解析21年新高考Ⅰ卷第19題的六個視角

劉才華

(山東省泰安市寧陽第一中學 271400)

解三角形是高中數學教學的重要內容，也是高考考查的主要內容之一.《普通高中數學課程標準》對其有如下要求：(1)借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理；(2)能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.從近年來全國高考數學試題來看，解三角形一般是一道主觀解答題，總分12分，約占全卷總分的8%，難度整體上相對保持穩定，難易適中.試題一般結構簡單，內涵豐富，除考查余弦定理和正弦定理外，還常常和三角變換公式、平面幾何、平面向量、函數和不等式等知識相結合，對學生的數學運算、邏輯推理、綜合解題能力有較高要求.

1 試題呈現

題目(2021年全國新高考Ⅰ卷第19題)如圖1，記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

圖1

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

這是2021年全國新高考數學Ⅰ卷第19題，屬于解三角形中的給值求值題型，試題以三角形為載體，簡潔明快，綜合考查了學生利用解三角形和三角變換等相關知識分析問題和解決問題的能力.

2 試題解析

2.1 第(1)問解析

所以BD=b.

2.2 第(2)問解析

對于第(2)問，如何利用好條件“b2=ac”和“AD=2DC”是解題的關鍵所在.

為行文方便，由題意我們約定CD=t，則AD=2t,AC=BD=3t，∠ADB=θ.

解法1不妨設CD=t=1，則由(1)和題意得b=BD=3，AD=2.

由余弦定理,得a2=9+1-6cos∠BDC，

c2=9+4-12cos∠BDA.

因為∠BDC+∠BDA=π，

所以2a2+c2=33.

解法2 由(1)知BD=b.

在△ABD中，由余弦定理,得

在△ABC中，由余弦定理，得

即2a2+c2-33t2=0.

c4-33t2c2+162t4=0.

即(c2-6t2)(c2-27t2)=0.

則c2=6t2或c2=27t2.

解法3由(1)知BD=b.

在△ABD中，由余弦定理，得

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosθ.

即c2=13t2-12t2cosθ.

在△CDB中，由余弦定理,得

a2=10t2-6t2cos(π-θ)=10t2+6t2cosθ.

由b2=ac,得b4=a2c2.

則81t4=(10t2+6t2cosθ)(13t2-12t2cosθ).

則72cos2θ+42cosθ-49=0.

代入c2=13t2-12t2cosθ,得c2=6t2.

解法4由(1)知BD=b.

即csinA=bsinθ.

又asinB=bsinA，兩式相乘,得

acsinAsinB=b2sinAsinθ.

由b2=ac和sinA≠0，則sinB=sinθ.

在△ABC中，由余弦定理,得

b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2b2cosB.

則b2(1+2cosB)=a2+c2.

即9t2(1+2cosB)=a2+c2.

①

同理，

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosθ.

即c2=13t2-12t2cosθ.

在△CDB中，a2=10t2+6t2cosθ.

從而a2+c2=23t2-6t2cosθ.

②

若∠ABC=∠BDC，則cos∠ABC=-cosθ.

解法5由(1)知BD=b.則

從而sinABC=sinθ.

在△CDB中，BD>BC+CD，不成立.

解法6 由(1)知BD=b.

由AD=2DC,

整理,得11b2=6a2+3c2.

由b2=ac,得11ac=6a2+3c2.

即(2a-3c)(3a-c)=0.

此時c>a+b，不成立.

解法7由(1)知BD=b.

以點B為坐標原點，以直線BC為x軸建立直角坐標系，則C(a,0)，A(ccos∠ABC,csin∠ABC).

設D(x,y)，則

(x-ccos∠ABC,y-csin∠ABC)=2(a-x,-y).

由|BD|=b,得

(2a+ccos∠ABC)2+(csin∠ABC)2=9b2.

③

11b2=6a2+3c2.

由b2=ac,得11ac=6a2+3c2.

即(2a-3c)(3a-c)=0.

此時c>a+b，不成立.

解法8由(1)知BD=b.

由b2=ac,

解法9(利用斯特瓦特定理)

由(1)知BD=b.由斯特瓦特定理,得

即2a2+c2=33t2.

結合b2=ac=9t2，得6a2-11a+3c2=0，

下同解法6.

托勒密定理圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.

解法10(利用托勒密定理) 由(1)知BD=b.設直線BD交△ABC的外接圓于點E，由相交弦定理，得AD·CD=BD·ED.

由托勒密定理,得

AB·CE+BC·AE=AC·BE.

將相關數據代入,得6a2-11a+3c2=0.

下同解法6.

由AD=2DC,得S△ABD=2S△BCD.

將b2=ac=9t2代入，得6a2-11a+3c2=0.

下同解法6.

教學啟示通過對上述試題不同解法探討，啟發我們在平時數學教學時，要結合具體內容，做好一題多解的訓練，提高學生學習數學的興趣，有效地避免題海戰術.通過加強一題多解訓練，培養學生的發散性思維，引導學生利用不同的視角、不同的方法和不同的運算去分析同一道試題，發揮學生解題的靈活性和創新性，這對于培養學生的數學運算、邏輯推理等素養大有裨益.