高層建筑抗風優化設計和風振控制相關問題研究

傅繼陽，吳玖榮，徐 安

(廣州大學風工程與工程振動研究中心，廣東，廣州 510006)

1 高層建筑抗風優化設計研究

結構優化理論從20 世紀50 年代提出以來，得到學術界和工程設計領域的廣泛重視，并成功應用于汽車制造、航空航天等眾多領域。但在高層建筑結構設計領域，可用于結構抗風設計方法的研究還為數不多。隨著高層建筑朝著高聳化和新穎化方向的飛速發展，目前世界上最高的迪拜塔已達到了828 m。隨著結構高度的增加，風對高層建筑的影響也在加大，對于超高層建筑，風荷載已經成為結構設計的主要水平控制荷載。

高層建筑結構優化的主要目的是使結構在滿足結構性能設計要求的前提下，通過優化設計手段，達到降低成本、改善結構設計的目的。針對這一目的，香港科技大學Chan 等[1-8]較早進行等效靜力風荷載作用下高層建筑的抗風優化研究，并建立了一套優化設計方法，其主要優化算法是采用最優準則法(OC 法)，并以構件截面尺寸為設計變量，以風致頂部位移、層間位移和結構自振頻率等為約束條件，以工程造價或結構總重為優化目標，實現優化目標函數的最小化[5,8]。利用虛功原理、瑞利商原理及功能轉換關系，Chan 等[4-5]建立了位移、層間位移和自振頻率的顯式表達式，通過建立風致加速度響應的顯式表達式，并將其轉化為頻率約束，從而建立了在抗風優化中考慮舒適度約束的有效方法[6,8]。在此基礎上，認為優化過程中結構構件尺寸的改變將會引起結構動力參數的改變，從而對作用于結構上的等效靜力風荷載產生一定程度的影響[1]。Huang 等[9-12]在Chan 研究的基礎上，進一步開展了相關研究工作，通過一個高層建筑結構標準模型CAARC (Commonwealth advisory aeronautical research council)的算例進行自振頻率約束的優化設計方法研究。傅繼陽等[13-18]利用最優準則法(OC法)對高層建筑考慮風速風向聯合分布以及基于性能化的抗風設計也進行了相關的研究工作。Spence 等[19-21]也將可靠度理論應用于抗風優化設計，對大型結構在隨機風荷載下進行荷載和響應的概率性優化設計，其核心思想是通過一系列高精度的相似理論將可靠度和概率分析迭代過程從優化循環迭代過程中解耦出來，既實現了在優化中考慮變量隨機性的問題，又簡化了計算過程，并通過實例驗證了該方法的實用性，Petrini 等[22]也在抗風設計方面開展了相關的研究。總體而言，高層建筑結構的抗風優化設計研究目前開展的還比較少，尤其中國對這方面的研究更少，在風振響應和等效靜力風荷載的計算上還有改善的必要和空間，對外部風荷載隨機性和概率性的考慮和其可操性的研究還比較缺乏，有必要對結構抗風優化的方法進行進一步的探索。

約束條件是高層抗風優化設計中非常重要的因素，從現有的研究文獻來看，針對高層建筑的結構特點，結構風致位移[9,21]和加速度響應[8]是主要的控制要點，經常作為約束條件使用，其中位移約束包含位移(一般是樓頂位移)和層間位移，加速度響應常被等效為頻率約束[12]，而且這幾種約束條件往往結合起來一起參與優化設計。

抗風優化設計中另一個重要因素是優化算法的選擇，OC 法(最優準則法)由于理論比較成熟，收斂性好，應用比較廣泛，是目前高層結構優化設計的主要算法[2,8,20-21]。特別是對于高層結構優化設計，變量數目相對于約束條件數目要大得多的特點，OC 法由于優化運算收斂性快、優化運算工作量小，因而在高層結構優化設計中仍然是主流算法。Moharrami[23]對OC 法的發展狀況進行了詳細的梳理，并對基于庫恩-塔克(Kuhn-Tucker)最優條件的OC 法和運用二次規劃法求解拉格朗日乘子的過程進行了詳盡的推導與討論。因此，本文在進行基于截面尺寸的高層建筑抗風優化設計中，選擇位移、加速度或頻率作為約束條件，并主要選用較為成熟的OC 法作為優化算法。

OC 法是目前高層建筑抗風優化設計選用的主要算法，但該類算法需要針對不同類型的目標函數、約束條件等導出不同的優化準則，且一般要在優化過程中對目標函數、約束函數對設計變量的敏感度進行分析(即可具有可導或可微要求)。上述要求對于一般的結構抗風優化問題不一定都可以滿足，此時可采用基因遺傳算法、神經網絡算法、粒子群算法等無需對目標函數、約束函數求導的智能優化算法。基因遺傳算法核心思想是算法的優化和搜索過程模擬生物體進化過程，每個搜索空間上的點作為一個個體，目標函數值作為個體對環境的適應能力，通過優勝劣汰產生下一代更優秀的種群，迭代至滿足設定的條件為止。計算機技術的發展為該算法應用提供了硬件支撐，目前已有大批學者投身于基因遺傳算法的研究當中。Koza 等[24]系統闡述了基因遺傳算法的方法與理論；Tsahalis 等[25]提出了多目標優化方法；黃炎等[26]提出基于可調變異算子解決遺傳算法欺騙性問題的方法，在保證種群多樣性同時，使算法向全局最優解收斂；曾國蓀等[27]分析了并行遺傳算法的動機及模型；目前遺傳算法已應用于自動控制[28]、工程設計[29]、資源調度等領域。遺傳算法具有強魯棒性、無需敏度分析、可處理線性和非線性問題等特點，具有較廣的應用面。

基因遺傳智能優化算法的主要特點是具有較強的通用性和全局尋優能力，并且容易開發成通用性抗風優化設計軟件用于工程實踐，但是其耗時長，對計算設備和運行軟件依賴性較高，是伴隨著計算機的進步而發展起來的算法。傳統基因遺傳算法中存在以下3 個問題：① 決定GA 的搜索速度與效率的交叉運算得出的結果由初始種群個體分布決定，能提高全局搜索能力的變異算子的變異結果受初始種群個體分布影響，遺傳算法的全局收斂性能、收斂速度受初始種群個體分布情況影響較大，而傳統的基因遺傳算法的初始種群是隨機產生的；② 大量模式相當的個體集中在平均適應度附近，延緩收斂速度；③ 處理約束時，傳統的基因遺傳算法采用固定的罰因子，不利于擴大搜索范圍，易導致進化后期最優解落于不可行域。因此對傳統基因遺傳算法進行改造，引入初始種群多樣性評價函數改善初始種群質量，改進自適應遺傳算法，引入動態罰函數模型和分級遺傳算法，是提高此類智能優化算法收斂速度和盡快獲得最可能優化解的重要途徑。

基于OC 法和基因遺傳算法的尺寸優化(Size optimization)算法，是在滿足約束條件下，在給定結構形狀基礎上，求桿件截面面積最小或板單元優化厚度的常用方法。通常指在設計域中已確定節點和桿件的連接位置，在這種方法中，設計域、形狀或桿件連接方式不會更改。而拓撲優化(Topology optimization)克服了尺寸優化存在的限制，它通過改變材料的位置和結構的形狀，更能代表一個結構優化后的結果。拓撲優化是在給定的邊界條件和荷載條件下，對將要建造的結構的體積，以及可能的一些附加設計限制。通過在設計域內保留和刪除設計材料，以便得到最優拓撲布置的數學優化過程。優化結果可以是任何的形狀、尺寸和拓撲關系。

隨著國內外學者的不斷深入研究，對拓撲優化方法的研究不斷深化。特別是Guedes 和Kikuchi[30]提出了均勻化方法，拓撲優化已變得更加先進和廣泛使用。后來Bends?e 等[31]在均勻化方法基礎上發展了變密度法。變密度法基本目標是，通過確定每個單元是由固體材料還是由空隙組成來最小化目標函數。通過選擇合適的插值函數，將連續的密度變量與材料的物理屬性連接起來，然后通過懲罰因子使得中間的密度變量向兩邊靠攏。在此基礎上Bends?e 等[32]和Rozvany 等[33]提出了基于各向同性材料假定的懲罰模型，即SIMP(Solid isotropic material with penalization)插值理論，變密度法的簡單性使得其在工業界和學術界得到廣泛使用和接受。但是，變密度法在求解過程中可能會出現數值不穩定現象，如出現棋盤效應、網格依賴現象，這時候可以通過使用過濾技術或者添加約束來處理這些不利影響。為此，為了提高計算變密度法拓撲優化設計的效率，本文引入分層優化的概念，同時采用OC、MMA 和FMINCON 內點法作為優化算法進行拓撲優化計算，以比較三種變密度拓撲優化求解算法的收斂性快慢程度。

作為拓撲優化中的另一種常用優化算法—漸進結構優化法，為Xie 和Steven[34]在1993 年提出。由于進化方法具有相對簡單的理論基礎和便利的應用價值，它已成為拓撲優化領域的一個熱點，受到國內外學者的廣泛關注和研究。其發展的第一階段主要是Xie 和Steven 等[35]對早期ESO方法的研究。1997 年，Xie 和Steven[36]出版了第一本關于漸進結構優化法的專著《Evolutionary Structural Optimization》(《漸進結構優化》)。但早期ESO 法存在如下的缺點：在優化初期，某些單元由于靈敏度較低被刪除，優化后期這些單元可能會變得越來越重要，但是ESO 法無法把刪除的單元進行恢復，所以在大多數情況下，ESO 法可以獲得較優解，但未必是最優解。為進一步完善早期的ESO 法，以1999 年Yang 和Querin[37-38]提出的雙向漸進結構優化法(Bi-directional evolutionary structure optimization，BESO)為分界點，關于ESO 法的研究進入第二個階段—BESO法。BESO 法的主要原理是，既刪除低效單元，同時也在高效區域周圍添加單元，這大大補充完善了ESO 方法的不足之處。

在雙向漸進結構優化方法中，單元刪除準則和增加準則是至關重要的參數，不同的該兩項參數將會產生不一樣的拓撲優化結果。一般而言，初始刪除率和進化率越小，優化結果就越準確，但是運算時間大幅增加、計算效率低；初始刪除率和進化率越大，計算效率就大大增大，但有時會因為誤刪單元而導致最終優化結果出錯，得不到最優解。為此，本文對BESO 法進行局部改進，提出一種動態自更新進化率的雙向漸進結構優化方法，以獲得更優的拓撲優化結果。

2 高層建筑風振控制研究

高層建筑、高聳結構具有高寬比大、細柔而輕質等特點，對于此類風敏感性建筑，風荷載往往成為其結構設計的控制性荷載。因此為使高層建筑和高聳結構做到安全、適用、經濟、美觀等要求，對其進行結構風振控制是十分必要的。結構振動控制是將振動控制系統安裝到被控結構上，被控結構在地震或風荷載作用下，主體結構與控制系統共同運動，控制系統對主體結構產生控制反力，以減少主體結構的動力響應，實現控制的目的。振動控制系統的分類，按照控制系統能量的輸入分類，可分為主動控制、半主動控制、被動控制等幾類[39]。由于被動控制的控制原理簡單，在實際發揮作用時無需從外部輸入能量，因而在實際工程中得到了廣泛的應用。被動控制可分為：基礎隔震、耗能減振和調諧質量阻尼器等幾類[39]。

其中，基礎隔震裝置中的摩擦擺裝置(Friction pendulum system, FPS)1985 年由Zayas 等[40]在加州大學伯克利分校提出；Tsopelas 等[41]首次將FPS 系統運用于橋梁的隔震；Constantinou 等[42]對雙向FPS 摩擦擺系統進行了系統的理論研究。王肇民、歐進萍、張相庭等[43-46]專家學者對TMD系統風振控制的相關理論、計算方法、參數計算以及風洞試驗進行了深入細致的研究，得出TMD系統控制的相關設計分析方法和TMD 風振控制優化設計方法。李春祥等[47-48]對高層建筑帶TMD控制系統優化設計進行了深入研究，分別得到在風荷載作用下的最佳控制參數和地震基頻對TMD最優動力特性的影響。

本文將被動控制中的基礎隔震與調諧質量阻尼器結合，組合成一種新穎的被動控制裝置，即摩擦擺調諧質量阻尼器系統(Friction pendulum system tuned mass damper, FPS-TMD)，對其作用機理與在風荷載作用下的控制效果進行研究[49-50]。同時將FPS-TMD 系統作為實驗子結構，主體結構作為數值子結構，利用小型電振動臺進行風振控制實時混合實驗，通過實時混合實驗的方法，驗證本文前期所提出的FPS-TMD 系統作用機理，以及頂部帶FPS-TMD 裝置高層建筑的風致振動效率的理論分析結果。

3 高層建筑抗風優化設計

3.1 基于最優準則法和可靠度理論考慮風速風向聯合分布的高層建筑抗風優化設計

本小節針對高層建筑對風荷載的敏感性、風荷載本身的復雜性，從概率的角度應用可靠度分析方法，充分考慮風速風向聯合分布的影響，以風工程領域廣泛應用的CAARC 標準模型為優化對象，采用OC 法(Optimality criteria，最優準則法)為優化算法，以結構構件總質量為目標函數，并主要以結構頂部水平位移、各層層間位移和結構自振頻率為約束條件。

為了考慮風向的影響和確定合理的設計風荷載，建立了風速大小分布及方向分布的概率模型。同時，從可靠度的角度，以條件概率的形式，將加速度限值代入得到每個風向的可靠度方程。然后，根據各風向頻率計算考慮多風向的失效概率。聯立所有風向對應的可靠度方程和失效概率方程，求得滿足所有方向可靠度指標和加速度限值的結構自振頻率最低限值，并將其應用于優化設計[51-54]。

位移和層間位移是結構設計中的主要控制目標。整體結構的風致位移和層間位移，則在應用隨機振動理論進行整體結構的等效靜力風荷載計算的基礎上，通過靜力方法來進行優化求解。

1) 優化對象

CAARC 模型是結構風工程領域廣泛應用的一個高層建筑標準模型，其長寬高三個方向的尺寸分別為45.72 m×30.48 m×182.88 m，如圖1 所示。

圖1 CAARC 標準模型 /mFig. 1 CAARC model

標準模型的結構類型假設為鋼筋混凝土框架結構，結構構件初始截面信息如表1 所示，混凝土強度為40 層以下是C80，40 層以上是C60。

表1 標準模型中結構構件初始截面尺寸Table 1 The initial section sizes of structural members in CAARC model

2) 優化設計模型

下面根據前面定義的設計變量、目標函數和約束條件，建立結構截面尺寸優化的數學模型。

設計變量：

滿足約束條件：

其中：層間位移約束條件可以將所有樓層作為約束條件，也可以選擇部分樓層作為約束；結構頂部位移和層間位移約束表達式的系數，通過在求得整體結構等效靜力風荷載的基礎上，通過虛功原理來獲得。風致加速度約束(對應的頻率約束)一般取建筑主軸兩個方向的第一階自振頻率作為約束條件。頻率約束表達式的約束系數，對于確定性約束條件，可以根據虛功原理結合瑞利商的原理來獲得。

當考慮最不利單風向且基于可靠度的風致加速度約束(對應的頻率約束)時，根據結構設計規范對加速度響應的限值要求，建立如下的可靠度問題。

可靠度極限狀態方程和失效概率如下：

根據隨機振動理論，可以建立結構加速度響應與結構自振頻率及所受風荷載等參數的顯式表達式，并將式(5a)中的結構基階自振頻率、阻尼比和風速以隨機變量來考慮。將加速度的計算表達式轉化為由3 類服從一定分布的隨機變量(頻率、阻尼比和風速)組成的關系式，并假設阻尼比和風速的統計特征已知的基礎上，采用可靠度理論中的當量正態化方法，將非正態隨機變量變換為正態隨機變量，再利用驗算點法將風致加速度響應限值的可靠度約束條件，轉化為結構自振頻率限值的確定性約束條件。

當考慮多風向條件下的風速風向聯合概率分布且基于可靠度的風致加速度約束(對應的頻率約束)時，根據結構設計規范對加速度響應的限值要求，建立如下的可靠度約束方程組。

可靠度方程和失效概率如下：

式中，R為基本風壓的重現期。根據計算舒適度所采用的基本風壓的重現期R(中國規范為10 年，本文采用10 年重現期基本風壓計算加速度響應)，可以反算與規范對應的加速度響應的年失效概率最高限值(1/R)，于是式(9)成為包含m個未知數(各風向下對應的可靠度指標)的方程，其中離散的風向分布函數A(θiw)由氣象觀測所得(如圖2 所示)。這個方程便將多個風向下獨立的可靠度方程結合起來，并組成包含m+1 個未知數和m+1 個方程的非線性聯立方程組：

圖2 廣州市番禺氣象站年風向玫瑰圖Fig. 2 The wind rose graph of wind direction for Panyu Station in Guangzhou

結構優化設計算法采用比較成熟的最優準則法(簡稱OC 法)。OC 法迭代次數少、收斂快，特別適用于設計變量較多的大型復雜結構，在結構優化設計領域得到廣泛的應用。

3) 氣象參數

為在抗風優化設計中更加真實地反映風荷載信息，在建立頻率約束時充分考慮風速的隨機性，本章引用廣州市番禺氣象站的常年氣象觀測資料[55]作為優化設計中的風荷載參數，各風向下風速基本服從Gumbel 分布(表2)。

表2 Gumbel 分布計算各重現期下的對應風速[55]/(m/s)Table 2 Estimated wind speed with different return periods

4) 單風向下基于可靠度頻率約束的抗風優化設計

根據計算和討論可知，對于位移和層間位移響應，5 號(90°)和13 號(270°)風向為最不利風向，對于加速度響應，1 號(0°)風向為主軸X向第一階加速度響應的最不利風向，13 號(270°)風向為主軸Y向第一階加速度響應的最不利風向。在結構優化設計中分別以此作為最不利風向進行優化設計。

表3 和表4 說明對于考慮風速、頻率和阻尼比的隨機性與否，對優化結果是有影響的，可以在考慮頻率約束的前提下，進一步提高優化空間，而且這樣考慮更加符合結構的實際情況。

表3 結構優化設計工況統計表Table 3 Statistics results of structural optimization design

表4 結構優化設計歷程中各工況下結構構件總重/tTable 4 Variations in the total weight of structural members under various loading cases during the structural optimization design

5) 基于可靠度和風速風向聯合分布考慮結構風致舒適度的高層抗風優化

根據計算結果，對考慮第一階模態的加速度響應的可靠度計算，分別選擇4 個(風向編號1、2、9、16)和6 個(風向編號1、2、4、9、13、16)較不利風向。

考慮多個風向時的風速風向聯合分布和可靠度的結構構件總重優化結果如圖3 所示。在4 個風向和6 個風向工況下，結構構件總重都呈下降趨勢，兩者最終的收斂值幾乎完全相等，相較于優化前的構件總重降低了44.34%，說明從目標函數的優化結果來看本次優化取得了較為顯著的效果。

圖3 結構構件總重優化結果Fig. 3 Optimization results for the total weight of structural members

在各工況下，前二階頻率在優化過程中的變化情況如表5 所示。在表中可以比較清晰地觀察到，X向第一階和Y向第一階自振頻率在4 個風向和6 個風向工況對應的頻率限值差別較大，尤其是第一階頻率限值，差別達到26.05%，可見參與風速風向聯合概率分布的風向的個數及方位對優化結果的影響是較大的，進一步說明了風向的重要影響。

表5 結構優化設計歷程中各工況下結構前二階頻率及限值/HzTable 5 The natural frequencies for the first two vibration modes and the corresponding limit values under various loading cases during the structural optimization design

從上述優化結果證明，考慮風速風向聯合分布可以提高優化空間，在滿足所有約束條件的情況下，目標函數低于單風向下的優化結果，說明了考慮風速風向聯合概率分布的必要性和意義。

在基于上述算法的基礎上，可進一步考慮基于性能的高層建筑抗風優化設計，其詳細算法可參見文獻[14]。

3.2 基于有限元動力分析中特征值求解的自振頻率約束優化

頻率約束為高層建筑風致舒適度抗風優化設計所必須考慮的主要因素，在采用最優準則法對結構進行自振頻率約束的結構優化方法中，傳統應用較多的是采用應變能法進行等價處理，但其約束函數對設計變量的敏感度是假定結構內力向量不隨結構優化設計變量(一般為截面尺寸)而改變，這樣不精確的約束函數敏感度值代入結構優化迭代計算，容易帶來誤差累積而使結構優化結果不是最優解。本文從求解高層建筑結構模型自振頻率的特征值法的公式入手，推導求解結構頻率約束對優化設計變量敏感度的精確公式；通過一個高層建筑結構標準模型CAARC (commonwealth advisory aeronautical research council)的算例進行自振頻率約束的優化設計方法研究。

1) 結構特征值靈敏度公式推導

式中：K、M為結構整體剛度、質量矩陣；{φ}k為第k階振型。式(10)關于結構尺寸變量Xi偏微分，可得：

式中：Nε為與節點ε 相連接的單元數；ρ、V為空間梁單元的密度和體積。對于空間梁單元j，其質量mj對截面尺寸Xi的偏導有：

圖4 空間梁單元局部坐標系與整體坐標系Fig. 4 Local and global coordinate systems of spatial beam element

本文以高層建筑結構標準模型的三維SAP2000 有限元模型(如圖1(a)所示)為例，其結構類型為鋼筋混凝土框架結構，層高3.048 m，共計60 層。框架梁與柱都采用矩形截面，并且每隔10 層分別作為一類結構設計構件，因此整體結構總共有12 個截面設計變量。框架梁與柱構件材料為鋼筋混凝土，混凝土強度等級40 層以下為C80，40 層以上為C60。沿建筑結構高度方向，每層設置剛性隔板，且在樓層形心處設置點單元并附加質量，頂層主節點三個方向的附加質量為mux=muy=603.1183 t，muθz=102 020.22 t·m2，其他樓層處主節點三個方向的附加質量分別為mux=muy=765.6358 t，muθz=152 635.08 t·m2。

對高層建筑標準模型CAARC 進行結構基振頻率約束的優化設計，取fL=0.1522 Hz。表6 給出了結構構件初始截面以及最終優化迭代設計結果等相關信息，圖5 與圖6 給出了采用應變能法與特征值法的各參數指標的迭代結果，可以發現：① 兩種方法計算的結構基振頻率、總重、構件截面尺寸等指標都得到了收斂，結構基振頻率收斂于約束限值；② 構件總重采用特征值法最終收斂于20 796 t，采用應變能法收斂于20 800 t，二者相差0.019%；③ 從OC 迭代的次數上看，由于采用特征值法的約束函數敏感度值較應變能法更精確，特征值法只需較少的OC 迭代步優化結果就可收斂，說明特征值法迭代效率優于應變能法。

圖5 應變能法迭代結果Fig. 5 Optimization results by strain energy method

圖6 動力分析特征值法迭代結Fig. 6 Optimization results by eigenvalue method

表6 標準模型中結構構件原始截面信息及迭代結果Table 6 Initial member size and optimized results of structural members in CAARC model

3.3 基于基因遺傳智能優化算法的高層和高聳結構抗風優化設計

1) 基于改進罰函數及分級遺傳算法的結構優化設計

遺傳算法的研究越來越受到人們的關注，其在解決優化問題時無需將約束條件顯式表達，可以方便地處理各類工程結構優化問題中的位移、頻率以及應力約束問題，因此在結構優化設計的應用中優勢明顯。但研究人員已注意到基本遺傳算法存在一些不足之處：① 容易出現過早收斂，難以得到全局最優解；② 不能將優化問題的約束表示出來；③ 搜索效率低；④ 局部搜索能力差。為了改善基本遺傳算法的這些缺陷，筆者從約束條件的處理、改進罰函數、分級排序、選擇算子和交叉變異方法等多個方面對遺傳算法進行了改進。新的方法可以較好地實現種群的雙向進化，提高算法的性能，尤其是對于需要消耗巨量的時間來進行有限元分析的工程結構優化問題是顯著的。

為了測試本文所提出的改進罰函數分級遺傳算法，分別將其應用在兩個經典的求最值數函數中。

① De Jong 函數是一個連續、突起的單峰函數，其表達式如下所示：

這里，n為優化問題的維度，本案例設n= 20，求解minf(x)。圖7 為De Jong 二維函數圖形，圖8為改進算法的目標值迭代圖。

圖7 De Jong 二維函數圖形Fig. 7 Diagram of De Jong in two diemsional function

圖8 目標值迭代圖Fig. 8 Target value after several iteration

② Shubert 函數為多峰函數，其二維變量表達式如下所示：

圖9 為Shubert 二維函數圖形，圖10 為改進算法的目標值迭代圖。2) 優化算例—CAARC 標模抗風優化設計

圖9 Shubert 二維函數圖形Fig. 9 Diagram of Shubert's 2D function

圖10 目標值迭代圖Fig. 10 Target value after several iterations

該結構幾何尺寸為45.72 m×30.48 m×182.88 m，整體形狀為矩形柱體。優化數學模型如下：

結構模型如圖11 所示，最終優化結果如圖12所示。

圖11 結構模型Fig. 11 Structural model

圖12 截面尺寸優化后對比Fig. 12 Comparison between optimized section sizes

3.4 高層建筑結構拓撲優化設計

1) 基于變密度法的結構拓撲優化

根據Bends?e 提出的材料最優分布，通過建立兩點分布數學模型，將設計域中材料是否存在進行分類，數學表達式為：

式中：1 表示有材料，0 表示無材料； Ω1表示實體材料區域， Ω2表示非實體單元區域。

以下以基于體積和位移約束下的塔架剛度優化為例，體積約束作為約束條件，得到基于SIMP方法拓撲優化問題的模型。

具有體積約束和位移約束的最大剛度拓撲優化問題可以表述為：

式中：c為柔順度；uj為結構j點的位移響應，u*為結構j點位移響應限值；vi為每個單元的體積，xi為每個單元的相對密度；V為結構總體積，V*為結構總體積限值。

引入拉格朗日乘子λ、β，則基于體積和位移約束下的剛度優化問題，其對應的拉格朗日方程為：

本算例為9 層塔架結構。結構總高度H=27 m，層高h=3 m。結構中的所有梁、柱、斜撐截面均為等邊角鋼，其中柱截面邊長a1=120 mm，厚度b1=10 mm；梁和斜撐截面邊為a2=80 mm，厚度b2=8 mm。材料為Q235，彈性模量E=2.1×1011N/m2。由沿高度方向邊長為3 m 的正方形鋼框架組成，通過角鋼柱和角鋼斜撐相互連接。柱與梁、柱與斜撐均采用鉸接，柱底與地面采用剛接。塔架結構三維模型及節點編號如圖13(a)所示，塔架結構俯視圖如圖13(b)所示。

圖13 九層塔架結構Fig. 13 A nine-story tower structure

本文利用分區拓撲優化方法，提高了搜索最優解的計算效率，減少了拓撲優化運算工作量。采用基于分解的多階段設計策略，首先將問題分成一組較小的子問題。對于每一個子問題，只有一部分拓撲變量得到優化，而其他拓撲優化變量被認為是暫時固定和不活動的，通過引入非活動區域和目標區域的過渡區域，可減小非活動區域對整個結構拓撲優化的影響。將取塔架結構的BC面進行拓撲優化，將塔架分為3 個子區域(如圖14)，第一子區域0 m～9 m，第二子區域9 m～18 m，第三子區域18 m～27 m。第一輪拓撲優化首先從第一子區域開始，直至3 個子區域都完成拓撲優化。約束條件為：小于原設計域體積15%，頂部位移限值54 mm。膜單元厚度取1 cm。

圖14 塔架結構豎向區域劃分Fig. 14 Vertical zooming of tower structure

塔架拓撲優化結果如圖15 所示，塔架頂部位移隨迭代次數變化如圖16 所示，塔架體積隨迭代次數變化如圖17 所示。

由圖15 可以看出，塔架斜撐最優分布為“X”形和“人”形組合，其中“X”形居多。由圖16可以看，塔架頂部位移隨著迭代次數增加不斷下降，收斂時塔架頂部位移為23.75 mm，小于《鋼結構設計規范》頂部位移限值54 mm。由圖17 可以看出，塔架體積隨著拓撲優化的進行初步收斂于規定的體積約束條件。

圖15 塔架拓撲優化結果Fig. 15 Topology optimized results for the tower

圖16 塔架頂部位移隨迭代次數變化Fig. 16 Variation of top displacement during iteration

圖17 塔架體積隨迭代次數變化Fig. 17 Variation of tower volume during iteration

2) 基于動態進化率的BESO 拓撲優化方法

目前雙向漸進性拓撲優化方法基本采用預先設定的恒定進化率來進行單元的優化迭代。對于以全域為初始設計的拓撲優化問題，優化迭代方法需要在迭代初期快速去除不重要的單元，后期則需要降低進化速度，以保證迭代的收斂穩定性。

為了更快速地收斂，如果某一拓撲優化過程的進化率在所有的優化迭代中保持不變，則很難達到這一目的。引入動態進化率同時減少單次迭代有限元計算量和整個拓撲優化運算的迭代次數，使拓撲優化運算的計算效率能夠滿足拓撲優化需求，在動態進化率方面擬采用反正切動態進化率函數，如下式所示：

圖18 擬采用的反正切動態進化率函數Fig. 18 Proposed dynamic evolution function in the arctangent form

3) 二維斜支撐拓撲優化設計算例

以支撐系統拓撲優化結構為例，從有限元分析的角度來看，意味著在優化過程中，一些被稱為固定域的單元將永遠不會被移除。為了解決這類問題，對固定域內的單元靈敏度賦以較大的值，以保證這些單元不會根據單元更新規則被刪除。

在其他一些情況下，設計者希望結構由一系列具有相同拓撲結構的子結構周期性地組成，使整個結構更加簡潔、美觀。以矩形平面域為例，如圖19 所示，可以將其劃分為m1×m2的單元格，第i個單元格中的第j個單元表示為xi,j，在最優設計迭代中，xi,j可以是實的、也可以是空的。假設在某一設計域內總共有m=m1×m2個單元，則可以利用下式來保證所有單元中特定位置的單元同時被添加或移除：

圖19 3×2 個單元格的二維設計域Fig. 19 2D design domain with 3×2 cells

代表性單元格中第j個單元的靈敏度由所有單元格中第j個單元的聯合變化引起的總體平均柔順度的變化來定義，如下式所示：

圖20(a)展示了一塊320 mm×80 mm×1 mm 的實體結構，其左邊緣等距作用4 個集中荷載，分別為6000 N、6000 N、6000 N 和3000 N。材料特性如下：彈性模量E=200 MPa，泊松比ν=0.3，和質量密度ρ=7800 kg/m3。整個設計域被劃分為320×80 的矩形單元。如圖20(b)將結構的左、右、頂側的最外層單元層視為不參與優化的固定域，其他內部單元視為拓撲優化的設計域。整個結構從上到下劃分為4 個80 mm×80 mm 的區間。本例的目標是找出結構的最佳周期拓撲結構，使其在體積比不大于0.25 的情況下的平均順應性最小化，本例的最優拓撲構型如圖20(c)所示，類似的拓撲結構通常用于超高層建筑的支撐系統設計。

圖20 支撐系統的設計域和最優拓撲Fig. 20 Design domain and optimized topology configuration of the bracing system

4 高層建筑的風振控制

我國東南及華南沿海地區為臺風極端天氣多發地，對于高層建筑而言，外形細長、質量輕且阻尼小等特征使其對風荷載變得敏感，風荷載已成為其抗風結構設計中必須考慮的主要控制荷載。本部分結合摩擦擺系統(friction pendulum system，FPS)限位復位功能和調諧質量阻尼器(tuned mass damper，TMD)耗能減振的優點，形成摩擦擺調諧質量阻尼器(FPS-TMD)[14,56]，以結構控制第三代Benchmark 模型—76 層鋼筋混凝土建筑作為計算實例，研究頂部帶FPS-TMD 系統的高層建筑風振控制效果。

4.1 FPS-TMD 系統風振控制設計

摩擦擺調諧質量阻尼器FPS-TMD 系統恢復力模型如圖21 所示，假設滑塊質量為m，滑道半徑為r，滑塊相對于主體結構頂層運動的轉角為φ，滑塊與滑動面的摩擦系數μk。

圖21 FPS-TMD 系統恢復力模型Fig. 21 Restoring force model of FPS-TMD system

1) FPS-TMD 系統恢復力模型

圖22 FPS-TMD 系統風振模型Fig. 22 FPS-TMD system under dynamic wind loading

3) 頂部帶FPS-TMD 系統的高層建筑結構風振動力方程的建立

頂部帶FPS-TMD 系統的整體結構，受風荷載p(t)作用時的簡化模型如圖23 所示，主體結構可視為具有n個自由度的n層模型，第i層的質量為mi、層間剛度為ki，阻尼系數為ci(i=1,2,···,n)，FPS-TMD 系統滑塊的質量、剛度和阻尼分別為md、kd、cd，風荷載pi(t)作用在各樓層集中質量mi處。

圖23 頂層設置FPS-TMD 系統的計算模型Fig. 23 The simplified computation model of tall building with FPS-TMD system installed at top floor

本文以一棟76 層306 m 的結構控制Benchmark模型為例，其主體結構采用巨型框架-核心筒結構體系來承擔重力荷載和風荷載，如圖24、圖25 所示。結構單方向前5 階自振頻率依次為0.16 Hz、0.765 Hz、1.992 Hz、3.790 Hz 和6.395 Hz，采用Rayleigh 阻尼模型來構造阻尼矩陣，假設建筑前5 階振型阻尼比均為1%。為獲得本建筑物的風荷載時程，進行了多點測壓風洞實驗[57]，風洞試驗采樣頻率為1000 Hz，模型與原型比例為1∶400，速度比為1∶3，時間比為1∶133，原型10 m 高度標準風速為13.5 m/s。

圖24 Benchmark 模型 /mFig. 24 Benchmark model

圖25 巨型框架-核心筒結構 /mFig. 25 Mega frame-tube core structure

為簡化結構動力計算，原結構可視為具有76 個節點的糖葫蘆串模型，每個節點保留2 個平動自由度，共有152 個自由度，表示每層樓在X、Y方向上的位移，如圖26 所示，通過靜力凝聚法得到簡化后的模型，以及對應的質量、剛度和阻尼矩陣[57]。風振響應計算過程中，順風向風荷載時程由諧波疊加法模擬隨高度變化的Von Karman脈動風速譜，形成對應的脈動風速時程后采用準定常假定得到，而橫風向風荷載時程采用文獻[57]提供的風洞試驗結果。

圖26 多自由度集中質量模型Fig. 26 Simplified model with lumped masses

4) 頂部帶FPS-TMD 系統的高層建筑結構風振響應分析

假設76 層Benchmark 模型處于廣州市中心D 類地貌，其上部設置有單向FPS-TMD 系統，滑道半徑根據FPS-TMD 系統第一階自振頻率近似等于主體結構第一階自振頻率的原則 確定為9.7 m，滑塊質量取主體結構質量的1%，質量滑塊在滑道中的摩擦系數取為0.01。則在不同重現期設計風速對應的橫風向風荷載作用下，結構頂部風致位移、速度和加速度時程的均方根值及風振控制效率如表7 所示。

表7 結構橫風向響應均方根值及風振控制效率Table 7 RMS values in across-wind induced response and control efficiency

由計算可知，同一重現期設計風速對應的橫風向風荷載引起的結構頂層響應均比順風向響應大。隨設計風荷載增大，風致響應逐漸變大，同時FPS-TMD 系統的控制效果越好。橫風向風荷載作用下，50 年和100 年重現期的加速度和速度控制效果相當，兩者均優于位移控制效果，橫風向下加速度最高減振效率可達41.28%，最低為13.79%，速度減振范圍在19.72%～40.82%之間，位移減振效率則為14.29%～31.34%。

4.2 帶FPS-TMD 系統高層建筑風振控制的實時混合試驗

為驗證帶FPS-TMD 系統高層建筑在風荷載作用下風振控制分析結果的正確性，本文采用實驗的方法加以驗證，理論上可以采用振動臺實驗或風洞實驗加以進行。然而對FPS-TMD 系統的高層建筑進行此類實驗時，受整體模型試驗縮尺比的限制，FPS-TMD 系統中的構件考慮縮尺效應后，其縮尺模型尺寸將會變得過小而難以加工。同時，當進行FPS-TMD 系統和下部高層建筑的整體模型實驗設計時，兩部分考慮縮尺比效應后，不一定都能同時滿足動力相似比要求。在這種情況下可以借鑒Nakashima 等[58]提出的“子結構試驗方法”，較好地解決上述問題。該方法將研究對象分成2 部分：一部分為結構受力性能比較復雜的部分，此部分由于其力學模型或分析機理不是十分明確，因此需采用原型試驗方法，把其物理模型作為試驗子結構進行分析；另一部分(例如高層建筑結構體系本身)由于力學特性已經很清楚，能夠通過有限元等數值模擬的方法計算，該部分稱為數值模型子結構。實時子結構試驗的概念自提出以來，就引起了國內外專家學者特別是結構抗震設計領域的廣泛關注[59-61]，但目前此類新型實驗技術，在建筑結構抗風領域的研究和應用還十分少見。

對于FPS-TMD 系統的模型實驗，以往大多采用地震振動臺和相應的液壓伺服式作動器。對于FPS-TMD 系統的力學性能和動力特征實驗研究而言，當可以用較大的模型縮尺比進行模型實驗時，其對應外加激勵的幅值相對而言較小，此時如采用直線電機驅動的小型電振動臺則具有反應速度快，實時性更好，更易于對其進行運動控制等優點，同時還可以減少大型振動臺試驗費用、模型加工成本高等不足之處。因此本文在借鑒直線電機驅動相關運動控制算法的基礎上，研究采用直線電機驅動的小型電振動臺，對帶FPS-TMD系統高層建筑進行風振控制的實時混合實驗方法。

在實時混合實驗裝置方面，通常是采用帶實時操作系統的工業控制器來代替PC 機，以盡量避免PC 機與實驗系統之間的時滯。目前，大型振動臺實驗一般采用美國MTS 公司Flex TEST 平臺的數字閉環控制，以及對應的新型液壓伺服控制系統，但相對而言，此類大型控制系統的編程太復雜，在進行混合實驗時控制算法選擇性差。另外，由德國dSPACE 公司開發的一套基于MATLAB/Simulink 控制系統的軟硬件dSPACE 仿真平臺，以及與其配套的直線電機加載系統，在工業設計領域有著較為廣泛的應用。dSPACE 系統用于實時混合實驗，功能也比較完善，在工業設計領域具有較廣泛的市場，但由于其系統的封裝性較強，因而對其進行二次開發，在其適用于建筑結構風振控制的實時混合實驗方面則受到一定限制。

為此本文采用美國ACS Motion Control 公司的運動控制模塊(包括運動控制器和電機驅動器)，利用美國NI 儀器有限公司Labview 軟件與MATLAB/Simulink 的接口工具包(Simulation Intetrface Toolbox或Model Interface Toolbox)建立混合實驗實時仿真系統，其總體架構如圖27 所示[62-63]。本文開發的基于電機作為作動器的小型實時混合實驗平臺，相比于液壓式作動器，電機驅動振動臺具有反應速度快、實時性更好的優點，其加載和運動控制比傳統的液壓加載系統要相對簡單。

圖27 帶FPS-TMD 系統高層建筑風振控制實時混合試驗平臺的總體架構Fig. 27 The configuration of real-time hybrid test for wind vibration control of tall buildings with FPS-TMD system

1) 帶FPS-TMD 系統高層建筑風振控制的實時混合試驗結果分析

基于上述開發的實時混合試驗平臺，采用風洞試驗得到的橫風向荷載，對圖24 所示的Benchmark 模型頂部設置FPS-TMD 系統后，其風振控制效果進行實驗研究。如圖28 所示為橫風向100 年重現期風荷載作用下，Benchmark 模型主體結構頂層風致響應的數值模擬結果與實時混合試驗進行對比，兩者的吻合度很高。

圖28 橫風向100 年重現期風致結構頂部位移、加速度數值模擬與實時混合試驗對比Fig. 28 Comparison results in the across-wind response with 100-year return period at top floor between numerical simulation and real - time hybrid test methods

表8 為橫風向100 年重現期風荷載作用下的FPS-TMD 系統的控制反力和結構響應均方根值對比，其均方根值偏差在大多在10%上下波動。

5 結論

本文針對與高層建筑抗風優化設計和高層建筑風振的幾個相關問題，采用最優準則法，主要研究了考慮風速風向聯合概率分布和基于可靠度及性能化的高層建筑桿件截面抗風設計方法，以及基于改進罰函數的基因遺傳算法和改進動態進化率的BESO 拓撲優化算法。通過相關算例分析，驗證了本文提出的高層建筑抗風優化算法的有效性。在風振控制方面，結合摩擦擺系統和調諧質量阻尼器各自的優點，對FPS-TMD 被動控制系統的風振控制效率進行了數值模擬分析和實時混合實驗的相關研究。本文主要結論如下：

(1) 風速的隨機性和風向對結構風致響應的影響，是高層建筑抗風優化設計中必須考慮的重要因素。通過實際算例對比是否考慮風速風向聯合概率分布和結構自振頻率、阻尼比等變量隨機性的高層建筑抗風優化結果發現，相較于以往確定性優化法，考慮上述變量隨機性的優化結果顯示：結構自振頻率限值有所降低，優化結果更為合理，同時也進一步提高了優化空間。

(2) 基于改進動態罰函數及分級遺傳算法，可使得優化工程中種群中不可行解與可行解的比例隨代數的變化規律更合理，有利于擴大優化搜索空間，收斂效果更佳。

(3) 通過算例，分析不同的固定進化率對拓撲優化結果的影響，分析結果顯示：基于動態自更新進化率的雙向漸進結構優化方法，可以減少單次迭代有限元計算量和整個拓撲優化運算的迭代次數，同時使得拓撲優化結果更加穩定和高效。

(4) 采用數值模擬和實時混合試驗兩種研究方法，對FPS-TMD 被動控制系統對高層建筑的風振控制效率進行了綜合分析，驗證了本文提出的FPS-TMD 被動控制系統應用于高層建筑風振控制的有效性。同時，基于NI CompactRIO 系統的小型電振動臺實時混合試驗平臺開發，為高層建筑風振控制的實驗研究提出了新思路。