二次函數(shù)中系數(shù)的符號與其圖象之間的關系

韓興寧

摘要：二次函數(shù)是初中數(shù)學非常重要的知識點，要想較好掌握它，許多基礎知識有必要深入理解，其中包括二次函數(shù)中系數(shù)的符號與其圖象之間的關系，即根據(jù)二次函數(shù)圖象的特點推導出二次函數(shù)中系數(shù)的符號.本文中通過對中考題的探究與分析，說明二次函數(shù)系數(shù)的符號與其圖象之間存在的關系，幫助學生提升解題能力.

關鍵詞：二次函數(shù);系數(shù);圖象;符號;關系

1 引言

圖象與性質作為初中數(shù)學中二次函數(shù)非常重要的內(nèi)容，其系數(shù)符號的判斷不亞于求函數(shù)圖象與坐標軸的交點[1].盡管該知識點基礎且重要，但是仍有很多學生對此掌握不夠深入.為此，筆者結合近幾年的中考題，為學生提供判斷二次函數(shù)系數(shù)符號的方法，同時也為一線教師在這方面的教學提供參考.

2 方法探究

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）而言，ax2的系數(shù)為a，bx的系數(shù)為b，c常數(shù)項.當然，這里的a，b，c已經(jīng)包含了符號，在此作特殊說明[2].那么，如何根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析出系數(shù)的符號呢？接下來將從以下三個方面進行研究.

2.1 確定“a”的符號

“a”的符號通常比較容易確定，它與二次函數(shù)圖象的開口方向有關，即圖象開口向上時a為正數(shù)，圖象開口向下時a為負數(shù)[3].關于 “a”的符號的判斷，在中考題中出現(xiàn)得比較少，這與它的難易程度有關.

例1 如圖1，函數(shù)y=ax+1與y=ax2+bx+1（a≠0）的圖象可能是（? ）.

解析：函數(shù)y=ax+1中的“a”與y=ax2+bx+1（a≠0）中的“a”符號一致，所以可根據(jù)y=ax2+bx+1（a≠0）圖象的開口方向判斷“a”的符號.首先，A，B選項中二次函數(shù)圖象開口向下，所以a<0，那么直線應向下傾斜，選項B排除.然而，函數(shù)y=ax+1與y=ax2+bx+1（a≠0）中都有“1”，即圖象與y軸交點坐標都為（0，1），因此排除選項A.其次，C，D選項中二次函數(shù)圖象開口向上，所以a>0，那么直線應向上傾斜，選項D排除.所以，本題應選答案：C.

2.2 確定“b”的符號

“b”的符號判斷比較復雜，因為需要考慮二次函數(shù)中與b有關的量.這時候，就自然想到了判別式Δ和頂點坐標，其中頂點的橫坐標關系最簡單，即對稱軸.所以，在“a”一定的前提下，嘗試從對稱軸的位置探究確定“b”的符號的方法.

首先，觀察圖2中兩個函數(shù)圖象，它們都是開口向下，不同的是①中的對稱軸與x軸的負半軸相交，而②中則與x軸的正半軸相交.

然后，分析兩個圖象中a與對稱軸.①中a<0，對稱軸x=-b2a與x軸的負半軸相交，即x=-b2a<0，所以b<0.于是，在a<0，b<0的基礎上得到了關于a，b符號的判斷口訣“左同”.②中a<0，對稱軸x=-b2a與x軸的正半軸相交，即x=-b2a>0，所以b>0.于是，在a<0，b>0的基礎上得到關于a，b符號的判斷口訣“右異”.

最后，綜合兩種不同的情況，發(fā)現(xiàn)b的符號與a有關，且通過對稱軸的位置得到了a與b“左同右異”的關系.

例2 如圖3，函數(shù)y=mx+m和函數(shù)y=-mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m≠0）的圖象可能是（? ）.

解析：函數(shù)y=mx+m和函數(shù)y=-mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m≠0）中的“m”符號一致.首先，四個選項中均以直線為參考對象.在A，B，D三個選項中，直線y=mx+m均向下傾斜且與y軸負半軸相交，所以m<0，則-m>0，所以二次函數(shù)開口向上，排除A選項.再觀察b=2>0，采用“左同右異”中的“左同”得到對稱軸應與x軸的負半軸相交，即選項B排除.因為C選項中的直線向上傾斜，所以m>0，因此-m<0，這與C選項的二次函數(shù)開口方向向上矛盾，所以應排除C選項.故選答案：D.

2.3 確定“c”的符號

“c”的符號的確定，需要先觀察二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）.不難發(fā)現(xiàn)，當x=0時，y=c，即函數(shù)與縱軸的交點坐標是（0，c）[4].由此可見，“c”的符號的確定依賴于交點坐標（0，c）.如果二次函數(shù)圖象與縱軸的正半軸相交，那么c>0;如果二次函數(shù)圖象與縱軸的負半軸相交，那么c<0;如果二次函數(shù)圖象過原點，那么c=0.

例3 拋物線的圖象如圖4所示，根據(jù)圖象可知，拋物線的解析式可能是（? ）.

A.y=x2-x-2

B.y=-12x2+12x+1

C.y=-12x2-12x+1

D.y=-x2+x+2

解析：函數(shù)圖象顯示開口向下，交y軸正半軸，

其對稱軸與x軸正半軸相交.根據(jù)上述分析，可知a<0;c>0;b的符號與a的符號相反，既然a<0，那么b>0.綜合此三點，選項A，C排除.再仔細觀察圖象可知，圖象與y軸正半軸的交點一定不是（0，1），而是（0，2），所以應選答案：D.

3 方法應用

例4 （濰坊）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖5所示，則a，b，c滿足（? ）.

A.a<0，b<0，c>0

B.a<0，b<0，c<0

C.a<0，b>0，c>0

D.a>0，b<0，c>0

解析：觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)，圖象顯示開口向下，所以a<0;圖象與y軸的正半軸相交，所以c>0;對稱軸與x軸的負半軸相交，所以b與a的符號相同，都是負數(shù).綜上可知，a<0，b<0，c>0.故選答案：A.

例5 （陜西省）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a<0，b<0，c>0），關于這個二次函數(shù)的圖象有如下說法：①圖象的開口一定向上;②圖象的頂點一定在第四象限;③圖象與x軸的交點至少有一個在y軸的右側.以上說法正確的個數(shù)為（? ）.

A.0

B.1

C.2

D.3

解析：本題沒有給出圖象，而是需要根據(jù)“a<0，b<0，c>0”嘗試畫出圖象，然后根據(jù)圖象在①②③中選擇.所以，首先根據(jù)“a<0，b<0，c>0”畫出圖象，如圖6所示.然后，根據(jù)圖象分析可知①錯誤，圖

象應該一定開口向下;②錯誤，圖

象的頂點一定在第二象限;③正確.所以，本題應該選答案：B.

4 結語

總而言之，二次函數(shù)中系數(shù)符號的確定既關系到學生對函數(shù)圖象的整體把握，又關乎到后期的計算.倘若在第一步就判斷錯誤a，b，c的符號，那么后續(xù)有關系數(shù)的運算一定會出現(xiàn)錯誤.所以，作為一線數(shù)學教師，在用心教學、耐心指導的前提下，務必讓學生掌握該基礎知識點，為日后函數(shù)的計算和應用打下堅實的基礎.

參考文獻：

[1]王芳， 高忠水. 二次函數(shù)圖象與表達中系數(shù)符號判斷問題[J]. 中學生數(shù)學（初中版）， 2019（6）：8-9.

[2]杜明全. “運用二次函數(shù)圖象討論系數(shù)的符號及其關系”解題策略[J]. 數(shù)學學習與研究， 2013（9）：111-112.

[3]姚紅蓮. 二次函數(shù)的圖象與字母系數(shù)的關系專題復習課[J]. 中小學數(shù)學（初中版）， 2021（Z2）：54-56.

[4]崔佳玉， 王秀閣. 在新函數(shù)的研究中促進數(shù)學活動經(jīng)驗的遷移——以“二次型絕對值函數(shù)的圖象和性質”研究為例[J]. 中國數(shù)學教育（初中版）， 2021（4）：27-30.