一類向量題的探究與思考

王立

原題呈現：已知向量滿足，向量，向量，其中，若，求：最小值.

方法一：知代入轉移至可得，所以，

所以最小值為2.

方法二：建系，通過建系找到的坐標，代入已知可得，所以最小值為2.

方法三：如圖1可知，所以只需在上投影是即可，如圖可知，所以最小值為2.

用三種方法分析該題，并強調其幾何意義，這里出現了“等和線”的性質特征，爭取利用一節課讓學生能夠把這種題型弄明白，掌握“等和線”的優點，于是將其進行變形：

變式1：已知在平行四邊形OACB中，，，若P在△ABC內（含邊界點），求范圍.

該題用三種方法來解決該題，發現利用坐標法時會用到線性規劃的思想，這也可以考查學生的知識遷移能力。利用基底法時，發現構造數量積的方法也可行，而且利用這種方法學生可以秒殺這道題，在以往做題時只發現垂直或外心利用數量積的比較多。但是可惜這種方法有一定的局限性！利用幾何意義，即“等和線”性質時，這題也可以秒殺的（如圖2）。

以上都是與“線”相關的，那如果是“弧”會怎么樣呢？所以又想到了以下變式：

變式2：已知在扇形OAB中，，，若P在弧AB上（含邊界點），求范圍.

同樣也試用三種方法來解決這道題，利用坐標法時可以巧妙地利用三角換元（因為P在圓弧上），但是在換元時，很多學生不清楚這個角度有什么幾何意義，不清楚為什么橫坐標換為，縱坐標換為，這里也正好可以通過該為學生進行知識點補漏。利用基底法時仍然可以構造數量積。利用幾何意義“等和線”性質時要注意這里的比值不是整數了，但仍然可行，而且速度比較快！

但是如果改變前面的系數會是怎么樣呢？所以就有了下面的變式

變式3：已知在扇形OAB中，，，若P在弧AB上（含邊界點），求范圍.

這道題重點就是對這個負號的突破，不難發現是相反向量，這樣就可以迎刃而解，這里準備介紹兩種方法，即坐標法（三角換元）和幾何法（等和線）.

進一步變形：

變式4：已知在扇形OAB中，，，若P在弧AB上（含邊界點），求范圍.

本題難點就是這個“3”表示什么幾何意義，找到了就突破了，并不是很難.但在用三角換元解本題時發現無法利用輔助角將其完全的化簡，所以要利用的范圍，及的確定方法，這樣更好地溫習了輔助角的用法.

在這里突然想到某一年杭州聯考時有一道大家都認為比較難的題，即：

變式5：已知在扇形OAB中，，，若P在弧AB上（不含邊界點），若存在最大值，求范圍.

本題難度比較大，但是利用三角換元，和的范圍，或者等和線又可以很快的解決該題.

“等和線”是向量中的一種特殊題型，利用等和線的性質可能更快的解決此類向量問題。