例談利用空間向量計算空間中距離的方法

李喜春

(貴州省遵義市第四中學 563000)

1 空間中距離的定義及分類

1.1 當兩個幾何要素處于完全分離的形態，就可以定義它們之間的距離.距離是用于度量兩個分離的幾何要素之間最短線段的長度.

1.2 定義部分

(1)點到點的距離，是指兩點之間線段的長度.

(2)點到直線的距離，是指點與直線之間垂線段的長度.

(3)兩條平行直線之間的距離，是指其中一條直線上任意一點與另一直線之間垂線段的長度.

(4)點到平面的距離，是指點與平面之間垂線段的長度.

(5)相互平行的直線與平面之間的距離，是指直線上任意一點與平面之間垂線段的長度.

(6)兩個平行平面之間的距離，是指其中一個平面上任意一點與另一平面之間垂線段的長度.

(7)異面直線之間的距離，是指兩條異面直線之間公垂線段的長度.

1.3 分類情況

(1)點到點的距離；

(2)點到直線的距離，包括點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離；

(3)點到平面的距離，包括點到平面的距離、相互平行的直線與平面之間的距離以及兩個平行平面之間的距離；

(4)異面直線之間的距離.

2 使用空間向量計算空間中的距離

2.1 點到點的距離

思維方法由已知兩點分別作為起點和終點得出向量，計算該向量的模，即為點到點的距離.

例1如圖1，在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點N為D1B上靠近D1的三等分點，求點C到點N的距離.

圖1

所以點C到點N的距離等于3.

方法小結以兩點構造向量，并以向量的模表達點到點的距離.

2.2 點到直線的距離

圖2

圖3

例2如圖4，已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，E,F分別是C1C,D1A1的中點,求點A到直線EF的距離.

圖4

則點A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2).

方法小結通過向量的投影以及勾股定理的使用，即可計算點到直線的距離.

2.3 點到平面的距離

圖5

例3已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，求點D到平面PBC的距離.

分析通過平面PBC內的兩條相交直線所在的向量，求出該平面的一個法向量n，再構造點D與平面PBC內一點的連線所在的向量m，最后計算m在n上的投影.則投影的絕對值即為點D到平面PBC的距離.

設平面PBC的法向量為n=(x,y,z).

令y=z=1，則n=(0,1,1).

方法小結通過法向量和投影的使用，計算點到平面的距離.

2.4 異面直線之間的距離

圖6

例4如圖7，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E,F,G分別為AB,BC,PC的中點，求異面直線DG到EF的距離.

圖7

分析通過DG和EF所在的向量構造公垂線段的方向向量n，然后計算DG上一點與EF上一點連線所在的向量m，計算m在n上的投影，則該投影的絕對值即為異面直線DG到EF的距離.

方法總結先對空間中的距離進行定義及分類，明確空間中距離的類型，并逐一介紹空間向量在計算距離時的方法，在使用中主要涉及到向量投影、勾股定理、方向向量和法向量的使用.