從課程思政角度探究圓錐曲線中弦的問題

田 保

(安徽省銅陵市第一中學 244000)

引理如果AB是以O為圓心的一條弦，由垂徑定理可知，AB中點M與O的連線垂直于AB，可以表述為AB與OM斜率乘積為-1，即kAB·kOM=-1.

由于可以將圓看作是橢圓的“退化”形態，所以，我們猜想在橢圓中應當有類似的性質！如果有，那么雙曲線呢？拋物線呢？是否也有此類性質？

探究1 如果AB是橢圓的一條弦，那么AB中點M與O的連線斜率與AB的斜率有什么關系呢？kAB·kOM是否為定值？

證明顯然直線AB的斜率存在且為k時，

消去y化簡整理,得

(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2)，M(x0,y0)是AB中點，

依題意知Δ>0.

探究2 如果AB是雙曲線的一條弦，那么AB中點M與O的連線斜率與AB的斜率有什么關系呢？kAB·kOM是否為定值？

證明顯然直線AB的斜率存在且為k時，

消去y化簡整理，得

(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2)=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2)，M(x0,y0)是AB中點，

依題意知Δ>0.

探究3 如果AB是拋物線上的一條弦，那么AB中點M與O的連線斜率與AB的斜率有什么關系呢？kAB·kOM是否為定值？

顯然直線AB的斜率存在且為k時，

k2x2+(2km-2p)x+m2=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2)，M(x0,y0)是AB中點，

依題意知Δ>0，由韋達定理，知

經推理論證知kAB·kOM不為定值.

所以此類問題只在橢圓和雙曲線中適用.

探究4 過橢圓頂點的一條弦與橢圓交于M，N兩點，若有MA⊥NA，那么直線MN是否經過定點？

當MN不垂直x軸時，設MN的方程為

消去y化簡整理，得

(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0.

故(1+k2)·x1x2+(a+km)(x1+x2)+a2+m2=0.

由韋達定理，知

則(b2+a2)m2-2a3km+a2k2(a2-b2)=0.

當m=ak時，MN的方程為y=kx+ak=k(x+a)，恒過(-a,0)不合題意；

猜想在雙曲線和拋物線中是否也有類似性質？

解析先考慮特殊情況，當MN⊥x軸時，可設M(x0,y0)，N(x0,-y0).

有y0=x0+a，代入橢圓方程,有

所以MN的直線方程為

當MN不垂直x軸時，設MN的方程為

消去y化簡整理，得

(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2)=0.

即(x1+a)(x2+a)+y1y2=0.

故(1+k2)·x1x2+(a+km)(x1+x2)+a2+m2=0.

由韋達定理，知

代入得(b2-a2)m2+2a3km-a2k2(a2+b2)=0.

當m=ak時，MN的方程為y=kx+ak=k(x+a)，恒過點(-a,0)，不合題意；

發現雙曲線有此類性質，同理拋物線也具有這類性質.

從課程思政角度看，圓錐曲線問題在數學知識、思想方法中都蘊含著豐富的辯證唯物主義的觀點和方法.