一個水平轉動圓盤上連接體問題的評析與拓展

許冬保

(江西省九江第一中學 332000)

彈力與摩擦力是力學中最常見的2種性質力，這2種力具有隱蔽性、被動性、可變性等特征，是學生在物理學習中的難點與易錯點．以下以水平轉動圓盤上連接體問題為例，側重模型建構及科學推理等過程的分析，幫助學生認識彈力與摩擦力的特征，以發展學生的理解能力、推理論證能力及模型建構能力，進而提升學科核心素養．

1 問題呈現

如圖1所示，水平圓盤可繞豎直軸轉動，圓盤上放有小物體A、B、C，質量分別為m、2m、3m，A疊放在B上，C、B離圓心O距離分別為2r、3r．C、B之間用細線相連，圓盤靜止時細線剛好伸直無張力．已知C、B與圓盤間動摩擦因數為μ，A、B間摩擦因數為9μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，現讓圓盤從靜止緩慢加速，則( ).

圖1

2 試題評析

上述試題是筆者所在學校高一年級的一次月考測試題．試題為多項選擇題，正確答案為BC．該題存在于較多的教輔資料中，是一道比較常規的試題．試題實測結果：難度為0.37，區分度0.32．其中，學生答案中選A的占15.7%；選D的占17.2%；每個選項均有學生選擇．可見，這是一道難題，且區分度較低．據學情反饋信息，學生在推理判斷中存在的障礙主要是彈力與摩擦力的分析以及相關模型的建構．試題側重對學生的推理論證能力及模型建構能力進行考查．以下是該題的分析過程．

對于A、B整體及C，由牛頓第二定律，有T′+μ·3mg=3m·3r·ω2及T′+f=3m·2r·ω2，解得f=0，選項C正確；

3 拓展分析

1.A、B作為一個整體，它與C的質量相等，所受最大靜摩擦力大小相等，隨著圓盤角速度的增大，誰最先達到最大靜摩擦力？

2.試定性畫出A、B整體以及C所受摩擦力f隨角速度二次方ω2變化的f-ω2圖像

圖2

在繩子張力未出現之前，C所受摩擦力隨角速度逐漸增大，即f=6mrω2∝ω2；張力出現之后，向心力由靜摩擦力及繩子張力提供．

由牛頓第二定律，有

T+3μmg=9mrω2

及T+f=6mrω2，

解得f=3μmg-3mrω2．

圖3

3.A、B整體以及C做圓周運動的加速度不同，能否用系統的牛頓第二定律來處理？

若質點系中質點的質量分別為m1、m2、m3…mn，質點運動的加速度相應為a1、a2、a3…an．

以上即為系統的牛頓第二定律的數學表達式．圓盤上A、B整體及物體C運動的加速度大小、方向均不同，也可以應用系統的牛頓第二定律來處理．

3μmg+f=9mrω2-6mrω2=3mrω2

解得f=3mrω2-3μmg．

該式與前文所得表達式相差一個負號，原因是選定正方向不同．對ω2的幾個特殊值作些討論：

所得結果同上．

4.若某時刻A、B發生相對滑動離開B，則B、C系統是否能繼續作勻速圓周運動？

角速度ω較大時，A、B發生相對滑動離開B，設此時C所受摩擦力為f，則由牛頓第二定律，有

2μmg+T=6mrω2；

f+T=6mrω2．

解得f=2μmg<3μmg．

因此，系統仍做勻速圓周運動．

綜上，水平轉動圓盤問題，主要考查學生的運動與相互作用觀念以及模型建構、推理論證等科學思維中的學科素養．在拓展分析中所涉及到的邏輯推理、圖像分析、隔離與整體分析、臨界與極值分析等方法的綜合應用，有利于學生思維品質的提升及物理問題解決能力的提高，有利于學生從傳統的“解題”向“解決問題”轉變．