一種帶有服務承諾的隨心飛產品的設計研究

于海躍 馬遠征 鄭歡

摘 要：本文以疫情期間國內航空公司推出的有預留座位數保證的隨心飛產品為背景，研究了一個兩階段收益最大化問題：第一階段決策隨心飛產品的定價與預留座位數量，第二階段考慮機票銷售過程中的動態容量控制決策。針對第二階段的問題，基于動態規劃方法構建最大期望收益模型，使用確定型線性規劃對該模型進行近似和簡化，并證明了漸近最優性。原問題繼而被轉化為一個混合整數非線性規劃問題，利用改進的McCormick包絡方法對其線性松弛后進行求解。數值算例發現，通過合理的產品設計，在普通機票需求較高的情況下，隨心飛產品仍然可以為航空公司帶來額外收益，這個結果肯定了后疫情時代隨心飛產品的存在價值。數值算例還給出了最優預留座位決策與普通機票價格、隨心飛產品需求函數參數之間的關系，為隨心飛產品的設計提供了一定的理論指導。

關鍵詞：收益管理;航空產品設計;定價;隨心飛

中圖分類號：F224.3文獻標識碼：A文章編號：2097-0145（2022）02-0026-08doi：10.11847/fj.41.2.26

Design Research on an “All-you-can-fly” Product with Service Commitments

YU Hai-yue， MA Yuan-zheng， ZHENG Huan

（Antai College of Economics and Management， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200030， China）

Abstract：During the covid-19 pandemic， some airlines in China introduced “all-you-can-fly” （AYCF） products that guarantee the number of reserved seats on each flight. We propose a two-stage revenue management problem for the AYCF product. The model decides the selling price and the number of reserved seats in the first stage and allocates the flight seats during the selling period in the second stage. The second stage problem is first formulated as a dynamic programming （DP） model and then approximated by a deterministic linear programming model （DLP）. The DLP is asymptotically optimal to the DP model. The two-stage problem is then formulated as a mixed-integer non-linear programming model. We adopt an improved McCormick envelope method to solve the model approximately. The numerical experiment shows that the AYCF can bring extra revenue with proper design， which affirms the value of AYCF in the post-pandemic era. The numerical experiment also gives insights by showing the relationship between the optimal

design decisions and parameters of both ordinary demand and AYCF demand.

Key words：revenue management; airline fare product design; pricing; all-you-can-fly

1 引言

隨著新冠疫情的擴散，世界各地采取的旅行限制和封鎖政策大大影響了航空公司的運營。根據中國民用航空局發布的行業發展統計公報，2020年民航行業完成旅客運輸量41777.82萬人次，比上年下降36.7%。2020年6月，國內疫情控制趨于穩定，出行限制逐漸放松，但出行需求依舊低迷。為刺激市場，國內各大航空公司相繼推出隨心飛產品：購買隨心飛產品后，消費者可在產品有效期內免費、多次兌換符合條件的機票。由于隨心飛產品的發售價格遠低于其服務內容的市場價格，該類產品一經發售立即得到市場熱捧。在隨心飛上市初期，受疫情影響，飛機座位供過于求，因此隨心飛用戶和普通乘客的出行需求均能夠得到妥善滿足。2021年，國內航空出行逐漸恢復，隨心飛用戶與普通機票乘客之間的資源沖突愈發明顯。相較于“免費”乘機的隨心飛用戶，航空公司更愿意將座位資源分配給能帶來機票收益的普通乘客，導致部分隨心飛用戶面臨“兌換難”的問題。后疫情時代，為刺激消費而設計的隨心飛產品是否還有繼續存在的價值？航空公司是否可以通過優化產品設計保證隨心飛用戶的權益和普通乘客市場的收益？本文針對這些問題進行分析。

隨心飛產品對用戶可兌換機票范圍主要有三類限制：可兌換數量、可兌換時間和可兌換航班。市場中常見的隨心飛產品多為對單次航班可兌換座位數量進行限制和要求隨心飛用戶在飛機起飛前m天確認行程（如春秋航空“想飛就飛”產品、吉祥“暢飛卡”產品等）。基于這兩類限制，本文以春秋航空“想飛就飛”產品為例研究一個隨心飛產品設計的兩階段收益管理問題。決策包括第一階段的隨心飛產品銷售階段的產品定價和預留座位數量決策，以及第二階段的機票兌換和銷售階段針對隨心飛用戶及多個票價等級下普通乘客的容量控制。E1D95BC9-9586-4421-9904-D3C99C4F49C0

產品設計是一個復雜的系統工程，其復雜性主要體現在產品市場環境（如同類產品競爭、需求不確定性等），其系統性主要體現在設計過程（包括市場調查、產品策劃、概念設計、細節設計、評估和改進、產品提升等流程）。為保證新產品的成功，產品設計者既要考慮產品特征與市場環境的交互作用，又要綜合設計過程中的上游流程的約束和下游流程的反饋作出系統性決策。機票是一種典型的具有容量和時間限制的服務型產品，屬于收益管理領域的研究重點。其產品設計需要基于容量和時間進行決策，本身就是一類復雜的研究問題。而創新型機票產品市場環境更復雜，導致其產品設計難度更大。本文希望結合現有文獻中收益管理的研究成果，對創新型機票產品的設計決策進行優化。

隨心飛產品作為疫情時期的航空公司在產品設計上的積極探索，顯示了較強的市場活力，但相關研究還很有限。本文以隨心飛產品為背景，對該類產品細節設計決策（價格和容量）進行優化，對新產品在不同市場環境下的期望收益進行評估。據作者所知，本文是第一篇以隨心飛產品為背景的收益管理研究，這對創新型服務產品設計和運營有著積極意義。在方法上，我們建立了以最大化收益為目標的非線性整數規劃模型，利用McCormick包絡[1]對該模型中的雙線性項進行線性化松弛，并使用Castro[2]的算法優化求解。通過數值算例分析，我們發現，即使在普通機票需求較高的后疫情時代，通過合理的產品設計，隨心飛產品仍然可以為航空公司獲取額外收益。

2 文獻綜述

本文研究的問題與市場營銷和收益管理兩個領域的研究相關：隨心飛產品與市場營銷文獻中的訂閱服務和超前銷售模式具有相似性，飛機座位的分配則與航空業的收益管理研究高度相關。

從隨心飛產品的整個有效期角度看，不限制總消費次數的特點與訂閱服務相似。訂閱服務是針對重復性消費的一種銷售模式，與之相對應的是按次（量）收費的銷售模式。Randhawa和Kumar[3]研究了租賃行業中兩種銷售模式的最優定價和庫存水平決策，認為訂閱模式可以通過降低市場需求波動來增加收益。Cachon和Feldman[4]從排隊論角度對兩種銷售模式進行比較，認為即使在有擁堵的系統中，訂閱策略仍然可以比按次收費策略獲得更多利潤。上述結論對于“隨心飛在后疫情時代的存在價值”具有積極意義，但這些文獻主要討論訂閱或按次收費兩種策略單獨使用的情況，而在本文討論的背景下，隨心飛產品與普通機票產品兩種銷售形式是共存的，因此并不能直接使用這些結論。

從單次航班角度看，每架飛機上的隨心飛座位數量受限，這與營銷文獻中對一次性超前銷售的容量控制相似。在超前銷售的背景下，購買和消費兩個概念是有區別的[5]。整個銷售過程分為兩個階段：超前銷售階段和現貨銷售（消費）階段。超前銷售階段中，顧客僅做購買決策而不消費（使用）所購買的服務，因此顧客的購買行為取決于對未來消費的期望效用;而現貨銷售階段的顧客購買行為與消費行為是同時進行的，購買決策取決于已實現的消費效用。盡管在傳統意義上，普通的飛機票銷售模式本身也可以被看做是超前銷售[6]，但隨心飛產品的銷售是以普通機票產品為基準的超前銷售：當顧客購買隨心飛產品時，是基于對未來較長一段時間內（以春秋航空公司的“想飛就飛”產品為例，該產品有效時間為183天，而國內機票預售最早時間約為90天）的出行需求的期望效用來決定的;而普通乘客在購買機票時一般是先有了明確的出行需求再決定購買，因此可以認為購買決策是基于已實現的效用。Xie和Shugan[7]認為在容量相對較小時，對超前銷售進行容量控制是最優策略。Yu等[8]考慮了顧客對產品估值的差異性程度對超前銷售最優策略的影響，進一步證實了Xie和Shugan[7]的結果。然而，營銷文獻中對超前銷售容量限制的討論主要關注在定性分析上，定量分析還需參考收益管理領域的文獻。

航空業的收益管理研究最早可以追溯到1970年代[9]，關于飛機座位的容量控制問題的研究快速發展，從兩個票價等級到多個票價等級，考慮需求相關性、超量預定、升艙等復雜情況下的最優容量控制研究成果豐碩[10～14]。傳統的機票收益管理中常常利用售票時間、飛機艙位和附加服務等對顧客進行細分，使用預定限制或投標價格[15，16]等策略，對不同的細分顧客群體進行容量控制。其中投標價格策略本質上是一種閾值策略，根據當前剩余資源的邊際機會成本（議價能力），為單位需求的投標價格設置準入門檻。傳統的機票收益管理背景下，僅考慮將座位分配給不同機票價格種類下的普通乘客，而本文還考慮了實際投標價格為0的隨心飛用戶。我們基于隨心飛產品的設計參數，計算隨心飛用戶兌換機票的邊際收益，實現隨心飛用戶和普通機票乘客議價能力的比較。在此基礎上，我們刻畫了隨心飛背景下容量控制問題最優策略的結構。

3 問題描述和模型構建

3.1 問題描述

研究問題描述如下：航空公司以最大化收益為目標，進行兩階段的收益管理決策。第一階段，航空公司在機票銷售前，預先向消費者提供隨心飛產品。該產品價格為ffly。用戶購買后可以在有效期范圍內不限次數地乘坐指定航班出行。協議規定用戶需在航班起飛日期的m天前完成申請兌換，每趟航班上隨心飛系列產品可兌換數量不低于cfly張，先兌先得。我們建立一個模型來刻畫隨心飛產品價格以及預留座位數對該產品銷量的影響，即隨心飛產品銷量gfly是ffly和cfly的函數。第二階段，航空公司進行容量控制，具體地，航空公司將機票銷售期分為兩個階段：（1）航空公司確定艙位在隨心飛用戶和普通乘客之間的分配;（2）航空公司確定剩余座位在普通乘客之間的分配。符號說明如表1所示。

Ai是一個二維向量，表示第i類乘客消耗的資源數，其中第一個元素為消耗的總座位資源，第二個元素為消耗的普通座位資源，Ai=（1，1），i=1，…，n（1，0），i=n+1，第n+1類乘客為隨心飛用戶。

uu∈{0，1}n+1，其中ui=1表示如果第i類乘客在該周期到達，航空公司接受其購票要求，反之，ui=0。決策u需要滿足容量限制，即：u∈Ustotal，sord：={u∈{0，1}n+1：（stotal，sord）Aiui，i∈I}。E1D95BC9-9586-4421-9904-D3C99C4F49C0

參考收益管理中傳統的獨立需求模型[17]設置，暫時不考慮季節性因素的影響。假設：每類乘客在同一階段不同周期的到達率相同，即pt，i，j=pi，j，j=1，2，i∈I，t∈{1，…，Г}，pi，j為第i類乘客在第j階段的到達率;隨心飛用戶在每一階段出現的概率相同，即αt=α/Γ1，t∈{1，2，…，Γ1}。此外，收益管理中研究者們常用仿射函數刻畫價值與狀態向量的關系[18，19]，參考這些研究，我們假設gfly是ffly和cfly的線性函數，即gfly（ffly，cfly）=β0+β1ffly+β2cfly，其中gfly隨ffly的增加遞減，gfly隨cfly的增加遞增。

當乘客需求數小于飛機容量時，接受所有乘客即可;當乘客需求數超過飛機容量時，如何有效地進行容量管理是至關重要的。為保證問題的重要性，我們提出以下研究假設：普通乘客總需求期望數不小于飛機容量，即∑i∈I[pi，1Γ1+pi，2（Γ-Γ1）]C;隨心飛用戶的期望需求數不少于預留座位數，即α×gfly（ffly，cfly）cfly。

3.2 模型構建

基于以上符號說明與假設，構建第一階段的優化問題

其中目標函數的第一部分為隨心飛產品帶來的收益，第二部分為普通機票銷售帶來的收益，y（ffly，cfly）為每趟航班機票銷售的平均收益。該階段的決策是隨心飛產品價格和預留座位數。

第二階段的航班容量控制問題可以用隨機動態規劃模型表述，模型為

給定（stotal，sord）和u，以pi，j的概率，第t期的收益為riui，第t+1期的艙位數為

（stotal，sord）-Aiui;以1-∑i∈{1，…，n+1}pi，j的概率，第t期沒有乘客到來，此時第t期的收益為0，第t+1的艙位數為（stotal，sord）。Γ1+1期起，不再需要為隨心飛用戶預留座位，因此有sord=stotal。該動態規劃模型中，狀態為（stotal，sord），行動為u，回報函數為Vt（stotal，sord）。當期無顧客到達時，系統狀態不變;當期有第i類顧客到達時，狀態轉移方程為（stotal，sord）=（stotal，sord）-Aiui，其中等號左邊是下期系統狀態，等號右邊是當期系統狀態減去當期消耗座位數。容易得出，航空公司的最優容量控制決策為

ut，i（stotal，sord）=1，（stotal，sord）Ai，riVt+1（stotal，sord）-Vt+1（stotal，sord-Ai）0，其他t∈{1，…，Γ}，i∈{1，…，n+1}，（stotal，sord）∈St

但隨機動態規劃中狀態空間的高維性導致了貝爾曼維度詛咒（Bellmans curse of dimensionality）[20]，使得上述兩階段問題難以求解。因此我們借鑒文獻中的分析方法，用確定性線性規劃（Deterministic linear programming， DLP）[21]近似第二階段的隨機動態規劃，將第二階段問題描述為

（DLP） yDLP（ffly，cfly）：=maxx∑ni=1[ri（xi，1+xi，2）]

s.t.xi，1pi，1×Γ1， i=1，…，n（4）

xflycfly（5）

xflygfly（ffly，cfly）×α（6）

∑ni=1xi，1+xfly+∑ni=1xi，2C（7）

xi，2pi，2×（Γ-Γ1）， i=1，…，n（8）

xfly，xi，1，xi，20， i=1，…，n（9）

xfly，xi，1，xi，2∈N， i=1，…，n（10）

其中目標函數是最大化航班的收益。約束（4）是第一階段普通乘客接收數不超過期望需求數的限制;約束（5）是隨心飛用戶接收數限制，隨心飛用戶的需求數大于等于預留座位數時，隨心飛用戶接收數不能少于預留座位數;約束（6）是隨心飛用戶接收數不超過期望需求數的限制;約束（7）是容量限制;約束（8）是第二階段普通乘客接收數不超過需求數的限制。下面的定理證明了問題（DLP）是原（DP）問題的漸近最優近似。

定理1 limθ→∞1θyDP*θ=

limθ→∞1θyDLPθ=yDLP。

證明 在該定理證明過程中，若無特殊聲明，i=1，…，n，j=1，2。定義x*i，j和x*fly為問題（DLP）的最優解，（θ-DLP）問題是將原（DLP）問題中容量C和總周期數Γ分別增加為θC和θΓ，可以得到θx*和θyDLP分別是（θ-DLP）問題的最優解和最優值，第二個等號得證。

對于θ規模的隨機問題，我們構造一個接收乘客的策略μ：每種普通乘客的接收數量不得超過θx*i，j，隨心飛用戶的接收數量不得超過θx*fly。則普通乘客的實際接收數量Ni，j=min{Di，j，θx*i，j}，隨心飛用戶的實際接收數量Nfly=min{Dfly，θx*fly}，其中Di，j和Dfly分別為普通乘客和隨心飛用戶的需求數。可得μ是一個可行的接收策略，其對應的樣本路徑收益為

∑2j=1∑ni=1riNi，j=∑2j=1∑ni=1rimin{Di，j，θx*i，j}

等式兩邊除以θ并對θ取極限，有

limθ→∞1θ∑2j=1∑ni=1riNi，j=limθ→∞1θ∑2j=1∑ni=1rimin{Di，j，θx*i，j}

=limθ→∞∑2j=1∑ni=1rimin{1θDi，j，x*i，j}

=∑ni=1rimin{pi，1×Γ1，x*i，1}+∑ni=1rimin{pi，2×（Γ-Γ1），x*i，2}

=∑ni=1ri（x*i，1+x*i，2）=yDLPE1D95BC9-9586-4421-9904-D3C99C4F49C0

其中第三個等式源自大數定理和最小函數（min）的連續性。因此，策略μ的規模收益強收斂到上界yDLP。推出limθ→∞1θyDP*θ=yDLP。則定理得證。

基于線性需求函數，我們可以將原兩階段問題重構為

（P）maxffly，cfly，xffly×（β0+β1ffly+β2cfly）+η∑ni=1[ri（xi，1+xi，2）]

s.t. cfly（β0+β1ffly+β2cfly）×α

xi，1pi，1×Γ1， i=1，…，n

xflycfly

xfly（β0+β1ffly+β2cfly）×α

∑ni=1xi，1+xfly+∑ni=1xi，2C

xi，2pi，2×（Γ-Γ1）， i=1，…，n

xfly，xi，1，xi，20， i=1，…，n

xfly，xi，1，xi，2∈N， i=1，…，n

0ffly

0cflyC

4 模型的分析和求解

4.1 模型的分析

命題1 x*fly=cfly。

證明 采用反證法，假設f*fly，c*fly，x*fly，x*i，1，x*i，2，i∈I為問題（P）的最優解，且x*fly>cfly。存在一組解x′*fly=cfly，f′*fly=f*fly，c′*fly=c*fly，∑ni=1（x′*i，1+x′*i，2）=C-x′*fly，其中x′*i，jx*i，j，i∈I，j=1，2，使得

f′*fly×（β0+β1f′*fly+β2c′*fly）+η∑ni=1[ri（x′*i，1+x′*i，2）]>

f*fly×（β0+β1f*fly+β2c*fly）+η∑ni=1[ri（x*i，1+x*i，2）]

因此，x′*fly優于x*fly，存在矛盾。命題得證。

命題2 每增加一個cfly，航空公司總收益增加（β22+2β22cfly+2β2β0）/（-4β1），即：對于每趟航班來說，隨心飛用戶帶來的邊際收益為rfly=（β22+2β22cfly+2β2β0）/（-4ηβ1）。

證明 給定cfly，隨心飛用戶帶來的收益為maxfflyfflygfly=β1f2fly+（β2cfly+β0）ffly，即（β2cfly+β0）2/（-4β1）。每增加一個cfly，航空公司總收益增加（β22+2β22cfly+2β2β0）/（-4β1）

。

對于每趟航班來說，隨心飛用戶帶來的邊際收益為總收益增加數除以總航班數，命題2得證。

命題3 給定ffly和cfly時，最優解x*1，x*2，…，x*fly，…，x*n滿足

x*i=di，i=1，…，k

x*fly=min{C-∑ki=1x*i，dfly}，if∑ki=1x*i

x*i=di，if∑ti=1x*i

C-∑t-1i=1x*i，if∑t-1i=1x*i

其中r1r2…rkrflyrk+1…rn，xi為第i類顧客的總接收數，xi=xi，1+xi，2，di為第i類顧客的需求數，di=pi，1×Γ1+pi，2×（Γ-Γ1），dfly=gfly×α，rfly為隨心飛用戶的邊際收益，可由命題2得到。

證明 該命題與Cormen等[22]針對背包問題所提出的貪心算法思路相近，即將物品按單位價值（物品價值/物品重量或體積）降序排序，然后逐個嘗試是否能放進背包而不超過背包容量，直到遇到無法放入背包的物品結束。當物品重量或體積相等時，該算法得到最優解。此處可理解為航空公司接收邊際效益更高的顧客，由反證法可證。

4.2 模型的求解

可以看出，問題（P）是一個難解的混合整數非線性規劃問題。本文采用Castro[2]于2015年提出的改進McCormick方法將問題重構，基于Matlab2018b，調用Gurobi求解器對問題（P）進行求解。具體地，首先應用經典McCormick包絡算法求解問題（P），即將問題（P）的雙線性項fflycfly用w替代，并對問題（P）增加約束wfflyc+fcfly-

cf，wffly+cfly-，wffly+fcfly-f和wfflyc+cfly-c進行求解，得到目標值z′。接下來，z′在Castro算法中作為初始值，以求得更精確的解，步驟為：（1）基于z′，縮小cfly的可行域;（2）將cfly的可行域劃分為多個小分區;（3）對小區間進行剪枝，減小問題的規模;（4）基于上述結果，求解包含多個小區間的混合整數非線性規劃，得到最終解。

5 數值算例與分析

本節主要探討了不同情形下（如：普通乘客收益r、普通乘客到達率p、隨心飛用戶相關參數α，β0，β1，β2發生變動時）航空公司決策和收益的變化。數值算例相關的參數基本設定如下：假設普通乘客分為高、低收益兩類（分別用H和L表示），即n=2，pH，1=0.05，

pL，1=0.5，pH，2=0.6，pL，2=0.05，rH=2000，rL=200，其他參數設定為α=1/12，β0=1200，β1=-4，β2=200，m=5，Γ=24×60，Γ1=24×55，C=180，η=186×2，=6000，其中C，η，的取值以春秋航空公司“想飛就飛”產品為例，n，p1，p2，r，α，β0，β1，β2，Γ，Γ1在實際中可以通過航空歷史數據進行估計得到。

5.1 普通乘客市場的影響

（1）低收益乘客相對價值E1D95BC9-9586-4421-9904-D3C99C4F49C0

采用不同的rL值，保持其它參數不變，rL取值范圍為[200，1900]，共20個算例，模擬航空公司決策與低收益乘客邊際收益的關系。圖1（a）表示，隨著rL的增加，隨心飛用戶預留座位數先不變，再下降，最后繼續保持不變趨勢;圖1（b）表示，隨心飛用戶接收人數等于隨心飛用戶預留座位數，而隨著rL的增加，高收益乘客接收人數不變，低收益乘客接收人數先不變，再上升，最后繼續保持不變趨勢。由命題2和3可得隨心飛用戶的邊際收益最大為1291，小于高收益乘客的邊際收益（2000）。則航空公司優先把座位分給高收益客戶，高收益客戶需求數為138，剩余42個座位。此時對應的隨心飛用戶的邊際收益最大為368.66，與低收益客戶的邊際收益進行權衡。低收益客戶的邊際收益高于隨心飛用戶的邊際收益時，航空公司優先把座位分給低收益客戶;否則反之。

（2）高收益乘客市場份額

采用不同的pH，1值，保持其他參數不變，模擬航空公司決策與高收益乘客第一階段到達率的關系。算例分析中，pH，1取值范圍為[0，0.085]，每隔0.005為一個算例，結果如圖2（a）所示。與圖1結果相似，高收益乘客具有最高的議價能力，因此航空公司優先分配座位給高收益乘客。隨著高收益乘客到達人數的增加，可分配給隨心飛乘客的座位數不斷下降。由命題2分析可得：此時cfly（即xfly）減少導致隨心飛用戶的邊際收益下降。當pH，1較小時，隨心飛用戶的邊際收益大于等于低收益乘客的邊際收益，航空公司優先將剩余座位分配給隨心飛用戶。隨著pH，1不斷增加，隨心飛用戶的邊際收益不斷下降。當隨心飛用戶的邊際收益小于低收益乘客的邊際收益時，如圖2所示pH，10.075時，航空公司優先將剩余座位分配給低收益乘客。

圖2（b）展示了航空公司收益隨pH，1的變化情況，其中藍色線為有隨心飛產品的情況下航空公司的收益，對照組紅色線為沒有隨心飛產品的情況下航空公司的收益，結果顯示隨心飛產品能為航空公司帶來額外的收益。隨心飛產品是疫情的衍生品，可以觀測到pH，1較大時，隨心飛產品也能帶來一定的額外收益，說明在后疫情時代該產品也具有一定的價值。

5.2 隨心飛用戶特征的影響

本節對不同隨心飛用戶參數下的航空公司決策進行數值分析。首先從隨心飛用戶購買數受隨心飛產品協議中預留座位數和價格的影響和市場中潛在的隨心飛用戶數這些角度進行研究;其次，分析隨心飛用戶在每一期出現的概率的變化對航空公司接收乘客決策的影響。主要參數假設如下：β1∈[0，20]，β2∈[0，400]，β0∈[0，9500]，α∈[0，0.1]。結果如圖3～4所示。

（1）市場敏感度

隨心飛用戶的相關參數反映其議價能力。圖3（a）表明，β1越小，用戶對價格越敏感，隨心飛用戶預留座位數越少。圖3（b）表明，β2越大，用戶對預留座位數越敏感，隨心飛用戶預留座位數越多。圖3（c）表明，β0越大，潛在隨心飛用戶越多（固有市場越大），隨心飛用戶的議價能力越大，隨心飛用戶預留座位數越多。圖3（d）～（f）為航空公司權衡不同類型乘客的邊際收益（議價能力）分配座位數。

（2）市場份額

圖4（a）表明，α較小時，隨心飛用戶需求數近似為零，為保證預留座位數不高于隨心飛用戶需求數，預留座位數為0;α足夠大時，可以保證一定的隨心飛用戶需求數，此時隨心飛用戶參與議價，由于隨心飛用戶的邊際收益不受α影響，因此，α增加，隨心飛用戶的議價能力不變，分配給隨心飛用戶的座位數不變，如圖4（b）所示。

6 總結與展望

服務型產品設計是工程管理中的重要內容。本文通過定量分析，對隨心飛這一創新服務型產品的設計決策優化提供了理論依據。該研究也可以應用到其他具有容量限制的服務型產品設計優化中，例如：酒店“隨心住”年卡設計，高鐵定期票設計等。以春秋航空隨心飛產品為背景，本文考慮一個兩階段決策問題：第一階段的產品設計決策和第二階段機票售賣過程中的動態容量控制決策。研究發現，通過合理的產品設計，隨心飛仍然可以在出行需求正常化的后疫情時代為航空公司帶來額外收益。數值算例給出了隨心飛產品最優預留座位數量與隨心飛用戶參數之間的關系。如用戶對隨心飛產品價格越敏感，隨心飛用戶的議價能力越弱，對應最優預留座位數量越少;而用戶對預留座位數量越敏感，其議價能力越強，對應最優預留座位數量越多。這些結論從側面強調了需求調查對產品設計的重要性。對航空公司來說，傳統的市場細分條件是根據機票定價來實現的，機票價格決定了對應顧客的邊際收益或議價能力。隨心飛產品提供了新的市場細分條件，我們在分析中對隨心飛產品用戶的邊際收益進行刻畫，并將其與普通乘客的邊際收益進行比較，實現了隨心飛用戶和普通乘客對航空公司收益價值的判斷。在方法上，本文應用確定性整數規劃對動態規劃模型進行重構，使用改進的McCormick包絡方法對混合整數非線性規劃問題進行松弛，為復雜的原問題提供了高質量的求解。

本研究基于一些假設條件，未來可對這些條件進行放松，建立更符合現實場景的問題。如，本文假設乘客到達率是固定值，但現實中機票需求具有季節性波動。在這種背景下，隨心飛產品在設計上是否要作出調整（如：是否要約束其在節假日等需求高峰期的兌票權限等），這也是一個值得思考的問題。此外，本文假設每次航班隨心飛用戶的期望需求不少于預留座位數，但現實中可能存在隨心飛期望需求低于預留座位數的情況。未來的研究可以建立更一般化的模型，放松上述假設。

參 考 文 獻：

[1]McCormick G P. Computability of global solutions to factorable nonconvex programs： part I—convex underestimating problems[J]. Mathematical Programming， 1976， 10（1）： 147-175.E1D95BC9-9586-4421-9904-D3C99C4F49C0

[2]Castro P M. Tightening piecewise McCormick relaxations for bilinear problems[J]. Computers & Chemical Engineering， 2015， 72： 300-311.

[3]Randhawa R S， Kumar S. Usage restriction and subscription services： operational benefits with rational users[J]. Manufacturing & Service Operations Management， 2008， 10（3）： 429-447.

[4]Cachon G P， Feldman P. Pricing services subject to congestion： charge per-use fees or sell subscriptions[J]. Manufacturing & Service Operations Management， 2011， 13（2）： 244-260.

[5]Shugan S M， Xie J. Advance pricing of services and other implications of separating purchase and consumption[J]. Journal of Service Research， 2000， 2（3）： 227-239.

[6]Gallego G， ahin . Revenue management with partially refundable fares[J]. Operations Research， 2010， 58： 817-833.

[7]Xie J， Shugan S M. Electronic tickets， smart cards， and online prepayments： when and how to advance sell[J]. Marketing Science， 2001， 20（3）： 219-243.

[8]Yu M， Kapuscinski R， Ahn H S. Advance selling： effects of interdependent consumer valuations and sellers capacity[J]. Management Science， 2015， 61（9）： 2100-2117.

[9]Littlewood K. Forecasting and control of passenger bookings[J]. Airline Group International Federation of Operational Research Societies Proceedings， 1972， 12： 95-117.

[10]Belobaba P P， Weatherford L R. Comparing decision rules that incorporate customer diversion in perishable asset revenue management situations[J]. Decision Sciences， 1996， 27（2）： 343-363.

[11]Belobaba P P. OR practice—application of a probabilistic decision model to airline seat inventory control[J]. Operations Research， 1989， 37（2）： 183-197.

[12]Brumelle S L， McGill J I， Oum T H， et al.. Allocation of airline seats between stochastically dependent demands[J]. Transportation Science， 1990， 24（3）： 183-192.

[13]Chatwin R E. Multiperiod airline overbooking with a single fare class[J]. Operations Research， 1998， 46（6）： 805-819.

[14]Chatwin R E. Multi-period airline overbooking with multiple fare classes[J]. Naval Research Logistics， 1996， 43（5）： 603-612.

[15]Jasin S， Kumar S. Analysis of deterministic LP-based booking limit and bid price controls for revenue management[J]. Operations Research， 2013， 61（6）： 1312-1320.

[16]Talluri K， Van Ryzin G. An analysis of bid-price controls for network revenue management[J]. Management Science， 1998， 44： 1577-1593.

[17]Talluri K， Van Ryzin G. The theorey and practice of revenue management[M]. Boston： Kluwer Academic Publishers， 2004.

[18]Vossen T W M， Zhang D. Reductions of approximate linear programs for network revenue management[J]. Operations Research， 2015， 63（6）： 1352-1371.

[19]Zhang D， Adelman D. An approximate dynamic programming approach to network revenue management with customer choice[J]. Transportation Science， 2009， 43（3）： 381-394.

[20]Adelman D. Dynamic bid prices in revenue management[J]. Operations Research， 2007， 55（4）： 647-661.

[21]Liu Q， Van Ryzin G. On the choice-based linear programming model for network revenue management[J]. Manufacturing & Service Operations Management， 2008， 10（2）： 288-310.

[22]Cormen T H， Leiserson C， Rivest R L， et al.. Introduction to algorithms[M]. MIT Press， Cambridge， MA， 2001.E1D95BC9-9586-4421-9904-D3C99C4F49C0