對一道高考客觀壓軸題的研究與備考建議

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學 241000)

《中國高考評價體系》指出：“高考要求學生能夠觸類旁通、融會貫通，既包括同一層面、橫向的交互融合，也包括不同層面之間、縱向的融會貫通”.在教學過程中，對于一些典型問題，尤其是高考真題，如果我們能夠從不同角度思考，尋求不同的解法，以一題多解的方式尋求知識間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識的網(wǎng)絡(luò)體系，加深對問題的本質(zhì)認識，定會拓寬解題視野，發(fā)散解題思維，提升學習興趣，提高解題能力.本文是筆者對一道高考真題的研究，現(xiàn)與讀者分享交流.

1 真題呈現(xiàn)與分析

A.a

分析該題形式上以對數(shù)式和根式為載體，考查比較實數(shù)的大小關(guān)系，試題結(jié)構(gòu)雖簡單、明了，但綜合性強、內(nèi)涵豐富，主要考查對數(shù)的運算性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)比較大小，不等式的性質(zhì)等知識，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)，強化了綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力.

2 解法探究

解析因為1.012=(1+0.01)2>1+2×0.01=1.02，所以a=ln1.012>b，于是排除選項A,D.余下的選項A,C只需比較a,c大小即可.

由(1+x)2-(1+4x)=x(x-2)<0，得

則f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.

有a-c=f(0.01)>f(0)=0.

即a>c.故選B.

則f′(x)>g′(x)>0，函數(shù)f(x)和g(x)在(0,1)上都單調(diào)遞增，但函數(shù)f(x)的增長快于函數(shù)g(x)，于是a=f(0.01)>g(0.01)=c，故選B.

評注根據(jù)a,c的數(shù)式特征，構(gòu)造兩個函數(shù)f(x)和g(x)，注意到f(0)=g(0)=0后，根據(jù)函數(shù)的增長率大小來比較大小，方法巧妙新穎，過程簡潔，給人耳目一新的感覺.實際上，可以再根據(jù)b的數(shù)式特征構(gòu)造函數(shù)h(x)=ln(1+2x)，比較三個函數(shù)的增長率便可直接得出答案，如圖1,為三個函數(shù)在區(qū)間(0,1)上的圖象.

圖1

思路3由于a,c分別為對數(shù)式與根式，不易直接比較大小，不難思考利用中間量比較大小.

顯然f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(1.01)>f(1)=0.

即a>c.故選B.

顯然f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(0.01)>f(0)=0.

即2ln1.01>0.02-0.0001.即a>c.故選B.

評注該法借助泰勒展開式對a,c進行估值，通過估值比較大小.作為選擇壓軸題，該題具有高等數(shù)學知識背景，若我們適當了解一些泰勒展開式的有關(guān)知識，則可“高觀點”地分析問題、解決該題，使得解答過程簡潔明了.

3 試題蘊含的背景不等式

通過上述解答，我們不難發(fā)現(xiàn)該題蘊含了如下不等式：

(1)伯努利不等式：(1+x)α≥1+αx(x>-1，α>1，當x=0時等號成立).

我們在比較a,b大小時，實際是比較1.012與1.02的大小，事實上(1+0.01)2>1+2×0.01，即1.012>1.02.

4 高考備考建議

4.1 多角度思考問題，尋求一題多解

在日常的解題教學中，我們不能僅止步于問題的解決，而應(yīng)該教會學生從不同的角度去分析問題，尋求不同的解法，通過一題多解發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，體會知識間的轉(zhuǎn)化與化歸，構(gòu)建知識間的網(wǎng)絡(luò)體系.本題中，我們從五個角度思考問題，給出5種比較實數(shù)a,c大小關(guān)系的方法，其中方法1從函數(shù)單調(diào)性的角度比較大小；方法2從函數(shù)增長率的角度比較大小；方法3和方法4利用中間量比較大小，分別介紹了兩種尋找中間量的不同方法；方法5基于高等數(shù)學泰勒展開式的“高觀點”，利用近似值比較大小.得到以上不同解法，思維方式的不同帶來解答形式的不同，給考生極大的思考與解答空間，在運算量和解答時間上出現(xiàn)差別，區(qū)分出不同層次的考生，具有很好的信度與區(qū)分度.

4.2 注重通性通法，以不變應(yīng)萬變

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出：在數(shù)學高考命題中，考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學內(nèi)容主線，聚焦學生對重要數(shù)學概念、性質(zhì)、方法的理解和應(yīng)用，強調(diào)基礎(chǔ)性；注重數(shù)學本質(zhì)和通性通法.在高考備考教學中，教師應(yīng)加強基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法的訓(xùn)練.我們尋求一題多解，但不能滿足于一題多解，對于一些常考題型，甚至于必考題型，教師要指導(dǎo)學生總結(jié)該類問題的通解通法，形成解題模型.近些年，高考卷中對指、對、冪函數(shù)值大小比較的考查，重要集中在指對互化，三類函數(shù)的運算性質(zhì)、圖象、單調(diào)性、不等式的相關(guān)性質(zhì)等知識，難度有加大趨勢，基本集中在選擇題后三題中.因此，重視指、對、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的掌握，作差、商比較大小，函數(shù)單調(diào)性法、圖象法、中間量法等方法的訓(xùn)練，只有扎實掌握了這些通性通法，在高考中才能“以不變應(yīng)萬變”.

4.3 探尋問題蘊含背景，看透問題本質(zhì)

高考試題凝聚著命題人的心血與智慧，是命題者反復(fù)考量與打磨才成型的，對教師的教學具有導(dǎo)向性與啟示性.對高考題進行深入研究，挖掘命題背景，也是教師日常教研的一項基本任務(wù)，反映了教師本身的業(yè)務(wù)素養(yǎng)與能力.筆者通過對問題的解法進行探究，挖掘出試題蘊含的不等式背景，若日常的備考中，教師能指導(dǎo)學有余力的學生適當掌握一些常見的不等式模型，甚至適度了解一些高等數(shù)學的知識，這樣在遇到一些以特殊模型或高等數(shù)學知識為背景命制的考題時，學生才能快速看清問題的本質(zhì)，找準解題的方法，順利完成考試.