圓錐曲線中隱定點問題基本賞析

李 杰

(江蘇省蘇州實驗中學 215011)

1 利用直接求根解“隱定點”定值問題

(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0.

即2my1y2+(3t+6)y2-(t-2)y1=0.

代入化簡,得

化簡,得

解得t=-1或t=±2(過頂點，舍).

故直線l過橢圓左焦點，△FMN的周長為4a=8.

在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、周長、面積等基本量和動點坐標或動線中的參變量無關，這類問題統稱為定值問題．本例從k1=3k3入手，看到不可見的直線過隱定點——左焦點，只有這樣三角形的周長才能是定值，否則兩個變量求定值，很難實現.

本例還可以推廣到一般性結論：

2 利用韋達定理解“隱定點”最值問題

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設動直線l與雙曲線C交于P，Q兩點，已知AP⊥AQ，設點A到動直線l的距離為d，求d的最大值．

故雙曲線方程為x2-2y2=1．

(2)①若動直線l的斜率不存在，則設l：x=t，代入雙曲線方程可得

由AP⊥AQ，可得

解得t=3或t=1(舍).

此時點A到l的距離為d=2.

②若動直線l的斜率存在，則可設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l：y=kx+t，代入雙曲線方程可得 (1-2k2)x2-4ktx-(2t2+1)=0.

由AP⊥AQ，知(x1-1)(x2-1)+y1y2=0．

由y=kx+t可知

(x1-1)(x2-1)+(kx1+t)(kx2+t)=0.

化簡,得

(1+k2)x1x2+(kt-1)(x1+x2)+t2+1=0.

化簡,得 (3k+t)(k+t)=0．

若k+t=0，則直線經過右頂點A，舍去；

故3k+t=0.

即直線經過定點M(3，0)，則d

綜上①②，d的最大值為2．

本題若看見AP⊥AQ垂直關系，就在學生原有知識和所要解決的目標間搭建看得見的“腳手架”，有效分散最值問題的難點，使學生認識和理解問題的本質，讓學生順著隱定點“腳手架”來成功登頂．以后只要看到任意一個限定AP與BP條件(如kAP·kBP=定值，kAP+kBP=定值)，直線AB依然會過定點都應該聯想到隱定點問題．

3 利用隱藏結論解“隱定點”探究性問題

例3已知拋物線C:y2=4px(p>0)的焦點為F，且點M(1,2)到點F的距離比到y軸距離大p.

(1)求拋物線C的方程；

解析(1)由題意知點M(1,2)到點F的距離與到x=-p距離相等，所以點M(1,2)在拋物線C:y2=4px(p>0)上.

監理是連接施工現場和企業總部的關鍵崗位，其工作中要嚴格按照相關規定執行各項任務。企業需定期對監理人員進行培訓，逐步強化其職責意識，使其明確現場管理應該完成的工作內容[4]。對于施工環節的不合理現象，監理需要及時指出，并秉承著公正、客觀的態度，監督施工人員進行改正。企業同時要制定監理工作標準，規范其行為，保證工作效率。

所以4p=4,解得p=1.

所以拋物線方程為y2=4x.

(2)結論：過拋物線y2=2px上點M(x0,y0)作兩相互垂直的弦MA,MB，則直線AB過定點(2p+x0,-y0).

當點為M(1,2)時，直線AB過定點(5,-2).

所以MA·MB=AB·d，

所以(m+1)2[(m+1)2+4]=32.

解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍).

本題是一道探究性問題，由解法2看出此題在設置的過程中是利用“隱定點”結論來倒置探究性問題，這個“隱定點”問題難度較大，需要學生積累大量經驗，同時還要有很強的數字感知能力.

4 利用定義法解“隱定點”定點問題

(1)求證：直線l過定點；

(2)是否存在定點D1,D2使得|BD1|+|BD2|為定值？若存在，求出點D1,D2坐標；若不存在，說明理由.

解析(1)由題意知：

A(-4,0),F(2,0).

當x0≠2時，直線l的方程為

當x0=2時，直線l的方程為x+1=0，直線l過定點D2(-1,0).

(2)存在定點D1(-3,0),D2(-1,0)滿足題意.

記橢圓C左焦點是F′(-2,0)，

則AF′的中點為D1(-3,0).

綜上存在定點D1(-3,0),D2(-1,0)滿足題意.

在數學學習上，我們不僅要看懂定理的證明，更要努力去思考當時這條定理是怎么被想出來的，最原始的思路是什么.只有這樣，我們才能面對像例4這樣問題時從被動地接受，變為主動地探索.

新課程數學課程標準中將傳統的“雙基”(基礎知識、基本技能)發展為“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗)，這新增的基本思想和基本活動經驗，就是要引導我們在教學中關注那些潛在的、隱性的數學素養.基本活動經驗從本質上看是培養學生的一種數學直覺.基本思想中所說的抽象、推理和模型都是人的一般思維方式，它們對于人的影響遠遠超越數學學科.從人的長遠發展來看，這些遠比知識和技能本身更重要，意義更深遠.