插補(bǔ)GNSS坐標(biāo)時(shí)間序列的改進(jìn)DINEOF算法

范小猛 胡 川 李成洪 張重陽(yáng)

1 重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶市學(xué)府大道66號(hào)，400074

受觀測(cè)過(guò)程中斷和數(shù)據(jù)處理方法等因素的影響，GNSS坐標(biāo)時(shí)間序列不可避免地存在數(shù)據(jù)缺失的情況，給數(shù)據(jù)的使用帶來(lái)諸多負(fù)面影響。因此，有必要對(duì)含缺失數(shù)據(jù)的GNSS坐標(biāo)時(shí)間序列進(jìn)行插值。

基于單站的插值方法，如拉格朗日插值、三次樣條插值、線性插值等適用于缺失比例小或連續(xù)缺失數(shù)據(jù)少的情況。但當(dāng)數(shù)據(jù)缺失量較大，特別是連續(xù)缺失數(shù)據(jù)較多時(shí)，上述方法插值效果較差[1-2]?；诙嗾镜牟逯捣椒ɡ弥?chē)军c(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)含長(zhǎng)空缺的目標(biāo)序列進(jìn)行插值，可以顧及站點(diǎn)間的相關(guān)性[3-5]。但其將目標(biāo)區(qū)域內(nèi)所有站點(diǎn)數(shù)據(jù)作為整體進(jìn)行解算，可能會(huì)受到局部信號(hào)的污染，影響插值精度[6]。

基于以上問(wèn)題，本文在數(shù)據(jù)插值經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)(DINEOF)算法的基礎(chǔ)上，考慮站點(diǎn)間的相關(guān)性，提出一種相關(guān)數(shù)據(jù)插值經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)(CDINEOF)算法，并與DINEOF算法和多項(xiàng)式插值法的插值效果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證其有效性。

1 CDINEOF算法原理

1.1 DINEOF算法基本原理

DINEOF算法的基本流程如下[7]：假設(shè)原始數(shù)據(jù)可以表示為一個(gè)二維觀測(cè)矩陣X(m,n)，其中，m和n分別為歷元個(gè)數(shù)和測(cè)站個(gè)數(shù)；從整個(gè)觀測(cè)矩陣中減去平均值，并將缺失數(shù)據(jù)設(shè)置為0以獲得初始數(shù)據(jù)X0；執(zhí)行奇異值分解，將X0分解為一組經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)，如式(1)所示：

式中，U(m×q)和V(q×n)分別為時(shí)間和空間EOF模態(tài)，up和vp分別為對(duì)應(yīng)的第p列特征向量，對(duì)應(yīng)奇異值為λp。使用第1個(gè)模態(tài)的空間和時(shí)間特征模態(tài)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，替換缺失位置數(shù)據(jù)；使用該重構(gòu)結(jié)果迭代計(jì)算第1個(gè)模態(tài)，替換缺失數(shù)據(jù)，直至收斂。最后用前k(1,2,…,q)個(gè)保留模態(tài)重復(fù)該過(guò)程，使用交叉驗(yàn)證法計(jì)算最優(yōu)保留模態(tài)數(shù)。

1.2 CDINEOF算法基本原理

為改善DINEOF算法可能會(huì)受到局部信號(hào)污染的問(wèn)題，本文加入站點(diǎn)篩選原則，提出CDINEOF算法，算法流程如圖1，具體步驟為：

圖1 算法流程Fig.1 Algorithm flow

1)利用公共歷元對(duì)目標(biāo)站點(diǎn)與周?chē)军c(diǎn)進(jìn)行相關(guān)性分析，根據(jù)分析結(jié)果將相關(guān)系數(shù)最大值設(shè)為初始閾值；

2)將相關(guān)性大于閾值的站點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)間序列組成觀測(cè)矩陣X，利用DINEOF算法對(duì)含缺失值的觀測(cè)矩陣X進(jìn)行迭代插值，得到目標(biāo)站點(diǎn)插值后數(shù)據(jù)，然后通過(guò)減小閾值獲取不同插值結(jié)果，采用交叉驗(yàn)證法選取最佳插值結(jié)果；

3)依次對(duì)剩余站點(diǎn)進(jìn)行上述計(jì)算，得到各站點(diǎn)完整的坐標(biāo)時(shí)間序列。

2 插值效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

2.1 模擬數(shù)據(jù)評(píng)價(jià)指標(biāo)

采用GNSS坐標(biāo)時(shí)間序列真實(shí)值與插補(bǔ)值之間的平均絕對(duì)誤差MAE、Pearson相關(guān)系數(shù)R和均方根誤差RMSE[4]對(duì)CDINEOF算法的插值效果進(jìn)行評(píng)估。其中，MAE和RMSE的值越小、R的絕對(duì)值越大，表示插補(bǔ)值和真實(shí)值越接近，即插值效果越好。

2.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)評(píng)價(jià)指標(biāo)

由于沒(méi)有真實(shí)值作為參考，采用插值后的坐標(biāo)時(shí)間序列投影到各主方向后的方差大小來(lái)評(píng)價(jià)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)插值效果，插值后的時(shí)間序列應(yīng)盡可能保持原有方差的最大化方向[5]。計(jì)算公式為：

式中，wj為第j個(gè)主方向，S為插值后的協(xié)方差矩陣。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 模擬插值實(shí)驗(yàn)

為避免粗差、階躍等因素的影響，采用澳大利亞區(qū)域內(nèi)14個(gè)經(jīng)過(guò)處理的IGS站坐標(biāo)殘差時(shí)間序列進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，其中HOB2站在2011年doy048～2016年doy095觀測(cè)時(shí)間段內(nèi)坐標(biāo)時(shí)間序列完整。為驗(yàn)證CDINEOF算法在不同連續(xù)缺失情況下的插值性能，以HOB2站坐標(biāo)時(shí)序?yàn)榛A(chǔ)，以5個(gè)觀測(cè)歷元為步長(zhǎng)，移除數(shù)據(jù)后構(gòu)成80組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別使用DINEOF算法、CDINEOF算法以及二階多項(xiàng)式插值法對(duì)模擬實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。此處給出連續(xù)移除400個(gè)數(shù)據(jù)后的插值結(jié)果。圖2為插值前HOB2站N、E、U方向上的殘差時(shí)間序列，其中，空心圓點(diǎn)為后續(xù)插值保留的數(shù)據(jù)，實(shí)心圓點(diǎn)為模擬數(shù)據(jù)缺失而移除的數(shù)據(jù)。由圖可見(jiàn)，N、U方向存在較明顯的周期性變化，E方向上以線性趨勢(shì)為主，變化較為平緩。

圖2 HOB2站坐標(biāo)殘差時(shí)間序列Fig.2 Coordinate residual time series at HOB2 station

圖3為利用公共歷元計(jì)算出的HOB2站與周?chē)军c(diǎn)之間的相關(guān)性。由圖可見(jiàn)，站點(diǎn)間相關(guān)性隨距離增加有減弱的趨勢(shì)，一些站點(diǎn)在U方向上達(dá)到負(fù)相關(guān)，若在插值過(guò)程中將這些站點(diǎn)納入計(jì)算過(guò)程，可能會(huì)對(duì)插值結(jié)果產(chǎn)生不利的影響。另外，個(gè)別站點(diǎn)相關(guān)性與上述趨勢(shì)有所偏離，這可能與站點(diǎn)本身的數(shù)據(jù)質(zhì)量有關(guān)。根據(jù)§1.2中的閾值選取原則，該站點(diǎn)在N、E、U方向的相關(guān)性閾值分別為0.3、0.2和0.1。

圖3 HOB2站與周?chē)军c(diǎn)相關(guān)系數(shù)Fig.3 The correlation coefficient between HOB2 and other stations

當(dāng)連續(xù)缺失400歷元時(shí)，3種插值方法在各方向上的MAE、RMSE和R值如表1所示?？梢钥闯?，由CDINEOF算法插值結(jié)果計(jì)算出的評(píng)價(jià)指標(biāo)值在N和U方向上均優(yōu)于DINEOF算法和多項(xiàng)式插值法。其中，CDINEOF算法的MAE最多減少了33.2%，RMSE最多減少了27.3%，R最多提高了10%。在E方向上，各指標(biāo)反映出CDINEOF算法插值性能略?xún)?yōu)于DINEOF算法而略差于多項(xiàng)式插值法。為探究其原因，本文給出插值結(jié)果與原殘差序列在3個(gè)方向上的對(duì)比，如圖4所示。

表1 不同插值方法性能對(duì)比Tab.1 Performance comparison of different methods

由圖4可見(jiàn)，在N和U方向上，多項(xiàng)式插值法結(jié)果與原殘差序列相比呈現(xiàn)出明顯的線性變化，雖然保證了數(shù)據(jù)的連續(xù)，但曲線過(guò)于光滑，與原殘差序列差異較大；相比于多項(xiàng)式插值法，DINEOF算法插值結(jié)果保留了一部分原殘差序列的高頻信息，尤其在U方向上其插值結(jié)果表現(xiàn)出明顯的波動(dòng)性，但是整體趨勢(shì)和原殘差序列吻合度不夠，周期性變化不明顯；CDINEOF算法的插值結(jié)果與原殘差序列有較高的吻合度，能夠在顧及原殘差序列周期性變化的同時(shí)還原其變化趨勢(shì)。在E方向上，DINEOF算法和多項(xiàng)式插值法的結(jié)果呈現(xiàn)明顯的線性變化，與原殘差序列較為相符，插值效果較好，CDINEOF算法結(jié)果與二者接近。分別計(jì)算各插值方法的MAE、RMSE和R值，如圖5所示。

圖4 不同方法的插值結(jié)果與原殘差序列Fig.4 Interpolation results of different methods and original residual series

圖5 不同方法的插值性能Fig.5 Interpolation performance of different methods

由圖5可見(jiàn)，在周期性明顯的N、U方向上，當(dāng)連續(xù)缺失歷元在80以?xún)?nèi)時(shí)，3種方法的插值效果相當(dāng)，無(wú)明顯差異；當(dāng)連續(xù)缺失歷元大于80時(shí)，CDINEOF算法的插值性能逐漸優(yōu)于DINEOF算法和多項(xiàng)式插值法，并且性能優(yōu)勢(shì)隨著連續(xù)缺失歷元的增加愈發(fā)明顯；當(dāng)連續(xù)缺失歷元達(dá)到400時(shí)，CDINEOF算法插值結(jié)果與原殘差序列的相關(guān)系數(shù)仍保持在0.92以上，表現(xiàn)出強(qiáng)相關(guān)性。而在線性明顯的E方向上，不同插值方法之間的插值性能較為接近，這也與前面插值結(jié)果相對(duì)應(yīng)。

3.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

選取澳大利亞地區(qū)14個(gè)IGS站2005～2018年doy069的殘差時(shí)間序列進(jìn)行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)。由于觀測(cè)中斷、孤立值剔除等因素的影響，各站點(diǎn)本身已經(jīng)存在一定程度的數(shù)據(jù)缺失，其中最大缺失比例約為19.9%。利用DINEOF算法、CDINEOF算法和多項(xiàng)式插值法對(duì)14個(gè)站的殘差時(shí)間序列進(jìn)行插值，計(jì)算插值后坐標(biāo)時(shí)間序列的方差，并統(tǒng)計(jì)各插值方法前3個(gè)主成分所占總方差的百分比，結(jié)果如表2所示。

表2 不同插值方法前3個(gè)主成分方差占比Tab.2 Variance ratio of the first three principal components of different methods

由表2可知，在各方向上CDINEOF算法插值后的坐標(biāo)時(shí)間序列前3個(gè)主成分之和占總方差之比均最大。其中，CDINEOF算法所保留的最大方差在DINEOF算法的基礎(chǔ)上提升了11.8%，在多項(xiàng)式插值法的基礎(chǔ)上提升了6.7%。

4 結(jié) 語(yǔ)

1)本文提出的CDINEOF算法可以有效避免利用多站點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間連續(xù)空缺插值時(shí)低相關(guān)度站點(diǎn)對(duì)插值效果產(chǎn)生的不利影響，只使用相關(guān)度較高的站點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，可以更加準(zhǔn)確地還原數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)。

2)多項(xiàng)式插值法會(huì)使插值后的序列呈線性變化，因此對(duì)于線性趨勢(shì)明顯的坐標(biāo)時(shí)間序列效果較好；CDINEOF算法對(duì)數(shù)據(jù)變化明顯的坐標(biāo)時(shí)間序列數(shù)據(jù)比較敏感，插值效果較好。

3)CDINEOF算法可以很好地保留原有序列方差最大化方向，相比于DINEOF算法和多項(xiàng)式插值法，其插值后坐標(biāo)時(shí)間序列前3個(gè)成分之和占總方差之比最大。但其計(jì)算效率與基于單站的插值方法相比存在一定劣勢(shì)。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，要根據(jù)需求選擇合適的插值方法。