激光跟蹤儀與機器人坐標轉換公共點的選取方法

徐福乾，范百興，黃 赫，段童虎，李慧敏，孫晨磊

(1.信息工程大學，鄭州 450001；2.鄭州信大先進技術研究院，鄭州 450001)

近年來，工業機器人作為現代制造業的核心裝備，憑借其穩定性強、可靠性高等特點，成為推動制造業發展的核心力量，機器人技術的發展與應用對國民經濟建設和國防建設具有重要意義[1]。工業機器人重復定位精度很高，但絕對定位精度較差，未經標定前的絕對定位精度通常為±2～3 mm，難以滿足精密零部件加工、航天器裝配、武器裝備生產等高端產業需求[2]。對工業機器人的運動學參數進行標定是提高其絕對定位精度的主流方法[3-6]。機器人運動學參數標定可分4個階段：建模、測量、參數辨識、誤差補償[7]。在機器人末端位姿誤差測量階段，常用激光跟蹤儀獲取機器人的末端位姿誤差[8-9]。進行誤差測量前，必須解決激光跟蹤儀測量坐標系與工業機器人基坐標系的統一問題。如何快速、準確獲取坐標系轉換參數是工業機器人應用領域的熱點問題之一。

針對激光跟蹤儀測量坐標系與工業機器人基坐標系的統一問題，張博等[10]采用機器人單軸運動與示教器讀數相結合的方法，利用機器人運動軌跡的幾何關系求解轉換參數，但該方法操作復雜，需要采集大量數據才可保證解算精度，全過程所需時間較長。向民志等[11]利用基于距離約束的方法標定出工具坐標系，再通過基于羅德里格矩陣的最小二乘迭代法進行坐標轉換參數求解，該方法能夠顯著提高轉換參數求解的效率和質量。馮曉波等[12]利用基于奇異值分解的最小二乘擬合算法對轉換參數進行求解。上述方法，均沒有闡述公共點的空間幾何分布及選點問題，在公共點空間幾何分布較密集時，容易出現解算參數不穩定、不可靠等情況。為此，文中提出了一種基于象限分布的公共點選取方法，該方法在原有的基于距離約束的工具中心點標定的基礎上，顧及了公共點空間幾何分布對轉換參數求解精度的影響。該方法只需在機器人工作空間內的示教點位中選取6個空間幾何分布合理的公共點，即可快速、準確的求解坐標轉換參數，具有穩定性強、精度高、效率高等特點，適合在工業機器人工作現場直接使用。

1 坐標系轉換方法

1.1 坐標系轉換系統

坐標系轉換系統中涉及到的硬件主要有激光跟蹤儀及其配套測量設備、工業機器人、輔助工裝等，如圖1所示。此外，還涉及到多個空間直角坐標系，定義在激光跟蹤儀上的坐標系為激光跟蹤儀測量坐標系，用{M}表示；定義在工業機器人安裝基座上的坐標系為機器人基坐標系，用{B}表示，該坐標系在機器人運動過程中始終保持穩定；定義在工業機器人法蘭末端上坐標系為法蘭末端坐標系，用{E}表示，該坐標系是工具坐標系的參考基準；定義在機器人法蘭末端安裝的工具上的坐標系為工具坐標系，用{T}表示，該坐標系的原點為工具中心點(Tool Centre Position，TCP)，TCP相對法蘭末端坐標系{E}固定不動，機器人以TCP作為參考點進行運動軌跡規劃。文中定義靶球中心P為工具中心點，靶球通過移動靶球基座與工業機器人法蘭末端實現固連。

圖1 測試系統模型

實驗過程中，激光跟蹤儀與工業機器人基座的相對位置關系始終保持穩定。控制機器人攜帶靶球在其工作空間內示教若干個不同點位，同時記錄在各點位處的示教器讀數及激光跟蹤儀測量讀數。

(1)

(2)

即

進一步展開得：

(4)

首先，利用基于距離約束的TCP標定方法，獲取TCP(靶球中心P)在法蘭末端坐標系{E}中的位置。然后，根據式(4)計算出TCP在機器人基坐標系{B}中的位置[15]。其次，考慮到公共點點位的空間幾何分布對轉換參數求解精度的影響，采用文中基于象限分布的公共點選取方法選取公共點，求取轉換參數。最后，利用未參與坐標轉換參數計算的其余示教點位進行坐標轉換，檢驗坐標轉換結果的質量。

1.2 TCP標定方法

由1.1所述可知，在進行坐標轉換之前，需要對TCP進行標定。實驗過程中，TCP相對于法蘭末端坐標系{E}穩定不動，TCP標定即獲取靶球中心P在法蘭末端坐標系{E}中的位置。

根據坐標變換原理，靶球中心P在機器人基坐標系{B}中的坐標可表示為：

(5)

(6)

(7)

眾所周知，空間中任意兩點，它們在同尺度的不同坐標系中坐標值可能不同，但兩點之間的距離在同尺度的不同坐標系中是相同的。因此，在j,k位置時，靶球中心P之間距離在機器人基坐標系{B}和激光跟蹤儀測量坐標系{M}中是相同的。即：

(8)

將式(5)代入上式可得：

(9)

(10)

進一步展開得非線性方程：

(11)

對式(11)通過一階泰勒級數展開，進行線性化處理，整理得到誤差方程形式為：

(12)

其中，

2 公共點選取

2.1 公共點對轉換參數解算的影響分析

坐標系轉換參數的求解精度與公共點選取密切相關，影響轉換參數求解精度的主要因素有公共點的精度、數量以及空間分布。

坐標轉換的精度主要取決于參與計算坐標轉換參數的公共點的測量精度，即由機器人示教器和激光跟蹤儀分別獲取的工業機器人每次運動停定后靶球中心P的三維坐標的精度。實驗所用激光跟蹤儀型號為Leica AT901-B，三維點坐標標稱測量精度為±(15 μm+6 μm/m)，采用直徑38.1 mm的RRR1.5"精密靶球作為反射棱鏡，配合該靶球在10 m工作范圍內，點位精度優于±75 μm。所用機器人為ABB IRB-4600型工業機器人，有效載荷40 kg，重復定位精度標稱為±0.06 mm，出廠前經過嚴格標定，其絕對定位精度在±1 mm左右。實驗過程中，激光跟蹤儀放置在工業機器人工作空間之外約1.5 m處，如圖2所示。激光跟蹤儀測量的點位精度優于±75 μm，該精度遠高于工業機器人絕對定位精度。因此，坐標轉換結果的好壞主要取決于工業機器人的絕對定位精度。

圖2 實驗系統

公共點數量也是影響坐標系轉換參數的因素之一。兩個空間直角坐標系轉換參數的解算，至少需要3個公共點。公共點數量過少時，公共點的點位誤差對轉換結果影響程度加深，容易造成解算結果不可靠。公共點數量一般為3～6個，不宜超過6個，因為公共點數量過多時，會額外增加計算的工作量，且對轉換參數的求解精度提高不明顯[16]。

在工程實際中，公共點的點位空間分布情況比較復雜，可能遇到公共點點位空間分布較為密集，公共點與轉換點距離較遠等情況[17]。一般地，坐標系轉換參數解算精度與參與計算的公共點的空間分布幾何強度呈正相關。公共點的點位精度和數量相同時，公共點空間分布較密集時，容易導致轉換參數解算過程中法方程的病態性。公共點分布越離散，空間幾何強度越好，求解精度越高，反之求解精度越低[18]。

2.2 基于象限分布的公共點選取方法

基于象限分布的公共點選取方法是沿著機器人基坐標系的X軸、Y軸，將機器人工作空間分為4個象限，如圖3所示。工業機器人安裝在自動導引運輸車(Automated Guided Vehicle，AGV)承載面上，AGV可攜帶工業機器人在空間內實現位移。實驗過程中，AGV展開4條液壓支腿，增大平臺與地面摩擦力，保證平臺的穩定性滿足實驗要求。

圖3 基坐標系象限劃分

基于象限分布的公共點選取方法主要顧及公共點的空間幾何分布對轉換結果的影響。根據公共點在工業機器人實際工作空間內不同象限中的分布情況，選取出分布較為離散的一組公共點參與坐標轉換參數計算，以提高轉換參數的求解精度。由2.1可知，為提高坐標轉換參數的求解精度，同時顧及操作和數據處理的難易程度，選取6個公共點作為解算起始數據。本次實驗中所用機器人的控制器對其作業空間存在一定程度運動限制，控制工業機器人在其作業空間的安全區域內示教22個位置(若無運動限制，可對稱均勻示教24個位置)，如圖4所示。從其中選取若干點作為解算坐標轉換參數的公共點，其余未參與轉換參數計算的點作為轉換點來檢核坐標轉換的精度。基于象限分布的公共點選取方法有以下幾個步驟：

圖4 示教點位分布圖

1)對全部示教點位進行重心化。由于激光跟蹤儀測量精度明顯高于機器人的絕對定位精度，故選取激光跟蹤儀測得的示教點坐標進行重心化。即求得全部示教點在激光跟蹤儀測量坐標系下的X,Y,Z坐標分量上的平均值，記重心點為G0。

2)求各示教點至重心點G0的距離。計算各個示教點至經過重心化后獲得的重心點G0之間的距離。

3)在象限Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ中分別選取1個距離重心點G0最遠的點作為公共點。選擇公共點時要令相鄰象限中的公共點在Z軸上高度不同。記象限Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ中選取的公共點依次為1、2、3、4號公共點。

4)將象限Ⅰ、Ⅱ中選擇的兩個公共點的坐標取平均，記為G1。在剩余示教點中選擇一個距離G1點最近的點，記為5號公共點。

5)將象限Ⅲ、Ⅳ中選擇的兩個公共點的坐標取平均，記為G2。在剩余示教點中選擇一個距離G2點最近的點，記為6號公共點。

利用上述基于象限分布的公共點選取方法，選取出的公共點為P3，P5，P7，P13，P15，P17，記該組公共點為象限分布組合。另隨機選擇兩組與上述公共點空間分布不同的示教點作為公共點隨機組合一(P3，P5，P7，P9，P10，P19)、隨機組合二(P1，P13，P15，P17，P20，P21)，進行對比實驗。利用各公共點組合求解出轉換參數后，為表示其精度，利用未參與轉換參數計算的其余示教點(P2，P4，P6，P8，P11，P12，P14，P16，P18，P22)作為轉換點進行坐標轉換，檢驗轉換結果的精度。

3 實驗與結果分析

坐標轉換的實質即獲取激光跟蹤儀測量坐標系與機器人基坐標系之間的相對位姿關系。實驗過程中，應確保激光跟蹤儀與機器人基座的相對位姿保持穩定。實驗前，已使用激光跟蹤儀對工業機器人不同運行狀態下的AGV平臺的穩定性進行了測試，其穩定性滿足坐標轉換實驗要求。實驗過程中，首先，通過TCP標定原理，計算出靶球中心P在機器人法蘭末端坐標系{E}中的位置；然后，通過3組公共點進行坐標系轉換，采用最小二乘法求解轉換參數；最后，用未參與轉換參數計算的示教點位進行轉換，分析轉換結果的精度。

3.1 TCP標定

TCP標定的目的是獲取靶球中心在工業機器人法蘭末端坐標系{E}中的位置。由1.2可知，求解TCP的位置，至少需要測量機器人工作空間內的3個示教點。為進一步提升TCP求解精度以及轉換參數的求解效率，使用解算轉換參數的公共點作為TCP解算的數據，并利用1.2所述TCP標定方法解算TCP的位置。3組公共點的激光跟蹤儀測量坐標及對應的機器人示教器讀數分別如表1、表2、表3所示，各表中A，B，C分別表示法蘭末端坐標系繞機器人基坐標系Z軸、Y軸和X軸的旋轉角度。

表1 象限分布組合中各點激光跟蹤儀測量坐標及示教器讀數

表2 隨機組合一中各點激光跟蹤儀測量坐標及示教器讀數

表3 隨機組合二中各點激光跟蹤儀測量坐標及示教器讀數

3.2 坐標系轉換實驗

表4 象限分布組合中各點在基坐標系中坐標 mm

表5 隨機組合一中各點在基坐標系中坐標 mm

表6 隨機組合二中各點基坐標系中坐標 mm

3.3 轉換精度分析

將轉換點轉換后的點位誤差和X,Y,Z方向上的轉換較差絕對值的平均值作為指標來衡量基于象限分布的公共點選取方法的可行性。

表7 公共點象限分布組合對應實驗中轉換點坐標 mm

表8 公共點隨機組合一對應實驗中轉換點坐標 mm

表9 公共點隨機組合二對應實驗中轉換點坐標 mm

將經過坐標轉換后得到的轉換點在激光跟蹤儀測量坐標系下的坐標與激光跟蹤儀直接測得的轉換點的坐標作差，分別得到3組公共點組合對應實驗的轉換點較差。3組公共點組合對應實驗中各轉換點在X，Y，Z方向上的較差及各方向上較差絕對值的平均值如表10所示，點位較差分布如圖5所示。

表10 各公共點組合實驗轉換點較差 mm

圖5 轉換點較差分布圖(mm)

進一步統計3組公共點組合實驗的轉換點X，Y和Z坐標分量的轉換精度以及坐標轉換的點位精度，得到的統計結果如表11所示。

表11 坐標轉換精度統計 mm

由表10、表11可知，公共點象限分布組合對應實驗中轉換點上轉換較差絕對值的平均值分別為0.45 mm、0.49 mm、0.42 mm，相對于隨機組合一對應實驗中轉換點X，Y和Z方向上轉換較差絕對值的平均值0.53 mm、0.54 mm、0.80 mm和隨機組合二對應實驗中轉換點X，Y和Z方向上轉換較差絕對值的平均值0.82 mm、0.67 mm、0.68 mm的轉換精度更好，且在X，Y和Z3個方向上的數值更加均衡。由圖5也可看出，公共點象限分布組合的轉換點較差分布相對于隨機組合一和隨機組合二更加集中，即坐標轉換的穩定性更強。

公共點象限分布組合對應實驗中各轉換點在X，Y和Z坐標分量上RMS誤差分別為0.52 mm、0.58 mm、0.50 mm，綜合RMS誤差為0.93 mm。公共點隨機組合一對應實驗中各轉換點在X，Y和Z坐標分量上RMS誤差分別為0.60 mm、0.70 mm、0.92 mm，綜合RMS誤差為1.30 mm。公共點隨機組合二對應實驗中各轉換點X，Y和Z坐標分量上RMS誤差分別為1.02 mm、0.92 mm、0.80 mm，綜合RMS誤差為1.59 mm。隨機組合一對應實驗中轉換點綜合RMS誤差約為象限分布組合對應實驗結果的1.4倍，隨機組合二對應實驗中轉換點綜合RMS誤差約為象限分布組合對應實驗結果的1.7倍。公共點象限分布組合對應實驗中各轉換點在各坐標分量上的誤差和點位誤差均比隨機組合一和隨機組合二對應實驗的轉換誤差小，亦說明其轉換質量較好。

綜上所述，公共點象限分布組合對應實驗的轉換結果的質量優于隨機組合一和隨機組合二的轉換結果的質量，公共點象限分布組合求解的坐標轉換參數的精度更高，其穩定性也更強。

4 結束語

文中提出了一種激光跟蹤儀與機器人基坐標系轉換參數求解過程中所需公共點的選取方法。該方法顧及公共點空間幾何分布對轉換參數求解精度的影響，在公共點精度一定的情況下，僅需6個空間幾何分布較合理的公共點，即可快速求解出激光跟蹤儀坐標系與機器人基坐標系的轉換參數。實驗表明，采用基于象限分布的公共點選取方法所選取的公共點，解算出的轉換參數的精度優于隨機公共點組合求解出的轉換參數的精度，且穩定性更強，在實際工程應用中具有良好的有效性和可行性，適合一般工業現場使用。