金屬軌道的形狀影響感應電流的大小嗎
——以2020年全國高考物理3卷的壓軸題為例

王偉民

(安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學校 236652)

1 原題呈現(xiàn)

圖1

本題是2020全國高考物理3卷除去選做題之外的倒數(shù)第二題，處于壓軸題的重要位置，也是單題分值較大的題目之一.主要考查學生利用感生電動勢、通電導體在磁場中受力等相關(guān)公式靈活解決綜合問題的能力.

在各種物理資料中的電磁學板塊，經(jīng)常見到與這道高考題目同類型的題目，跟資料中這類常規(guī)題目相比，這道高考壓軸題目進行了創(chuàng)新——雖然也是導體棒沿正方形金屬框滑動，但是，導體棒的運動方向與金屬框的邊所在的直線不平行，這樣以來，在導體棒運動過程中，它聯(lián)入電路中的切割磁感線的有效長度在不斷改變，在磁場強度恒定，導體棒運動速度確定的情況下，閉合電路因?qū)w棒切割磁感線運動而產(chǎn)生的感應電動勢也在不斷的變化，所以，閉合電路中感應電流的大小以及導體棒所受安培力的大小規(guī)律就有可能更為復雜.

我們不禁要問：金屬軌道的形狀改變時，電路中感應電流的大小改變嗎？

2 金屬軌道的形狀不影響感應電流的大小

以上面的這道高考壓軸題目給出的情景為例，推導一下當導體棒的運動方向與導體棒所在的直線垂直情況下感應電流與相關(guān)各物理量之間的定量關(guān)系.

設(shè)某時刻導體棒在金屬導軌間的長度為L，閉合電路中的感應電流為I，則有：

如果其他條件不變，將導體棒的運動方向由原來的垂直于導體棒所在直線方向的運動更改為任意方向的運動，感應電流的大小是否會改變呢？

3 導體棒的運動方向與導體棒所在直線不垂直時感應電流的大小受到影響

我們以金屬導軌是任意形狀為例進行分析.如圖2所示，磁場方向垂直于導軌平面，設(shè)磁感應強度為B，導體棒以速度v沿導軌滑動，運動方向與導體棒所在直線的夾角為α，設(shè)某時刻導體棒在金屬導軌間的長度為L，單位長度的電阻為r.這種情形下，我們可以將導體棒的運動速度v進行正交分解——分解為沿垂直于導體棒方向的分量vsinα，和沿平行于導體棒方向的分量vcosα，因為在平行于導體棒方向上運動時，導體棒不切割磁感線，所以，導體棒沿圖2所示方向運動時，閉合電路中感應電流的大小為：

圖2

2020年的物理高考，不論是全國卷還是地方卷，整體難度都比往年有所降低，這應該是編者綜合考慮以下兩方面的因素而人為的降低了試題的難度，其一，物理學科一直是被大家公認為高考各科中難度最大的學科，近幾年學生選考物理的人數(shù)比例逐年減少的現(xiàn)象就是一個有力的例證.其二，庚子年春節(jié)突如其來的疫情給全國各地學生(尤其是面臨高考的考生)的學習帶來不同程度的影響.考慮這些因素，包括壓軸題目在內(nèi)的物理試卷，整體難度降低也是人們預料之中的事情.2021年的高考剛剛過去，可以看出，今年的高考在試題的難度上依然沿襲了2020年的高考難度.

4 該壓軸題目的兩個變式及解析

圖3

解析設(shè)導體棒平移過程中與圓形軌道的交點分別為M、N，將圓形軌道方程與導體棒所在直線方程聯(lián)立組成方程組：

消去y并整理得2x2-2zx+z2-R2=0，設(shè)這個關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為x1和x2，則有：

我們知道，圓可視為橢圓的特例——圓是長半軸與短半軸相等的橢圓，如果將變式1給出的圓形金屬軌道更改為形狀確定的橢圓金屬軌道，那么，我們就可以將這個特例情形下的結(jié)論推廣到更具一般性的情形.

圖4

所以，導體棒所受安培力的大小為

由以上給出的兩個變式不難發(fā)現(xiàn)，2020全國高考物理3卷的這道壓軸題目給出的背景材料，已經(jīng)具備編擬難度較大的題目的材料“條件”，編者之所以將其編擬成難度不是很大的壓軸題目，一方面是為了扭轉(zhuǎn)廣大考生心目中“物理學科是難度最大的一門學科”的認識，另一方面，也是為了減輕突如而來的疫情對考生學習的影響.