關于用尺規作拋物線切線的研究

黃發長

【摘要】中考數學試題中，平面直角坐標系中的三角形面積和二次函數最值是中考的壓軸題熱門考點，所以在初中數學教學中，教師要注重對學生總結能力與分析能力的培養，最終提高學生應對考試的能力。

【關鍵詞】拋物線；最值；切線；尺規作圖

在中考數學試題中，有一類考點一直是壓軸題熱門選項，它主要涉及平面直角坐標系中的三角形面積和二次函數最值兩個知識點。命題設計通常以拋物線上某動點為一頂點、拋物線和兩坐標軸相交的其中兩個點（一般在x軸、y軸上各取一個點）為另兩個頂點組成的三角形面積為考查對象，要求考生構建相關二次函數，利用二次函數最值解決有關三角形面積最大化等問題。對這類題作深入研究，會發現一些非常有價值的結論，把這些結論拿來再解相關中考題可以為分析解題思路找到捷徑，運用其中某些結論還可以嚴格作出過拋物線上任意點處的切線，這種以尺規作拋物曲線切線的方法可以當作用解析法通過求斜率來求切線的幾何法補充，并且，這種用尺規作拋物線切線的方法，相比用導數求拋物線切線的方法更直觀、快捷、實用，其意義顯而易見。

為后續行文需要，先介紹一個知識點：在平面直角坐標系中，“斜三角形”面積的一種計算公式。如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條垂線之間的距離叫△ABC的“水平寬”，用a表示，中間的垂線在△ABC內部截得的線段長叫△ABC的“鉛垂高”，用h表示。則△ABC的面積=×水平寬×鉛垂高，即（具體證明略）。

一、源題與啟發

1.樣例。如圖2，已知拋物線y=ax2+bx+3經過點A（-1，0）和點B（3，0），點C為拋物線與y軸的交點，若點E為直線BC上方拋物線上的一點，請求出△BCE面積的最大值，并指出此時點E的坐標。

分析與略解：易知拋物線為y=-x2+2x+3，下可設點E的坐標為（t，-t2+2t+3），過點E作EF∥y軸交線段BC于點F，如圖2，易知直線BC為y=-x+3，則F

（t，-t+3），而S△BCE=×OB×EF=×3×EF，顯然△BCE面積最大時，線段EF最長。接下來通過構建EF關于t的二次函數，即EF=-t2+2t+3-（-t+3），求此二次函數最值便可得EF長的最大值。經計算易得△BCE面積的最大值為，此時點E為（，）。

2.思考與啟發。上述樣例多次出現在中考壓軸題中，細心觀察其解會發現：當三角形（如樣例中的△BCE）面積取最大值時，動點橫坐標都“恰好”是拋物線與兩坐標軸交點橫坐標（如樣例中點B的橫坐標為3、點C的橫坐標為0）之“水平線段”（即為樣例中線段OB）中點的橫坐標（即樣例

中E點的橫坐標，為）。

這種現象是偶然的，還是確定的？多觀察一些類似壓軸題，發現上述結論看起來都是“確定成立的”，于是值得進行深入研究。在深入進行“嚴格推理”前，不妨先用“幾何畫板”作特例研究，從感性角度再“印證”一下前述發現的可能性。用幾何畫板先做如下畫圖研究：在同一直角坐標系中，先選擇均經過同樣兩點，且開口相同的幾條拋物線，然后連接這兩點，并找到這兩點的水平線段的中垂線與各個拋物線的交點，分別過這些交點作那兩點連線段的平行線，觀察這些平行線是否為相應拋物線的切線？觀察方法是：若平行線與相應拋物線除了交點外，沒有其他交點，則該平行線是相應拋物線的切線；否則不是切線。

1，下設直線x=1與這四條拋物線依次交于點E1、E2、E3、E4，分別過這些點作與線段BC平行的直線。容易觀察發現：每條直線與它對應的拋物線不存在除點E1、E2、E3、E4以外的其他交點，也就是說每條直線都是相應拋物線的切線。此時，根據兩平行直線間距離處處相等以及等積變換相關知識，不難證明“切點”是三角形（△BCEi（i=1，2，3，4））面積取大值時，拋物線上動點Ei所應到達的位置，換種說法，如圖3，動點Ei在直線BC上方拋物線上，當△BCEi面積最大時，其動點Ei一定是與直線BC平行的拋物線切線的切點。

二、拓展與研究

1.拓展研究一：（在樣例中，讓拋物線變化：只須開口向下、經過B、C兩點）。

結論：對任意開口向下，且同時經過B、C兩點的拋物線，在直線BC上方拋物線上都存在點E，使得

△BCE面積最大，并且點E始終是直線x=與拋物線的交點。

分析與略解：設拋物線為y=ax2+bx+c，由于經過B（3，0）、C（0，3）兩點，于是方程ax2+bx+c=0有一個根為3，且c=3，則32a+3b+3=0，即3a+b+1=0，所以b=-3a-1，則拋物線可化為y=ax2+（-3a-1）x+3，

易知直線BC為y=-x+3，下設點E的坐標為（t，at2+

（-3a-1）t+3），過點E作EF∥y軸交線段BC于點F，如圖2，易有F（t，-t+3），則EF=at2+（-3a-1）t+3-（-t+3）=at2-3a=a（t2-3）=a（t2-3+

（）2）-=a（t-）2-。即當t=時，線段EF

取得最大值（-）。由此可以看出，拋物線在變化

（任意）時，雖然線段EF的最大值和△BCE面積的最大值也跟著在變化，但使得線段EF取最大值、△BCE面積取最大值的動點E的橫坐標始終不

變，它始終在直線x=上，它的橫坐標取值只與兩點B（3，0）、C（0，3）有關。

2.拓展研究二：（在上述拓展基礎上，把0B=0C=3改為只需0B=0C）。

結論：拋物線y=ax2+bx+c與x軸、y軸分別交于B、C兩點，若0B=0C，如圖2，則：（1）點A的坐標

為（，0）；（2）當△BCE面積最大時，點E是直

線x=與拋物線的交點。

分析與略解：（1）易知C（0，c），由0B=0C，易

得B（c，0），即方程ax2+bx+c=0有一個根為c，則ac2+bc+c=0，即ac+b+1=0，所以b=-ac-1，則

有y=ax2+bx+c=ax2+（-ac-1）x+c＝（ax-1）

（x-c）。因此有x1=、x2=c，即點A的坐標為

（，0）。（2）易知直線BC為y=-x+c，可設點E的

坐標為（t，at2+（-ac-1）t+c），過點E作EF∥y軸交線段BC于點F，易有F（t，-t+c），則EF=at2+（-ac-1）t+c-（-t+c）=at2-ac=a（t2-c）=a

（t2-c+（）2）-=a（t-）2-，顯然△BCE

面積的最大時，點E是直線x=與拋物線的交點，

即點E是直線x=與拋物線的交點。

3.拓展研究三：（繼續拓展，無須0B=0C，只需滿足開口向下的拋物線與兩坐標軸正半軸有交點）。

結論：拋物線y=ax2+bx+c與x軸、y軸分別交于B、C兩點，如圖4，點E為直線BC上方拋物線上的一點，

當△BCE面積最大時，點E還是直線x=

與拋物線的交點。

分析與略解：設點A（x1，0）、點B（x2，0），易知C（0，c）下可設拋物線為y=a（x-x1）（x-x2）=ax2+a（-x1-x2）x+ax1x2，則有c=ax1x2，即a=，

所以，y=x2+（-x1-x2）x+c，可設點E的

坐標為（t，t2+（-x1-x2）t+c），過點E作

EF∥y軸交線段BC于點F，易有直線BC：y=·x+c，

則F（t，t+c），則EF=t2-t=（t-）2+

，顯然△BCE面積的最大時，點E是直線x=與

拋物線的交點，即點E是直線x=與拋物線

的交點，亦即當三角形面積取最大值時，任意拋物線上動點橫坐標等于拋物線和x軸交點橫坐標的一半。

4.拓展研究四：（在圖4的基礎上，過點E作EN∥BC）。

結論：如圖5，當△BCE面積的最大時，顯然直線EN為拋物線y=ax2+bx+c在點E處的切線。（證明略）

（注：為簡化敘述和后面應用的方便，不妨把點E叫做B、C兩點間“拋物線上的水平中點”；把直線EN叫做與拋物線上兩點B、C相關的“最值切線”。）

推論：事實上，上述結論中B、C兩點可以是拋物線上任意兩點，即當B、C兩點是拋物線上任意兩點時，其“拋物線上的水平中點”“最值切線”依然存在、成立。

三、歸納與應用

應用上述研究結論或思想方法，可以得到用尺規精確作過拋物線上任意一點的該拋物線的切線，這與利用導數求曲線上某點的斜率不同，可以看成是作切線的幾何化畫法，是對導數法求切線斜率的一種幾何化方法補充。在生活實踐中，類似拋物線的曲線均可采用這種尺規方法作相應曲線的切線，這種作線法簡潔實用。另外，應用上述研究結論或思想方法，可以重新審視相關中考壓軸題，得到“新”的解題途徑。

1.用求導或用尺規作拋物線上任意點處切線方法的比較。

例：過拋物線y=-x2+2x+3上的點（2，3）作該拋物線的切線。

（1）解析作圖法。對拋物線方程求導，易有y'=

-2x+2，則點（2，3）處的斜率k=-2，下設過點（2，3）處的切線方程是y=-2x+b，代入點（2，3）則b=7，即切線方程為y=-2x+7，它與y軸的交點為（0，7），則過點（2，3）、（0，7）易作出該切線（具體畫圖略）。

（2）尺規作圖法。設點（2，3）為E，通過逆向思考，要作出“最值切線”，關鍵在于尋找到拋物線上的兩個關鍵點B、C，而這兩點與“拋物線上的水平中點”在哪無關，也就是說作圖時，無須關注其橫坐標與縱坐標的具體數值，只須：如圖6，（1）過點E作鉛垂線EM；（2）在鉛垂線EM右側拋物線上任取一點，如取點B；（3）過點B作BH⊥EM于H，并延長到點D，使得DH=BH；（3）過點D作直線EM的平行線交拋物線于點C；（4）連結B、C兩點；（5）過點E作EN∥BC。則直線EN為過拋物線上點E處的切線，點E為與B、C兩點相關的“拋物線上的水平中點”，直線EN為“最值切線”。

上述作法完全是用無刻度的直尺和圓規可以完成的，所以可以稱之為尺規作圖法。下面考慮：這種作法是否與“上面（1）”中解析法作圖所得切線y=-2x+7一致？

這里不妨用“特殊值法”進行簡易說明。在尺規法作圖中，在取點B時沒有刻意選取其坐標值，換言之，點B的坐標是具有任意性的，但為后續“證明”方便，下面不妨設點B的橫坐標為3，由于點E（2，3）是“拋物線上的水平中點”，則易得C點橫坐標為1，把B的橫坐標3、C的橫坐標1分別代入拋物線y=-x2+2x+3，可得B（3，0）、C（1，4），則易得直線BC為y=-2x+6，于是直線EN可設為y=-2x+b，把點E（2，3）代入直線EN得b=7，即直線EN為y=-2x+7，這與解析法中得到過E（2，3）的切線方程是完全一致的。

特別值得一提的是，從這個特殊值法“證明”中，還可以看到點B（3，0）、點C（1，4）并非都是拋物線與坐標軸的交點，具有“任意性”，也就是說它印證了“二.4拓展研究四”中“推論”這個結論。

2.解壓軸題“新”思路舉例。

（2022重慶沙坪壩九年級期末·部分）在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c經過點A（-1，6）、B（2，0）

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點Р為直線AB上方拋物線上一動點，過點P作PQ⊥x軸，交AB于點Q，過點P作PM⊥AB于M，當線段PM的長度取得最大值時，求點Р的坐標和線段PM的長度。

分析與略解：（1）；（2）當線段PM的長度取得最大值時，亦即△ABP面積最大，此時點P為與兩點A、B相關的“拋物線上的水平中點”，由點A（-1，6）、B（2，0）知點P為直線x=與拋物

線的交點，所以（，）；易有直線的解析

式為，則Q（，3），S△ABP=·AB的

水平寬·PQ==·AB·PM=×·PM，所以

PM=。

評：這個解題方法與常規解法中構建線段PQ（或線段PM）與點P的橫坐標之二次函數、利用求解二次函數最值解題完全不同，它抓住了點P這個動點的不動性，即“當線段PM的長度取得最大值時”，點P是“拋物線上的水平中點”，所以解題過程簡潔明了。