三角形中的邊長關系在解題中的應用

周宗杰

(安徽省淮北市第一中學 235000)

1 提出問題

分析這是一道網紅題，各大資料書和搜題軟件都能看到該題，然而它卻是個錯題.

網紅錯誤解法由正弦定理,得a2=2bc.

由余弦定理,得b2+c2-2bccosA=a2.

因為A為銳角，

2 分析問題

為了便于理解對上面問題的分析，我們先來看這樣一個變式題：

顯然由構成三角形的條件可知公比q的范圍不可能是R+，必定有個范圍約束，因此下面只要根據題目條件求出公比q的取值范圍即可.

由三角形任意兩邊之和大于第三邊可知

通過上面對變式問題的分析，可以看出文初對引例的解答是存在問題的，我們還可以借鑒變式題的處理方法來解決引例的問題.

由△ABC為銳角三角形,得

即b2+c2-a2>0,a2+c2-b2>0,a2+b2-c2>0.

引例錯因分析上面的解法從方法上借鑒了變式題中構造等比數列的處理方式，這樣可以將求解范圍問題轉換為求關于q的函數的值域問題，而定義域的求解就成了最容易出錯的地方，而這也是文初錯誤解法的錯因所在.

按照上面的分析我們不難看出：

3 題后反思

我們知道三角形中有很多固定關系比如內角和關系、正弦定理、余弦定理等，三角形中也有一些不等關系，特別是邊長關系，在解題中經常會有所考查，往往這類題目并不是單獨考查三角形中邊的關系，也沒有明確說明考查這塊內容，而是結合別的知識點來進行間接考查，所以有時候不注意就會掉入陷阱，從而致錯.

4 補充練習

練習1已知等腰△ABC的周長為20，底邊長y可以表示成腰長x的函數，請寫出函數y=f(x).

簡解不要忘了函數的定義域，也要注意定義域要滿足三角形中邊的關系

f(x)=20-2x,5

練習2已知△ABC的三邊長a,b,c成等差數列，且a2+b2+c2=84，則邊b的取值范圍是____.

簡解設該等差數列公差為d(d>0)，則

a=b-d,c=b+d.

由a2+b2+c2=84,得3b2+2d2=84.

由三角形中邊的關系,得a+b>c.

即b-d+b>b+d，則b>2d.

經比較可得f(x)max=f(e)=e-1+h.

故有2(1+h)>e-1+h且h+1>0.

解得h>e-3.