一類以導數為背景的高考題的解法研究

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

多年來，數學高考卷無論文科還是理科，無論是地方卷還是全國卷，均以導數作為壓軸題.題目通常難度較大，僅僅依靠高中所學的導數知識，解答經常擱淺.很多函數問題均可等價轉化后，多次構造新函數，再多次求導，利用洛必達法則求端點臨界函數值的“最值”，最后得到參數的范圍.下面我們分類展示一些經典高考題.

類型1 分離參數構造函數后，用洛必達法則保障范圍的完整性.

例1 (2018年全國高考Ⅱ卷理科21題)已知函數f(x)=ex-ax2.若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a.

解析由零點概念知，f(x)只有一個零點就是f(x)=0只有一個解.即ex-ax2=0只有一個解.

當x>2時，n′(x)>0，

當0

(*)

如圖1，當x→0時，x2→0，ex→1，

圖1

所以n(x)→+∞.

評注這種解法只需要學生對洛必達法則有一定認識就可以掌握，整個流程邏輯嚴謹、思維連貫、順理成章.這類題目的結構相對穩定.值得一提的是，很多學生會將(*)以后的解題過程忽略，這是不嚴謹的，為什么呢？請讀者思考.

類型2 分離參數構造函數，多次求導，用洛必達法則求新函數最小值的臨界值.

例2 (2017年全國高考Ⅱ卷文科21題) 設函數f(x)=(1-x2)ex．當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍．

解析當x=0時，a可取任何實數.

當x>0時，f(x)≤ax+1，

對h(x)求導，得

再令g(x)=ex(-x3-x2+x-1)+1，

對g(x)求導，得

g′(x)=ex(-x3-4x2-x).

當x>0時，g′(x)<0，

因此g(x)在(0,+∞)上單調遞減.

所以h(x)的最大值臨界值為h(0).

由洛必達法則，得

所以a的取值范圍是[1,+∞).

評注分離參數后，通過多次求導，逐層判斷單調性，最后借助洛必達法則求得端點值得到參數取值范圍，思路簡潔.本題高考給出的答案高深莫測，邏輯上讓中學生難以接受，尤其是分類討論的標準不易理解.有興趣的同仁可以查閱對比研究.

類型3分離參數構造函數，多次求導，用洛必達法則求最大值臨界值.

例3(2016年全國高考Ⅱ卷文科20題)已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).若當x∈(1,+∞)時，f(x)>0，求a的取值范圍.

解析f(x)>0，即(x+1)lnx-a(x-1)>0.

再設φ(x)=-2xlnx+x2-1，

則φ′(x)=-2lnx-2+2x，

由于x>1，所以φ″(x)>0，

于是φ′(x)在(1,+∞)上單調遞增，

所以φ′(x)>φ′(1)=0，

進而φ(x)在(1,+∞)上單調遞增，

所以φ(x)>φ(1)=0，因此h′(x)>0，

進而h(x)在(1,+∞)上單調遞增，

所以h(x)>h(1).

所以a的取值范圍是(-∞,2].

類型4分類討論，分離參數構造函數，用洛必達法則求最大值和最小值的臨界值.

例4(2017年全國高考Ⅲ卷理科第21題)已知函數f(x)=x-1-alnx.若f(x)≥0，求a的值.

解析當x=1時，a∈R.

當x>1時，lnx>0，

于是h(x)在(1，+∞)上單調遞增.

所以h(x)>h(1)=0，因此λ′(x)>0.

所以λ(x)在(1，+∞)上單調遞增，

于是λ(x)>λ(1).

所以a≤1.

同理，當0

綜上，a=1.

評注本題與前面幾例比較，有兩個特征：一是受lnx的正負影響，不能直接分離參數，需要討論，但由于問題的“對稱性”僅需完整解答一次即可；二是表面上是求值問題，但實際上還是求范圍問題.

類型5分離參數，“遞進式”求導，用洛必達法則求最大值的臨界值.

例5(2010年全國高考Ⅱ卷理科第21題)已知函數f(x)=ex-1-x-ax2.若當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析當x=0時，a∈R.

令m(x)=(x-2)ex+x+2，

則m′(x)=(x-1)ex+1.

則m″(x)=xex.

因為x>0，所以m″(x)=xex>0.

于是m′(x)在(0,+∞)上單調遞增.

所以m′(x)>m(0)=0.

所以m(x)在(0,+∞)上單調遞增.

所以m(x)>m(0)=0，進而h′(x)>0.

評注本題求導的目的性很明確，就是要讓m″(x)=xex出現，事實上每次求導ex的系數增加1，我們可以簡稱“遞進式”求導.但是沒有發現此規律的同學可能半途而廢.

正如波利亞所說“當你找到第一個蘑菇或作出第一個發現后，再四處看看，它們總是成群生長”.這類給定范圍下的求參數范圍的導數壓軸題，只要被分離部分易于判斷其正負，就能分離參數，構造函數，多次反復求導，我們可以借助洛必達法則模式化做答，不再為思路發愁，不再為所需最值或最值的臨界值迷茫.但是，像“2020年新高考Ⅰ卷第21題：已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna．若f(x)≥1，求a的取值范圍．”這類不易分離參數的題目，不適合用這種解法處理.