“APOS”理論下幾何概念教學(xué)的實踐探索
——以蘇教版數(shù)學(xué)第一學(xué)段為例

江蘇省南京市東山小學(xué) 施 琦

概念是思維的核心，也是學(xué)生理解知識和培養(yǎng)思維能力的基礎(chǔ)，它具有強烈的抽象性。低年級學(xué)生以具體形象思維為主，這與學(xué)習(xí)概念所需要的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性不相符，導(dǎo)致其在進(jìn)行概念學(xué)習(xí)時會遇到困難。那么，如何讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動符合學(xué)生的心理特征，從而讓學(xué)生能夠更加深入地理解概念呢？筆者認(rèn)為，教師在設(shè)置教學(xué)活動時，可以從生活中尋找數(shù)學(xué)概念的原型，增強學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗感，從而有效幫助學(xué)生理解概念，把握概念本質(zhì)，為之后的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

一、第一學(xué)段幾何概念教學(xué)內(nèi)容分析

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教材按照：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐等內(nèi)容分為四個部分。著名特級教師邱學(xué)華也曾將小學(xué)數(shù)學(xué)概念大致分為數(shù)的概念、運算的概念、數(shù)的整除性的概念、量的計量概念、幾何形體概念、比和比例概念、簡易方程概念、應(yīng)用題概念、統(tǒng)計圖表概念，共9大類。本文主要研究數(shù)學(xué)第一學(xué)段的幾何概念，通過對蘇教版數(shù)學(xué)教材的梳理，按照教材的順序梳理出如下第一學(xué)段的概念的分布情況（見表1）：

表1 第一學(xué)段“圖形與幾何”概念的分布情況

（續(xù)表)

從第一學(xué)段教材的編排來看，教材的編寫基于學(xué)生的心理特征和認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。一年級開始，學(xué)生初步認(rèn)識立體圖形及平面圖形，這個階段的學(xué)習(xí)注重從學(xué)生的生活直觀角度出發(fā)。學(xué)生通過觀察、比較并結(jié)合生活經(jīng)驗可以比較輕松地認(rèn)識幾何體，因此，在一年級教材就編寫常見的立體圖形與平面圖形，讓學(xué)生初步感知；接著進(jìn)入從一維到二維的結(jié)構(gòu)，由點到線，再由線到面，讓學(xué)生能夠更加輕松地接受幾何概念。

例如，一年級通過長方體和正方體上的面認(rèn)識長方形和正方形，到三年級是在學(xué)習(xí)線段和角的基礎(chǔ)上，又進(jìn)一步認(rèn)識長方形和正方形，知道它們的長、寬和周長，以及面積。同樣都是認(rèn)識長方形和正方形，但學(xué)生對于概念的理解又加深了一個層次。

二、基于“APOS”理論，設(shè)計教學(xué)活動

“APOS”理論是美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基提出的一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論。“APOS” 分別代表 Action（活動）、Process（過程）、Object（對象）和 Scheme（圖式）。這一理論是以建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)，它的核心在于引導(dǎo)學(xué)生通過心理建構(gòu)把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)。這一學(xué)習(xí)理論以學(xué)生為學(xué)習(xí)的主體，注重在概念形成過程中，給予學(xué)生足夠的時間進(jìn)行動手操作、合作交流、經(jīng)歷概念形成的四個階段，在學(xué)習(xí)過程中發(fā)展學(xué)生各個方面的能力。

（一）活動階段：依托“生活經(jīng)驗”，進(jìn)行概念導(dǎo)入

1.存在問題：忽視概念導(dǎo)入，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)停留表面

概念的導(dǎo)入是學(xué)生理解概念的首要環(huán)節(jié)。有些教師傾向于通過復(fù)習(xí)舊知導(dǎo)入，而且多以小練筆的形式復(fù)習(xí)舊知；有些教師喜歡開門見山的導(dǎo)入，直奔主題導(dǎo)出概念，接著進(jìn)行新課的教學(xué)；有些教師喜歡借助生活情境，發(fā)掘生活中與概念有關(guān)的物體，借助實際物體或?qū)嶋H情境，以學(xué)生的生活為切入點，導(dǎo)入新課；極少數(shù)的教師會利用小故事或數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識進(jìn)行導(dǎo)入。結(jié)合參與調(diào)查者的教學(xué)年限，筆者發(fā)現(xiàn)多數(shù)使用問題情境導(dǎo)入和小故事導(dǎo)入的多為工作10年以下的教師，大部分工作時間在20年以上的教師基本采用直接導(dǎo)入或復(fù)習(xí)舊知導(dǎo)入的方式。仍有不少教師忽視概念導(dǎo)入，讓學(xué)生后續(xù)的概念學(xué)習(xí)只停留在表面。

2.解決方案：深入研究教材，還原概念內(nèi)涵

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，扎根于現(xiàn)實，并應(yīng)用于現(xiàn)實。在導(dǎo)入環(huán)節(jié)的教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)教材編排選擇適合的活動素材，設(shè)計的數(shù)學(xué)問題要貼近學(xué)生生活實際，有助于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，并且活動的內(nèi)容要豐富。這一環(huán)節(jié)為學(xué)生后續(xù)的概念學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

例如，在“認(rèn)識線段”一課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師采用的是學(xué)生拔河比賽的場景，一張圖上的繩子是彎的，一張圖上的繩子是直的，讓學(xué)生通過繩子的狀態(tài)來判斷哪一張是學(xué)生正在進(jìn)行拔河比賽的照片。接著出示一根毛線，讓學(xué)生在拉一拉的活動中體會繩子由曲到直的過程，從而初步感知線段直的特征。

再如，蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊“長方形和正方形的認(rèn)識”一課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，學(xué)生身邊的空中花園是一個形狀分明的菜地。因此，教師在設(shè)計本課時，展示了一個花園的示意圖（圖略），讓學(xué)生在現(xiàn)實情境中尋找熟悉的圖形，喚醒其對長方形和正方形的初步記憶，找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點。

（二）過程階段：親歷活動體驗，探究概念特征

1.存在問題：忽視操作體驗，錯失概念形成的關(guān)鍵階段

通過問卷調(diào)查教師在課堂上開展活動的形式，筆者發(fā)現(xiàn)，超50%的教師根據(jù)內(nèi)容和時間隨機安排，22.3%的教師是選擇自己演示的，只有22%的教師會選擇經(jīng)常讓學(xué)生自己動手操作。由此可看出，多數(shù)教師在進(jìn)行概念教學(xué)時，忽視了操作體驗給學(xué)生帶來的作用。通過訪談，我們詢問了部分教師在第一學(xué)段較少安排動手操作的原因。主要是學(xué)生年齡小，對于教具的好奇心強，往往會將教具當(dāng)成玩具，導(dǎo)致一節(jié)課下來，知識點卻沒掌握。筆者在實際教學(xué)中也遇到過相似問題，通過幾次磨課，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)不在于學(xué)生喜歡玩弄學(xué)具，而在于教師對于學(xué)生沒有明確清晰的操作要求，導(dǎo)致學(xué)生思維混亂、注意力不集中。

2.解決方案：透過反思操作，直擊概念本質(zhì)

杜賓斯基認(rèn)為，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，不能跨越“程序”這一階段。筆者認(rèn)為，程序階段就是指學(xué)生通過對活動階段所學(xué)內(nèi)容的思考，通過自己動手操作，在過程中通過比較、歸納從而總結(jié)概括出概念的基本特征。因此，本階段的教學(xué)活動設(shè)計可遵循以下幾個步驟（見下圖）：

例如，在“認(rèn)識線段”一課的過程階段，筆者設(shè)計了如下層次的活動：

（1）同桌活動：一人拉線，一人說說哪里是線段。

（2）展示：橫著拉、豎著拉、斜著拉三組作品。

（3）對比感知線段的不同點和相同點。

（4）總結(jié)線段的特征，形成對概念基本特點的認(rèn)知。

再如，在蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊“長方形和正方形的認(rèn)識”一課的過程階段，筆者設(shè)計了如下的教學(xué)活動：

（1）在學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過折一折、量一量、比一比等方式獨立驗證長方形的特征。

（2）小組中交流展示每人的驗證方法。

（3）選取代表，集體匯報交流。

（4）依照驗證長方形的環(huán)節(jié)，自行在小組內(nèi)驗證正方形的特征。

（三）對象階段：集體分享碰撞，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念

1.存在問題：忽視學(xué)生歸納能力，過多接受性學(xué)習(xí)

筆者設(shè)計了調(diào)查問卷，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)大部分教師在對象階段，會鼓勵學(xué)生舉出概念的正例，來加深其對概念的理解。但對于經(jīng)歷概念的過程階段后，接近一半的教師是自己直接總結(jié)歸納來告知學(xué)生的，真正鼓勵學(xué)生自主歸納概念本質(zhì)特征的教師只占21.6%。同時在對象階段，超過一半的教師會列舉出反例來加深學(xué)生對概念的理解，12.5%的教師選擇不會舉出反例來促進(jìn)學(xué)生理解概念的本質(zhì)。此項調(diào)查說明，在實際教學(xué)過程中還存在著教師包辦太多的情況。對于概念的歸納，很多教師認(rèn)為學(xué)生年齡小，無法總結(jié)出抽象的數(shù)學(xué)概念，有的教師甚至?xí)么罅康木毩?xí)來讓學(xué)生背熟概念，從而能夠做對練習(xí)題。此階段是概念形成的重要階段，在這一階段，學(xué)生要明確概念的本質(zhì)屬性并學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表述完整的特征，從而完整建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。

2.解決方案：突出概念間聯(lián)系，構(gòu)建科學(xué)概念體系

建構(gòu)主義強調(diào)，學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，應(yīng)主動參與課堂，構(gòu)建知識，才能保證知識的完整性和有效性。在這一階段，教師通常通過設(shè)計多樣的練習(xí)來對概念進(jìn)行鞏固和應(yīng)用。概念的鞏固通常在正例和反例的對比辨析中進(jìn)一步構(gòu)建，這一活動可以是教師設(shè)置學(xué)生回答，也可以是學(xué)生在相互交流中合作完成。同時，對于概念的鞏固，教師還可以設(shè)置多樣化的變式練習(xí)，讓學(xué)生在對比中更深入地理解概念的本質(zhì)特征。教師無論采取哪一種方式，目的都是讓學(xué)生能夠明晰概念本質(zhì)，構(gòu)建概念體系。

例如，在“認(rèn)識線段”一課的對象階段，筆者設(shè)置了如下活動：

（1）考慮學(xué)生的年齡特征，設(shè)置了“鑒定朋友”的環(huán)節(jié)，以“線王國”為問題背景，出示一些不是線段的反例來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解概念。

（2）引導(dǎo)學(xué)生找一找生活中的線段，讓學(xué)生通過尋找教室里、操場上的線段，感知線段就在我們身邊，從而體會數(shù)學(xué)源于生活而又用于生活。

再如，在蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊“長方形和正方形的認(rèn)識”一課的對象階段，筆者通過活動——“我是四邊形”，先后出示四邊形的一個角、兩個角、三個角等讓學(xué)生猜一猜，這個四邊形是長方形還是正方形。學(xué)生在這一活動中，其思維得到了不斷的訓(xùn)練，在猜想的過程中進(jìn)一步建構(gòu)了長方形和正方形的概念。

（四）圖式階段：借力圖像表征，建立概念聯(lián)結(jié)

1.存在問題：教師缺少整體觀念，有礙形成概念聯(lián)結(jié)

通過對教師的課堂總結(jié)方式進(jìn)行調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)，大部分教師不會采用導(dǎo)圖板書總結(jié)全課。通過訪談得知甚至部分教師直接放棄此環(huán)節(jié)，用練習(xí)來代替小結(jié)環(huán)節(jié)。8.1%的教師會經(jīng)常采用導(dǎo)圖式板書對全課知識進(jìn)行小結(jié)。通過對這部分教師的年齡分析，筆者發(fā)現(xiàn)工作時間為3～10年的教師占絕大多數(shù)。已有大量實踐表明，在一節(jié)課之內(nèi)想要達(dá)到圖式階段是比較困難的，但是，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全課小結(jié)是有必要且不可缺少的環(huán)節(jié)，缺少這個環(huán)節(jié)不利于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。

2.解決方案：應(yīng)用導(dǎo)圖板書，完善概念圖式

思維導(dǎo)圖是英國學(xué)者托尼·巴贊在 20 世紀(jì) 60 年代初期創(chuàng)造的。他認(rèn)為思維導(dǎo)圖是“打開大腦潛能的強有力的圖解工具”。因此，在圖式環(huán)節(jié)，教師雖然不能讓學(xué)生都達(dá)到概念聯(lián)結(jié)的目標(biāo)，但是，可以通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識小結(jié)，通過導(dǎo)圖式板書幫助學(xué)生建立自己的圖式。

在概念教學(xué)中，學(xué)生要通過不斷的練習(xí)、鞏固，從而建立概念的圖式。教師在教學(xué)中不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能夠把握概念本質(zhì)，形成自己的概念認(rèn)知圖式，讓概念教學(xué)回歸生活，從而達(dá)到概念的有效教學(xué)。