妙用多項(xiàng)式除法求解導(dǎo)數(shù)與解幾壓軸試題

蘇藝偉 陳藝平

(福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū) 363100)

多項(xiàng)式除法定理設(shè)f(x),g(x)是兩個(gè)多項(xiàng)式,且g(x)≠0,則恰有兩多項(xiàng)式q(x)及r(x)使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立,其中r(x)=0或degr(x)

通俗地說(shuō),多項(xiàng)式除法是代數(shù)中的一種運(yùn)算,用一個(gè)多項(xiàng)式去除以另一個(gè)多項(xiàng)式,從而將一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的除法問(wèn)題分解成更小的一些問(wèn)題.借助多項(xiàng)式除法定理可以解決導(dǎo)數(shù)與解幾壓軸試題中一些較難的多項(xiàng)式分解問(wèn)題,從而突破難點(diǎn),化繁為簡(jiǎn),化抽象為具體,實(shí)現(xiàn)解題的高效.

例1(2020年全國(guó)Ⅰ卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性(略).

當(dāng)x=0時(shí),a∈R.

只需a≥g(x)max.

則h′(x)=ex-x-1,

h″(x)=ex-1≥0,

所以h′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以h′(x)>h′(0)=0.

故h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以h(x)>h(0)=0.

令g′(x)=0,得x=2.

所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1，+∞)上單調(diào)遞增.

所以g(x)有極小值g(1)=1,無(wú)極大值.

簡(jiǎn)析對(duì)于多項(xiàng)式x4-2x3+2x-1,經(jīng)檢驗(yàn)可知x=-1是方程x4-2x3+2x-1=0的一個(gè)實(shí)根,借助多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式x3-3x2+3x-1.通過(guò)驗(yàn)根和多項(xiàng)式除法,順利將g′(x)進(jìn)行化簡(jiǎn),從而突破難點(diǎn).

證明由已知可得

①

②

先考慮第①個(gè)不等式,轉(zhuǎn)化成

(x-t)2(x2+2tx+3t2-2)≥0.

Δ=8(1-t2).

若00,則

若1≤t2≤2,Δ≤0,此時(shí)考慮不等式②.

設(shè)4x2-4(t3-t)x+3t4-2t2-8=0的兩個(gè)實(shí)根為x1,x2,

令t2=λ,則λ∈[1,2].

記f(λ)=λ3-5λ2+3λ+8,則f′(λ)<0,故f(λ)的最小值為7.

簡(jiǎn)析對(duì)于方程x4-2x2-4(t3-t)x+3t4-2t2=0，經(jīng)檢驗(yàn)可知x=t是一個(gè)實(shí)根,借助多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式x3+tx2+t2x-2x-3t3+2t.

經(jīng)檢驗(yàn)可知x=t是x3+tx2+t2x-2x-3t3+2t=0的一個(gè)實(shí)根,再次用多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式x2+2tx+3t2-2.因此將不等式(1)轉(zhuǎn)化成(x-t)2(x2+2tx+3t2-2)≥0,從而突破難點(diǎn).

例4 已知直線x-2y-1=0與拋物線y2=4x交于A,B兩點(diǎn),C為拋物線上的一點(diǎn),∠ACB=90°,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

y2-8y-4=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(t2,2t),AB中點(diǎn)為D,

則y1+y2=8,y1y2=-4.

故AB=x1+x2+p=2y1+1+2y2+1+2=20,CD=10,D(9，4).

令(t2-9)2+(2t-4)2=100,得

t4-14t2-16t-3=0.

③

經(jīng)檢驗(yàn),t=-1是方程③的一個(gè)實(shí)根.

所以t4-14t2-16t-3含一個(gè)因式t+1.

進(jìn)一步,用t4+0·t3-14t2-16t-3除以(t+1),得到t3-t2-13t-3.

經(jīng)檢驗(yàn),t=-3是t3-t2-13t-3=0的一個(gè)實(shí)根,所以t3-t2-13t-3含一個(gè)因式t+3.

進(jìn)一步,用t3-t2-13t-3除以(t+3),得到

t2-4t-1.

因此,方程③可以轉(zhuǎn)化成

(t+1)(t+3)(t2-4t-1)=0.

由于點(diǎn)C(t2,2t)不在直線x-2y-1=0上,

所以t2-4t-1≠0.

故C(1，-2)或C(9，-6).

簡(jiǎn)析對(duì)于方程t4-14t2-16t-3=0,發(fā)現(xiàn)有一個(gè)實(shí)根t=-1,借助多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式t3-t2-13t-3,進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)t=-3是t3-t2-13t-3=0的一個(gè)實(shí)根,再次運(yùn)用多項(xiàng)式除法,得到t2-4t-1.故而最終分解成(t+1)(t+3)(t2-4t-1)=0.

解析聯(lián)立直線和橢圓方程求出點(diǎn)A坐標(biāo),然后代入拋物線方程.

(b2+a2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.

所以Δ=8a2(a2-c2)2.

由求根公式有

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線方程y2=4cx,得

化簡(jiǎn),得

兩邊同時(shí)除以a6,得

④

⑤

⑥

兩邊再同時(shí)除以e2,得

⑦

解析由已知可得

故2c4+2c3a=12a4+12a3c+3a2c2.

即2e4+2e3-3e2-12e-12=0.

即(e-2)(2e3+6e2+9e+6)=0.

故e=2.

簡(jiǎn)析觀察到方程2e4+2e3-3e2-12e-12=0,有一個(gè)實(shí)根e=2,借助多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式2e3+6e2+9e+6,從而求出離心率.

解析設(shè)直線AM方程為y=kx+b,

代入b2x2+9y2=9b2，

得(9k2+b2)x2+18kbx=0.

令|AM|=|AN|,得

設(shè)k>0且k≠1,則

b2k3-9k2+9k-b2=0.

即(k-1)[b2k2+(b2-9)k+b2]=0.

方程b2k2+(b2-9)k+b2=0有大于0且不等于1的正實(shí)根.

故Δ≥0且b2+b2-9+b2≠0,0

簡(jiǎn)析觀察到方程b2k3-9k2+9k-b2=0,有一個(gè)實(shí)根k=1,借助多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式b2k2+(b2-9)k+b2,從而求出實(shí)數(shù)b的取值范圍.

不難發(fā)現(xiàn),對(duì)于此類(lèi)導(dǎo)數(shù)與解幾壓軸試題中的多項(xiàng)式化簡(jiǎn)問(wèn)題,在難以直接因式分解的前提下,可以采用先驗(yàn)根,得到一個(gè)因式,再借助多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式,從而將多項(xiàng)式分解成若干項(xiàng)之積,將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),可謂大道至簡(jiǎn),柳暗花明又一村.

解析由已知,得

只需a≤g(x)min.

又當(dāng)x>0時(shí),ex>x+1,

故令g′(x)=0,得x=3.

故g(x)在(0,3)單調(diào)遞減,在(3,+∞)單調(diào)遞增.