì)于對(duì)應(yīng)于拐點(diǎn)的極值，mj,j+1的舍入值也表示二階導(dǎo)數(shù)的躍遷。而且，如果只考慮第四和第五個(gè)尺度，則這兩種現(xiàn)象在k?=938 附近不能再區(qū)分。相反，將2的躍變和指數(shù)演化的組合“解釋”為狄拉克沖量，它被轉(zhuǎn)換成兩條最大值線(xiàn)，其中沿每一條極大值線(xiàn)的衰減給出了=1 局部規(guī)律性(h2一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)性)。在這種情況下，在檢測(cè)程序的第三步中，將切換點(diǎn)k?計(jì)算為兩個(gè)極值位置kmax的最佳比例的平均值。

考慮到此處評(píng)估的系數(shù)對(duì)應(yīng)于時(shí)間序列二階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)越來(lái)越平滑的導(dǎo)數(shù)，如果2在k?的兩側(cè)保持不變，即h2是m≤2 次的多項(xiàng)式，則系數(shù)的減小幅度在所有尺度上保持不變。由于多項(xiàng)式是通過(guò)小波分析進(jìn)行濾波的，因此周?chē)男盘?hào)在任何尺度上都不會(huì)影響相應(yīng)極值的演化。然而，如圖5 所示，隨著離散尺度的增大，平滑跳躍的最大斜率減小得更快。因此，除標(biāo)度因子外，表征最大斜率系數(shù)的最大振幅在離散尺度上的增長(zhǎng)速度并不像考慮到k?處的局部規(guī)律性所期望的那樣快。

基于這些規(guī)則，對(duì)于文中考慮的所有離散尺度，可以正確估計(jì)k?=938 的局部規(guī)律性。相反，對(duì)于對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)換點(diǎn)的局部規(guī)律性的評(píng)估，僅限于Jmin=2。除了每個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)附近信號(hào)的影響外，在標(biāo)度j=5 時(shí)，k?=938 和k?=994 處的轉(zhuǎn)換相互影響，使得m4,5的一個(gè)值變?yōu)樨?fù)值。考慮到小波分析對(duì)每個(gè)尺度j的支持，可以很容易地評(píng)估并排除這些尺度的影響。由于小波在邊緣處的振幅很小，因此使用了一個(gè)縮小的區(qū)間，該區(qū)間對(duì)應(yīng)于至少90%總和的積分絕對(duì)值。通過(guò)考慮相鄰切換點(diǎn)之間的時(shí)間差，可以避免對(duì)拐點(diǎn)最大值的錯(cuò)誤檢測(cè)。

3 存在噪聲的情況下檢測(cè)離散事件的程序

隨著尺度的上升，轉(zhuǎn)換點(diǎn)附近的信號(hào)對(duì)k?的規(guī)律性的影響越來(lái)越大，這就是使用基于系數(shù)最大值的檢測(cè)與小波收縮過(guò)程相結(jié)合的原因。圖6 所示為檢測(cè)離散事件的程序在Matlab 中的實(shí)現(xiàn)。

圖6 檢測(cè)和去噪的結(jié)合

首先使用平移不變小波收縮方法對(duì)信號(hào)XN進(jìn)行去噪。在該步驟中，選擇超過(guò)通用閾值的系數(shù)(被假定不受噪聲控制)用于重構(gòu)信號(hào)。由于離散事件在絕對(duì)值上被轉(zhuǎn)化為極大值，它們更有可能超過(guò)閾值，因此在重建中被考慮。相比之下，在系統(tǒng)不斷演化的區(qū)域，所得到的時(shí)間序列是平滑的，因此在沒(méi)有高頻成分的情況下，系數(shù)下降很快，在這里可以在很大程度上消除噪聲。

第二步，對(duì)去噪后的時(shí)間序列進(jìn)行再次變換，隨后評(píng)估所得的最大值，以定位和表征離散事件[15-16]。此外，通過(guò)考慮離散事件在尺度上的演化，可以將離散事件對(duì)應(yīng)的極大值與剩余噪聲對(duì)應(yīng)的極大值區(qū)分開(kāi)來(lái)。

通過(guò)將這兩個(gè)過(guò)程結(jié)合起來(lái)，可以利用平移不變小波變換的粗尺度系數(shù)的冗余來(lái)重建每個(gè)離散事件在至少一個(gè)較細(xì)尺度上的最大值，該尺度由噪聲控制。

以弱噪聲(信噪比為200)疊加的時(shí)間序列為例，說(shuō)明組合過(guò)程。圖7 比較了模擬時(shí)間序列與噪聲信號(hào)及其在第二個(gè)離散事件附近的二階導(dǎo)數(shù)。在圖7中，雖然時(shí)間序列本身只有細(xì)微的差別，但2的二階導(dǎo)數(shù)完全被噪聲所控制，無(wú)法檢測(cè)到k?=938 處的跳變。

圖7 有噪聲時(shí)的時(shí)間序列及其二階導(dǎo)數(shù)

圖8 比較了從選定系數(shù)重建的時(shí)間序列與無(wú)噪聲時(shí)間序列。對(duì)于第二次分解，使用3 個(gè)消失矩樣條小波。可以看出，提出的組合允許利用粗尺度系數(shù)的冗余部分重構(gòu)細(xì)尺度的最大值。此外，與小振幅(偽影)跳變相對(duì)應(yīng)的附加極值隨尺度的上升而減小，因此在檢測(cè)中不考慮。如果在第二步中使用具有更多消失矩的小波(N>3)，則信號(hào)平滑部分的系數(shù)衰減得更快，因此，可以更精確地估計(jì)局部規(guī)律性。然而，由于具有更多消失矩的小波具有更大的支持度，因此，系數(shù)幅值的演化受離轉(zhuǎn)換點(diǎn)較遠(yuǎn)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。

圖8 時(shí)間序列的系數(shù)

在去噪過(guò)程中，使用具有較少消失矩的小波是有用的，這是因?yàn)殡x散事件被“轉(zhuǎn)換”為具有較大幅度的較少系數(shù)，相應(yīng)的系數(shù)更有可能超過(guò)閾值。通過(guò)這種方式，可以實(shí)現(xiàn)更大的局部細(xì)化，從而減小離散事件的失真。

4 結(jié)論

文中提出了在混合系統(tǒng)時(shí)間序列的第m階導(dǎo)數(shù)中檢測(cè)離散事件的方法，應(yīng)用的是計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的邊緣檢測(cè)技術(shù)，包括平滑和計(jì)算至少m+1 階導(dǎo)數(shù)的組合。在這種背景下，小波理論已被證明是一個(gè)合適的方法。由于在不同的平滑級(jí)別上的同時(shí)視圖，切換不僅可以通過(guò)相應(yīng)的極大值位置來(lái)定位，而且還可以通過(guò)其振幅在尺度上的演化來(lái)表征。然而，在噪聲存在的情況下，檢測(cè)導(dǎo)數(shù)的跳變需要對(duì)粗尺度進(jìn)行評(píng)估。文中探討了當(dāng)系數(shù)振幅的評(píng)估僅限于較粗尺度時(shí)發(fā)生的影響，然后將基于系數(shù)最大值的檢測(cè)與基于小波的去噪過(guò)程相結(jié)合。后者允許在轉(zhuǎn)換點(diǎn)附近進(jìn)行局部細(xì)化，從而減少噪聲，并使離散事件的失真最小。通過(guò)這兩種方法的結(jié)合，可以對(duì)之前被噪聲控制的最大值部分進(jìn)行重構(gòu)，從而擴(kuò)大了可評(píng)估的尺度范圍。